Giáo án lớp 12 môn Toán - Hoán vị - Chỉnh hợp - tổ hợp

Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp Chủ đề 1: Rút gọn biểu thức Phương pháp: +) Sử dụng công thức về Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp. +) Sử dụng các tính chất của Tổ hợp +) Khai triển và rút gọn Các bài tập áp dụng: Bài 1: Rút gọn các biểu thức: A = (A = ) A = (A =) A =(A = ) A = (A= ) Chủ đề 2: Phương trình Phương pháp: +) Dùng công thức: +) Rút gọn, đưa phương trình đã cho về phương trình đại số +) Giải phương trình này tìm nghiệm +) Chọn nghiệm thích hợp với điều kiện 0 Các bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: (n = 8) (n = 5) (x = 7) (x = 8) (x = 3) ( x = 7) (x = 3 hoặc x= 4) (n = 11) Chủ đề 3: Bất phương trình Phương pháp: +) Dùng công thức: +) Rút gọn, đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình đại số +) Giải bất phương trình này tìm nghiệm, đem giao với điều kiện 0Suy ra nghiệm của bài toán. Các bài tập áp dụng: Bài 1: Giải bất phương trình: (x ) (x = 2) (x ) (x ) () (Vô nghiệm) Bài 2: a) Có bao nhiêu số hạng dương của dãy số Xn: ( x1, x2, x3, x4) b) Tìm tất cả các số hạng âm của dãy x1, x2, xn (n = 1, 2, 3 ..) với: xn = (x1, x2) Chủ đề 4: Hệ phương trình Phương pháp: +) Dùng công thức Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp đưa về hệ phương trình đại số. +) Giải và tìm nghiệm thích hợp. Các bài tập áp dụng: Bài 1: Giải hệ phương trình: ) (x = y = 1) (Vô nghiệm) Chủ đề 5: Chứng minh đẳng thức Tổ hợp Loại 1 : Phương pháp: + Dùng công thức: và các tính chất tổ hợp + Khai triển và rút gọn. Các bài toán thực hành: Bài 1: Chứng minh: Với k < n) Loại 2 : Phương pháp: + Dùng tính chất: + Tách - ghép hệ số để sử dụng được tính chất trên Các bài toán thực hành: Bài 1: Chứng minh: (k) (k) 2 Loại 3 : Phương pháp: + Dùng khai triển nhị thức Newton theo hai cách khác nhau. + Sau đó đồng nhất hệ số hai vế, suy ra điều phải chúng minh. Các bài toán thực hành: Bài 1: Cho ; k, n . Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh: Bài 3: Chứng minh: Bài 4: Chứng minh: Bài 5: Chứng minh: ( Gợi ý: Khai triển (1+x)2n+1 và ( x-1)2n+1 xét hệ số của x2n+1 trong tích (1+x)2n+1(x-1)2n+1 và trong (x2 – 1)2) Bài 6: Chứng minh: Loại 4 : Phương pháp: + Khai triển nhị thức Newton: (a b)n; (a b)2n sau đó chọn a, b thích hợp. Các bài toán thực hành: Bài 1: Chứng minh rằng: a) b) Bài 2: Chứng minh rằng: Bài 3: Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng: Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh rằng: Bài 8: Chứng minh rằng: Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10: Chứng minh rằng: Bài 11: Chứng minh rằng: Bài 12: Chứng minh rằng: Bài 13: Tính: S = . Loại 5 : Dùng Đạo hàm Phương pháp: + Dùng nhị thức Newton, khai triển (abx)n + Lấy đạo hàm cấp 1, 2, 3 và chọn a, b, x thích hợp. + Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 1: - Trong mỗi số hạng có chứa dạng: hoặc - Trong tổng không chứa hoặc + Dấu hiệu để nhận biết dùng đạo hàm cấp 2: - Trong mỗi số hạng có chứa dạng: hoặc - Trong tổng không chứa hoặc Các bài toán thực hành: Bài 1: Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh: Bài 3: Chứng minh: Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng: Bài 6: Chứng minh rằng: Bài 7: Chứng minh rằng: Bài 8: Chứng minh rằng: Bài 9: Chứng minh rằng: Bài 10: Chứng minh rằng: Loại 6: Dùng Tích phân Phương pháp: + Dùng khai triển nhị thức Newton: (abx)n + Lấy tích phân hai vế với cận thích hợp + Chọn a, b, x đpcm Chú ý: - Một số bài toán có thể lấy tích phân hai lần - Dấu hiệu nhận biết dùng tích phân là trong các số hạng có chứa nhân tử dạng: hoặc hoặc Các bài toán thực hành: Bài 1: Chứng minh rằng: Bài 2: Chứng minh rằng: Bài 3: Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh rằng: Bài 5: Chứng minh rằng: Bài 6: a) Tính tích phân: I = b) Tính tổng: S = Bài 7: a) Tính I = b) Chứng minh rằng: Bài 8: Chứng minh rằng: Bài 9: a) Tính I = b) Chứng