Giáo án môn Toán khối 11 - Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Sơ đồ khảo sát hàm số : ( SGK – Tr31) 1) Khảo sát hàm đa thức : Bài 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : a) y = - x3 + 3x – 1 b) y = 2x3 + 3x2 – 1 c) y = x3 – 3x2 + 3x – 2. d) y = -x3 + 3x2 - 9x +1 e) y = x4 – 2x2 + 1 f) y = -x4 + 3x2 + 4; g ) y = x4 - 3x2 + 4; h) y = - x4 + 2x2 2) Khảo sát hàm phân thức hữu tỉ : Bài 2 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau : a/ y = b/ y = c/ y = d/ y = Cho học sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị. Buổi 1 (3 Tiết): I. Bài toán về đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tâp D. Điều kiện để hàm số luôn nghịc biến trên D là f’(x) 0 , x Điều kiện để hàm số luôn đồng biến trên D là f’(x) 0 , x Nếu f’(x) là tam thức bậc 2 hay cùng dấu với tam thức bậc 2 thì điều kiện để hàm số luôn nghịch biến là : y’ 0 , x ( Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0 ) Nếu f’(x) là tam thức bậc 2 hay cùng dấu với tam thức bậc 2 thì điều kiện để hàm số luôn đồng biến là : y’ 0 , x ( Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0 ) Ví Dụ 1: Tìm m để hàm số y = (m + 1)x3 – 3(m – 2)x2 + 3(m + 2)x + 1 đồng biến trên R. Giải : Nếu m + 1 = 0 m = -1 thì hàm số y = 9x2 + 3x + 1 > 0 hàm số luôn đồng biến. Nếu m + 1 0 m - 1. ta có y’ = 3(m + 1)x2 – 6(m – 2)x + 3(m + 2) Để hàm số đồng biến khi và chỉ khi Vậy với m = -1 và m thì hàm số đồng biến trên R. Ví Dụ 2 : Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Giải : TXĐ : D = R\ ; y’ = . Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y’ 0 với -1 0 với -1 m 1, -1 Vậy với m 1 thì hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. II. Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số. a) Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên D nếu: (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y = f(x) trên D nếu: (ký hiệu m=minf(x) ) b) Cách tìm GTLN - GTNN trên (a, b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a, b) + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a, b) c) Cách tìm GTLN - GTNN trên [a, b]. + Tính f’(x) + Tìm các điểm x1,x2, ..., xn trên khoảng (a; b), tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định. + Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ví Dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = trên khoảng xác định của nó. Giải : TXĐ : D = R y’ =  ; y’ = 0 = 0 x = 0 Bảng biến thiên x 0 y’ - 0 + y -1 Từ BBT ta thấy trên R hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là GTNN của hàm số. Vậy Min f(x) = - 1( tại x = 0) . R Ví dụ 4 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1; 1]. Giải : TXĐ : D = R Hàm số xác định và liên tục trên [-1; 1]. y’ = 3x2 – 6x; y’ = 0 3x2 – 6x = 0 y(-1) = 1; y(0) = 5; y(1) = 3 vậy Max y = y(0) = 5; Min y = y(-1) = 1 [-1; 1] [-1; 1] III. Bài toán về tiệm cận : Ví dụ 5: Cho hàm số (Cm): y = Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ). Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho hàm số y = . Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1. Tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định. Bài 3: a) Cho hàm số y = . Tìm m đê hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. b) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – m . Tìm m đê hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Bài 4 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số : y = 2x – e trên đoạn [0; ln3]. y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [- 4; 4]. y = sin2x – x trên đoạn [ ; ]. y = e + e trên đoạn [ -1; ln2]. y = x – 1 – 2lnx trên đoạn [ 1; e]. Bài 5: Cho hàm số (Cm): y = Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C(; -3). Buổi 2 (3 Tiết):: IV. Bài toán về cực trị : * CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: a.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 Î(a,b) . Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho f(x) < f(x0) (x ≠ x0). Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0) (x ≠ x0). b. Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng k = ( x0 – h; x0 + h) và có đạo hàm trên k hoặc trên k \{x0}, với h > 0     a) Nếu f’(x0) > 0 trên khoảng (x0 – h; x0); f’(x) < 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).     b) Nếu f’(x) 0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).     Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị.     Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) > 0 hoặc f''(xo) < 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa 1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu. 