minh rằng: Bài 10: a) Tính I = b) Tính: S = Bài 11: a) Tính tích phân I = b) Rút gọn tổng: S = Bài 12: Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2 a) Tính tích phân : In = b) Chứng minh rằng: Bài 13: a) Tính tích phân: I = (n ) b) Từ đó chứng minh rằng: Chủ đề 6: Tính tổng một biểu thức tổ hợp Chú ý: Tính tổng của biểu thức tổ hợp và chứng minh đẳng thức tổ hợp có sự tương tự. Tuy nhiên có sự khác nhau ở chỗ, chứng minh đẳng thức thì biết trước kết quả, còn tính tổng thì chưa biết trước kết quả. Các bài toán thực hành: Bài 1: Tính: S = Đs: 1024 Bài 2: a) Tính: Đs: 22n-1 b) Tính: S = Đs: 22n-1 Bài 3: Tính tổng: S = Đs: 3n Bài 4: a) Tính: S = Đs: 58 b) Tính: S = Đs: 4n c) Tính: S = Đs: 10n Bài 5: a)Tính: S = Đs: 0 b) Tính: S = Đs: n.2n-1 +1 c) Tính: S = Đs: 2n-1(n+2) Bài 6: a) Tính: S = Đs: 9 b) Tính: S = Đs: -110 c) Tinh: S = Đs: 1001.22000 Bài 7: a) Tính: S = Đs: n(n + 1).2n-2 b) Tính: S = Đs: 0 c) Tính: S = Đs: n(n – 1)2n-2 Bài 8: Tính: S = Đs: Bài 10: a) Tính: S = Đs: b) Tính: S = Đs: c) Tính: S = Đs: 0 Bài 11: Tính: S = Đs: Bài 12: a) Tính: S = Đs: b) Tính: S = Đs: 3n – 2n Bài 13: Tính: S = Đs: n Bài 14: a) Tính I = Đs: b) Tính: S = Đs: Bài 13: a) Tính: S = (với n chẵn) Đs: b) Tính: S = Đs: Chủ đề 7: tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng Loại 1 : Bài toán không cho giả thiết Phương pháp + Khai triển: = + Số hạng tổng quát thứ (k+1) là: + Chọn k ứng với số hạng cần tìm. Suy ra số hạng hoặc hệ số của số hạng đó. Chú ý: + Trong khai triển (a+b)n; (a - b)n có n + 1 số hạng + Tổng số mũ của a và b luôn bằng n. + Khai triển theo thứ tự bậc tăng dần hay giảm dần. + Cần chú ý đến số hạng cần tìm, không nhất thiết phải khai triển tất cả các hạng tử. + Nếu biểu thức là một đa thức thì ta đưa về dạng nhị thức (a+b)n ; (a-b)n và khai triển từng phần một. Các bài toán thực hành: Bài 1: Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển: Đs: 120 Bài 2: Xác định hệ số thứ nhất, thứ năm, thứ mười trong khai triển: Bài 3: Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển: Đs: 35x2 Bài 4: Cho khai triển: . Hãy tìm xem hạng tử thứ mấy chứa a7? Đs: 924.2-30.a7 Bài 5: Tìm hạng tử không chứa x trong khai triển: Đs: 3003 Bài 6: Trong khai triển: .Tìm hạng tử độc lập với x. Đs: 924 Bài 7: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton: Đs: 495 Bài 8: Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (x + y)25 Đs: 5200300 Bài 9: Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x - 3y)25 Đs: Bài 10: Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển: Đs: 252. Bài 11: Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển: a) (x3 + xy)30 Đs: b) (x3 – xy)15 Đs: 6435x29y8 Bài 12: Tìm một hạng tử của khai triển: là số nguyên. Đs: 8 và 4536 Bài 13: Tìm số hạng của khai triển là số nguyên. Đs: 27, 2025, 10125, 3375 Bài 14: Đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1+x)2 + 3(1 + x)3 ++ 20(1 + x)20 được viết dưới dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20. Tìm a15. Đs: 400995 Bài 15: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức (1 + x)9 + (1+x)10 + (1 + x)11 ++(1 + x)14 ta được đa thức P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + a20x20. hãy xác định hệ số a9. Đs: 3003 Bài 16: Khai triển: (3 + x)50 = a0 + a1x + a2x2 + + a50x50 a) Tìm hệ số a46 Đs: 18654300 b) Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + + a50. Đs: 450 Bài 17: Khai triển f(x) = (x – 2)80 = a0 + a1x + a2x2 + + a80x80 a) Tính hệ số a78 Đs: 12640 b) Tính S = 1.a1 + 2.a2 + 3.a3 + + 80.a80; Đs: -80 Bài 18: Tìm hệ số của một hạng tử chứa x4 trong khai triển: Đs: 8085 Bài 19: Khai triển a) Tính: T = a0 – a1 + a2 – + a3992 Đs: 1 b) Chứng minh rằng: S = a0 + 2a1 +22 a2 + + 23992a3992 chia hết cho 2401 Bài 20: Khai triển a) Tính a10 Đs: 101 b) Tính: T = a0 + a1 + a2 + + a15 Đs: 1024 A = a0 – a1 + a2 – – a15 Đs: 0 Bài 21: Xác định hệ số của xn trong khai triển: Đs: Bài 22: Tìm hệ số của x2 khi khai triển và rút gọn: Đs: - 230 Bài 23: Tìm số hạng chứa x và y với số mũ của chúng đều là số nguyên dương khi khai triển: Đs: Bài 24: Xác định hệ số của x6y2 trong khai triển: Đs: 45 Bài 25: Trong khai triển: có bao nhiêu số hạng là số nguyên? Đs: 63 số. Loại 2 : Bài toán cho giả thiết Phương pháp + Dựa vào đẳng thức đã cho, giải phương trình tìm n. + Dựa vào Loại 1 tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng. Chú ý: Trong loại bài toán này và trong khai triển (a + bx)n ; , (trong đó a, b, p, q là các hằng số), đã ho biết một vài số hạng trong tổng thoả mãn một đẳng thức nào đó. Tìm n, tìm hệ số thứ k nào đó trong khai triển . Các bài toán thực hành: Bài 1: Cho khai triển: Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5. Tìm số hạng chín giữa của khai triển. Bài 2: Cho khai triển Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển trên là 33. tìm hệ số của x2. Bài 3: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024. Tìm hệ số của x12. Bài 4: Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển: biết:. Bài 5: Tìm hệ số của x8 trong khai triển: biết: . Bài 6: Cho khai triển nhị thức: (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó: và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm x và n. Bài 7: Tìm số nguyên x sao cho hạng tử thứ năm trong khai triển: là 240. Bài 8: Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ ba của khai triển: là 1000000? Bài 9: Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ tư của khai triển: là 200. Bài 10: Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ sáu của khai triển: là 84. Bài 11: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển tổng các hạng tử thứ ba và năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22? Bài 12: Tìm hạng tử thứ ba của khai triển: nếu . Bài 13: Cho biết trong khai triển: tổng các hệ số các hạng tử thứ nhất, hai, ba, là 46. Tìm hạng tử không chứ x? Bài 14: Tìm biết hạng tử thứ sáu của khai triển không phụ thuộc và x. Bài 15: Trong khai triển: tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ ba bằng 36. Cho biết thêm hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai. Tìm x. Bài 16: Cho biết tổng của ba hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển: là 97. Tìm hạng tử của khai triển chứa x4? Bài 17: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển: có hai hệ số liên tiếp có tỷ số là ? Bài 18: Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển: có các hệ số là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm x để hạng tử thứ 5 bằng 1. Bài 19: Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: là 64. Tìm hạng tử không chứa x. Bài 20: Tìm giá trị của x sao cho hiệu số giữa hạng tử thứ tư và hạng tử thứ sáu của khai triển: bằng 56 và cho biết thêm luỹ thừa m bằng hệ số của hạng tử thứ ba trừ đi 20. Chủ đề 8: một số bài toán khác Bài 1: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số các số hạng khi khai triển: (1 + x)101. Bài 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển: (1 + 2x)20. Bài 3: Tìm hạng tử của khai triển (a +b)50 có giá trị tuyệt đối lớn nhất cho biết . Bài 4: Chứng minh rằng: () Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 2 ta có: . Bài 6: Chứng minh rằng: Các dạng toán luận lý Chủ đề 1: Bài toán dùng quy tắc nhân và cộng Bài 1: Từ các số 0, 1, 2, 4, 5, 6. Hãy tìm tất cả các số có bốn chữ số khác nhau. Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Bài 3: Từ các số: 0, 1, 2, 7, 8, 9. Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm năm chữ số khác nhau? Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau? Bài 4: Từ các số 0, 4, 5, 7, 9. a) Tìm tất cả các số có bốn chữ số khác nhau? b) Có bao nhiêu số lớn hơn 5000? c) Có bao nhiêu số chia hết cho 5? Bài 5: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. a) Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm năm chữ số khác nhau? b) Có bao nhiêu chữ số lẻ có ba chữ số khác nhau nhỏ hơn 400? Bài 6: Từ các số 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 hãy tìm tất cả các số chẵn có bốn chữ số khác nhau và lớn hơn 5000? Bài 7: Từ các số 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8 tìm tất cả các số có bốn chữ số khác nhau sao cho: Số tận cùng bằng 6. Chia hết cho 5? Bài 8: Với các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau trong đó phảI có chữ số 2? Bài 9: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hãy lập các số có bốn chữ số khác nhau sao cho Luôn có mặt chữ số 5 Số tạo thành nhỏ hơn 4000. Bài 10: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hãy lập các số có bốn chữ số khác nhau sao cho: Chữ số hàng trăm là 2 Luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5 Bài 11: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 Hãy tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300, 500). Các chữ số không cần khác nhau. Bài 12: Từ các số 0, 1, 2, 5, 6 hãy lập một số có năm chữ số khác nhau, trong đó hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau. Bài 13: Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau sao cho a1 + a6 = 10, a2 + a5 = 10, a3 + a4 = 10. Bài 14: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 hãy tính tổng của tất cả các số có năm chữ số khác nhau tạo thành từ các số trên. Bài 15: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hãy lập các số có năm chữ số đôi một khác nhau sao cho: Chữ số đầu tiên là 5 và chia hết cho 5. Một trong hai chữ số đầu tiên là 2 và chia hết cho 5. Bài 16: Từ các số 0, 1, 2, 3, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số khác nhau và một trong hai chữ số đầu tiên phảI là 7? Bài 17: Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10. Bài 18: Hỏi từ mười số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có thể lập được bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1? Bài 19: Cho tập hợp A = Có bao nhiêu tập con X của A thoả mãn điều kiện X chứa 1 và không chứa 2? Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số đôI một khác nhau lấy ra từ tập hợp A và không bắt đầu bằng 123? Bài 20: a) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? b) Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn? Chủ đề 2: bài toán đếm dùng chỉnh hợp - tổ hợp Bài 1: Tìm tất cảc các số có sáu chữ số khác nhau Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,5, gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 có mặt ba lần các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần. Bài 3: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4,5 hãy lập một số có năm chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau. Bài 4: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9. Bài 5: Có bao nhiêu số lẻ gồm sáu chữ số chia hết cho 9. Bài 6: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hỏi có bao nhiêu số có ba chữ số không chia hết cho 3 và các chữ số khác nhau. Bài 7: Có bao nhiêu số có năm chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ. Bài 8: Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau đôI một được thành lập từ sáu chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. Bài 9: Với các vhữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789. Bài 10: Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau từng đôi một, sao cho trong năm chữ số đó có đúng ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ. Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số hai có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần. Bài 12: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Bài 13: Từ các số 1, 2, 3, 4 hỏi có bao nhiêu số có bảy chữ số trong đó có bốn chữ số 1 và ba chữ số còn lại là 2, 3, 4. Bài 14: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu sô gồm tám chữ số, trong đó chữ số 5 có mặt ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.