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. * Chú ý: Thường dùng đối với bài toán lượng giác và bài toán tìm cực đại, cực tiểu của hàm số Ví Dụ 5: Định m để hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị Giải: TXĐ : D = R Ta có : y’ = 3x2 – 12x + 3(m + 2) y’ = 0 3x2 – 12x + 3(m + 2) = 0 Hàm số có cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ’ = 36 – 3.3(m + 2) > 0 m < 2 Vậy với m < 2 hàm số luôn có cực trị. Ví Dụ 6: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. Giải : TXĐ : D = R Ta có : y’ = 3x2 + 2mx – 2m y’’ = 6x + 2m Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 Vậy với thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. * Chú ý : Bài toán ứng dụng cực trị để tìm số nghiệm của phương trình. Đồ thị hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có cực đại, cực tiểu và yCĐ . yCT < 0 Bài tập áp dụng: Bài 1: Định m để hàm số y = x3 + mx2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1 Bài 2 : a) Định m để hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – (m2 – 1) đạt cực đại tại x = 1 . b) Cho hàm số y = – ax2 + b. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng – 2 tại x = 1. Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Bài 4: Cho hàm số y = 4x3 – 3x + m. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 5: Cho hµm sè , có ®å thÞ lµ(). T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó () c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Buổi 3 (3 Tiết): : V. Bài toán về sự tương giao của các đồ thị. a) Cho hai đồ thị (C1) y = f(x) và (C2) : y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) ( Gọi là phương trình hoành độ giao điểm ). Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của 2 đồ thị. Đồ thị hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx + d ( a 0 ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có 3 nghiệm phân biệt Ví dụ 7 : Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau : y = x4 – x2 – 1 và y = –2x2 + 5 Giải : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên chính là nghiệm của phương trình : x4 – x2 – 1 = – 2x2 + 5 x4 + x2 – 6 = 0 Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên là : ( ; 1 ) và (- ; 1 ) Ví dụ 8 : Tìm giá trị của m để đồ thị các hàm số y = và y = x + 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Giải : Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên chính là nghiệm của phương trình : = x + 2m (*) . Để 2 đồ thị trên cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt . Ta có = x + 2m Xét phương trình x2 + ( 2m – 7)x – (8m + 1) = 0 có = (2m – 7)2 + 4(8m + 1) >0 m Vậy với mọi giá trị của m đồ thị 2 hàm số trên luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Ví Dụ 9 : Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = mx3 + 3x2 – (1 – 2m)x – 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Giải : Để đồ thị hàm số y = mx3 + 3mx2 – (1 – 2m)x – 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình mx3 + 3mx2 – (1 – 2m)x – 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt (x + 1)(mx2 + 2mx – 1) = 0 (*) có 3 nghiệm phân biệt . (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình mx2 + 2mx – 1= 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 Vậy với m thuộc các khoảng ( ; - 1) , và (0 ; ) thì hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. VI. Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Phương pháp: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d). Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. Ví Dụ 10 : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C) Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + 4 – m = 0 (*) Giải : Đồ thị (C) Tù vÏ Ta có : x3 – 3x2 + 4 – m = 0 x3 – 3x2 + 4 = m . Nên số nghiệm của Phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 4 và đường thẳng y = m. Dựa vào đồ thị, ta suy ra số nghiệm của phương trình (*) như sau : Nếu m > 4 hoặc m < 0 : phương trình (*) có một nghiệm Nếu m = 4 hoặc m = 0 : phương trình (*) có 2 nghiệm Nếu 0 < m < 4 : phương trình (*) có 3 nghiệm . Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm m để đồ thị các hàm số y = và y = - m + x cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Bài 2 : Tìm m để đồ thị các hàm số : y = x3 + 3x2 + mx + 2m và y = -x + 2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. y = (x – 1)(x2 – mx + m2 – 3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt . y = x3 + 2x2 – m2x + 3m và y = 2x2 + 1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) : y = mx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Bài 4 : a) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + 2 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :– x3 + 3x2 + 1 – m = 0 b)Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1. Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : - x4 + 2x2 + 1 = Bài 5 : a) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C) Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + 4 = m2 – 1 b) Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1 có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 2x2 – 1 + m = 0 Buổi 4 (3 Tiết): VII. Bài toán tiếp tuyến : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tọa độ M(x0 ; y0): B1 : Tìm đạo hàm f’(x) hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0) B2 : Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 B1: Tìm đạo hàm f’(x) hệ số góc tiếp tuyến k = f’(x0), tìm y0 B2: Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ y0 B1 : Tìm đạo hàm f’(x) B2: giải phương trình f(x0) = y0 tìm được x0, f’(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến : y = f’(x0)(x – x0) + y0 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc l là k. B1: Tìm f’(x), gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm B2: Hệ số góc của tiếp tuyến là k nên: f’(x0) = k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x0 tìm được y0 Phương trình tiếp tuyến. Chú ý : Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = a. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k = – . Ví Dụ 10: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyển của (C) tại điểm M (1; 5) Giải : Ta có : y’ = 3x2 + 6x hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là y’(1) = 9 phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1; 5) là: y = 9(x – 1) + 5 = 9x – 4 . Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyển của (C) a) Tại điểm có hoành độ x0 = –1. b) Tại điểm có tung độ y0 = 5 c) Song song với đường thẳng y = 9x + 2009 . Bài 17: Cho hàm số y = –x4 + 2x2 + 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M( 2; - 7). Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – 3, biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất. Bài 3: Cho hàm số số y = - x3 + 3x2 – 2, có thị hàm số là ( C), Viết phương trình tiếp với đồ thị ( C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y// = 0. Cho hàm số y = – x3 + 3mx – m có đồ thị là (Cm).Viết phương trình tiếp tuyến với (C1) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình . Bài 4 : Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 có đồ thị là (Cm). Viết phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm M(0; -1). Bài tập luyện tập : Bài 1: Cho hàm số (1) a) Tìm các điểm mà giá trị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m. b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hs (1) luôn có cực trị. c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hs (1) khi m = 0. d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại 3 điểm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của hs (C) tại các giao điểm của nó với trục ox. c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) vứi đồ thị (P) của hàm số : . Bài 3 : Cho hàm số a) Xá định a để hàm số luôn đồng biến. b) Với giá trị nào của a hàm số có cực đại, cực tiểu. c) Xác định a để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với . Bài 4: Cho hàm số . a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hs luôn đồng biến trên các khoảng xác định của nó. b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm A(-1; ). c) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-3; 1). d) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2. e)Viết pt tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung. Bài 5 : Cho hàm số có đồ thị (C). a) Khảo sát hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. c) Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O; A; B. Bài 6: Cho hàm số có đồ thị (C), a) Khảo sát hàm số. b) Viết pt tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A(3; -2). c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (d) ; Oy. Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C), a) Khảo sát hàm số. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = - 2. c) Chứng minh rằng với mọi đường thẳng y = kx cắt(C) tại hai điểm phân biệt. Bài 8 : Cho hµm sè a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b) ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i t©m ®èi xøng. c) Dùa vµo ®å thÞ (C) biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: d) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc hoµnh vµ c¸c ®­êng th¼ng x = 1, x = 2. Bài 9: Cho hµm sè . a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 1. c) Mét ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( 0; 1) cña (C) cã hÖ sè gãc k. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng (d). T×m to¹ ®é giao ®iÓm trong tr­êng hîp k = 1. Bài 11: Cho hµm sè , m lµ tham sè, ®å thÞ lµ (). a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 3. b) Gäi A lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ (C) vµ trôc tung. ViÕt pt tiÕp tuyÕn (d) cña (C) t¹i ®iÓm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) vµ tiÕp tuyÕn (d). c) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó () c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt. Bài 12 : Cho hµm sè , cã ®å thÞ (C). a) Kh¶o s¸t hµm sè. b) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (C) vµ ®­êng th¼ng (d) : y = 3x - 2. c) TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i O c¾t (C) t¹i A. T×m to¹ ®é ®iÓm A. d) BiÖn luËn theo k vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña (C) vµ ®­êng th¼ng y = kx. e) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. f) ViÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) song song víi ®­êng th¼ng : y = 7x. g) ViÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng : y = x. Bài 13 : Cho hµm sè . a) Kh¶o s¸t hµm sè khi m = 0. Gäi (C) lµ ®å thÞ. b) T×m m ®Ó hµm sè cã 3 cùc trÞ. Bài 14 : Cho hµm sè , m lµ tham sè, ®å thÞ lµ (). a) BiÖn luËn theo m sè cùc trÞ cña hµm sè. b) Kh¶o s¸t hµm sè khi m = 5. c) Gäi (C) lµ ®å thÞ ë c©u b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và đường thẳng x = 5. Buổi 5 (3 Tiết): MŨ – LOGARIT HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM Một số Quy tắc tính đạo hàm: Hàm hợp (u = u(x)) Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số: a) b) c) Bài giải: a) . b) . c) . DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA ĐẠO HÀM. B1: Tìm đạo hàm y’. B2: Thay y’ vào vế “trái”hoặc vế “phải” của đẳng thức, biến đổi suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng (*) Bài giải: Ta có . Khi đó VT(*) ==VP(*). Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Cho hàm số . Chứng minh rằng , Bài giải: , ta có. Suy ra (ĐPCM) DẠNG 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC, TÍNH BIỂU THỨC . Ví dụ 1: Tính Bài giải: . . Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức (a > 0). Bài giải: . Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a) b) c) . Bài giải: a) Vì và nên . b) Vì và nên . c) Vì và nên . DẠNG 4: TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA MŨ, LOGARIT TXĐ [a;b]. Tìm đạo hàm f ’(x). Tìm xi trên khoảng (a; b) mà Tính . (nếu cần thì học sinh có thể lập bảng biến thiên) So sánh và kết luận . Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Bài giải: ta có: ; . ; ; Vậy khi x = ln 2 và khi x = 0. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) trên đoạn . b) trên đoạn . c) trên đoạn . d) trên đoạn . e) trên đoạn . Bài 2: Rút gọn biểu thức: a. c. d. e. f. Bài 3: Tính a. b. c. e. Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a. b. c. d. e. f. Bài 5: So sánh các cặp số sau: a. và b. và c. và d. và Bài 6: a. Chứng minh rằng với . b. Chứng minh rằng với . .*** PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG 1: DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT Đưa về dạng: *) Chú ý : Trước khi giải phương trình logarit ta đặt điều kiện cho Điều kiện: Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. b. Bài giải: a. . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 b. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2. DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA Đưa về dạng: và Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. b. Bài giải: a. . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là b. . Buổi 6 (3 Tiết): DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . Đặt . Biến đổi phương trình mũ về phương trình bậc 2, bậc 3,theo . Giải phương trình này và chọn nghiệm . Giải tiếp suy ra . Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. b. c. Bài giải a. Đặt . Khi đó phương trình đã cho có dạng *) t = 8 ta có *) t = ½ ta có Vậy phương trình đã cho có nghiệm là . b. Ta có pt đã cho Đặt .Khi đó pt đã cho có dạng . Kết hợp với t > 0 ta được . Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1. c. Điều kiện x >1. . Đặt . Khi đó phương trình dã cho có dạng *) *) Kết hợp điều kiện x > 1 ta có nghiệm của phương trình đã cho là . BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau: 1.. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. 10. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ CỦA MŨ, LOGARIT Đưa về dạng: . Và . Tùy theo a >1 hay a <1 mà ta có kết quả. (VD: ) Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: a. b. c. Bài giải: a. . . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là . b. . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là c. . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là DẠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: a. b. Bài giải: a. . Vậy . b. . Vậy . DẠNG 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: a. b. c. Bài giải a. . Đặt .Khi đó ta có bpt Kết hợp điều kiện t > 0 ta được *) Với .Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . b. . Đặt . Bất phương trình trở thành: -1 0 1 3 +¥ 0 0 0 – – – + + + – – – + – + + – + 0 0 + + Vậy tậpnghiệm của bất phương trình đã cho là . c. Điều kiện x > 0. Đặt .Khi đó phương trình có dạng : Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là . BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Bài 1: Giải các phương trình: a. b. c. 32x+1 – 9.3x + 6 = 0 d. . Bài 2: Giải các phương trình: a. log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1 b. c. d. e. Bài 3: Giải các bất phương trình: a. b. c. d. Bài 4: Giải các bất phương trình: a. b. c. d. e. . Bài 5: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. b. c. d. PHƯƠNG TRÌNH MŨ ------***------ II. Các phương pháp giải phương trình mũ Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản : Đưa về dạng cơ bản . Phương pháp đưa về dạng cùng cơ số . . Phương pháp dùng ẩn số phụ Đặt . Biến đổi phương trình mũ về phương trình bậc 2, bậc 3,theo . Giải phương trình này và chọn nghiệm . Giải tiếp suy ra . Phương pháp đưa về phương trình tích Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung hai lần, suy ra phương trình tích. Phương pháp lấy logarit thích hợp 2 vế Phương pháp dùng tính đơn điệu Biến đổi phương trình về dạng: , trong đó hai hàm số đối đơn điệu nghiệm ngặt. Đoán nhận 1 nghiệm nghĩa là: . Suy ra 2 đồ thị cắt nhau tại một điểm duy nhất phương trình có 1 nghiệm duy nhất . I.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Giải phương trình: Ví dụ 2. Giải phương trình: Ví dụ 3. Giải phương trình: . Ví dụ 4. Giải phương trình: . Đs: . Ví dụ 5. Giải phương trình:. Ví dụ 6. Giải phương trình: . Đs: . I.4. Bài tập Dạng 1: Đưa về cùng cơ số Giải các phương trình sau : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Dạng 2 : Đặt ẩn phụ Giải các phương trình sau: 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Dạng 3: Logarit hoá Giải các phương trình sau : 1. (0.1) 2. 3. 4. 5. Dạng 4 : Dùng tính đơn điệu: 1. Giải phương trình: . Đs: . 2. Giải phương trình: . Đs: . 3. Giải phương trình: . Đs: . PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT -------------------------------- I.2. Phương pháp giải phương trình logarit Nhớ lại rằng trước khi giải phương trình ta đặt điều kiện cho là Điều kiện: Phương pháp đưa về cùng cơ số . Phương pháp đặt ẩn số phụ Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình đại số. Phương pháp đưa về phương trình tích Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phương trình tích. Phương pháp dùng tính đơn điệu Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất. Dùng phương pháp đối lập . Dạng: . I.3. Bài tập Bài 1. . Đs: . Bài 2. . Đs: . Bài 3. . Đs: . Bài 4. . Đs: . Bài 5. . Đs: . Bài 6. . Đs: . Bài 7. . Đs: . Bài 8. . Đs: . Bài 9. . Đs: . Bài 10. . Đs: hoặc . Bài 11. . Đs: . Bài 12. . Đs: . Bài 13. . Đs: . Bài 14. . Đs: . Bài 15. . Đs: . Bài 16. . Đs: hoặc . Bài 17. . Đs: hoặc . Bài 18. . Đs: . Bài 19. . Đs: . Bài 20. . Đs: . Bài 21. . Đs: . Bài 22. . Đs: . Bài 23. . Đs: . Bài 24. . Đs: . Bài 25. . Đs: . Bài 26. . Đs: . Bài 27. . Đs: . Bài 28. . Đs: . Bài 29. . Đs: . ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TN CHƯƠNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN Buổi 7 (3 Tiết): I. Kiến thức cơ bản Định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập K, với K là tập con của tập số thực. Nêu các tính chất của nguyên hàm và nêu các phương pháp tìm nguyên hàm. Hoàn thiện bảng nguyên hàm sau: Định nghĩa tích phân của hàm số f(x) trên [a,b]. Nêu các tính chất của tích phân. Nêu một số phương pháp tính tích phân như : +) phương pháp đổi biến số +) Tính tích phân từng phần Nêu các ứng dụng của tích phân trong hình học. Có những loại bài toán tính diện tích và thể tích nào? II. Bài tập Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 1. 2. 3. 4. 5. 6. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số: 1. (đặt t= 2-x) 2. (đặt ) 3. (đặt ) 4. (đặt ) 5. ( đặt t= 3+x3) 6. (đặt ) 7. (đặt t=1+x2) 8. (đặt t=1+x2) 9. (đặt t=lnx) Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Buổi 8 (3 Tiết): Bài 1. Tính các tich phân sau bằng phương pháp đổi biến số: 1. (t=1-x) 2. 3. 4. 5. 6. (t=lnx) 7. 8. 9. 10. 11 . 12. 13. (t=t