Giáo án môn Toán khối 11 - Chương III: Dãy số - Cấp số cộng - cấp số nhân - Tiết 47 đến tiết 49

Chương III: Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân Tiết 47: Phương pháp qui nạp toán học I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh qui nạp.Vận dụng chứng minh các mệnh đề chứa biến lấy giá trị trên tập N. II/Trọng tâm: - Phơng pháp chứng minh qui nạp. III/Nội dung: 1.Bài củ: 2.Bài mới: HS:Thực hiện hoạt động GV:Để có thể khẳng định mệnh đề chứa biến trên đúng hay sai ta không thể dựa vào 1 vài hiện tợng ban đầu để kết luận. GV:Giải thích phơng pháp bằng cách phân tích nguyên lý qui nạp. H1:VT có bao nhiêu số hạng? HS: kiểm tra đẳn thức khi n = 1 HS: phát biểu lại đẳng thức khi n = k, n= k + 1 HS: Thực hiện hoạt động HS:Xác định các biểu thức Ak,Ak+1. HS: Thực hiện hoạt động I/Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n* là đúng với mọi n ta làm như sau: Bớc1:Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n =1 Bớc 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với n = k1(gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1. Phương pháp trên gọi là Phương pháp chứng minh qui nạp hay còn gọi là phương pháp qui nạp. II/Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 1 + 3 + 5 + ... +(2n - 1) = n2 với n*. Giải: Bước 1: Khi n = 1. VT = 1,VP = 12 Vậy :đẵng thức đúng. Bước 2: Đặt VT = Sn. Giả sử đẳng thức đúng với n = k1. Tức: Sk = 1 + 3 +5 +...+ (2k - 1) = k2.(gt qui nạp) Ta chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.Tức là: Sk+1 = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = = (k + 1)2. Thật vậy: Từ gt qui nạp ta có: Sk+1 = Sk + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2. Vậy: đẵng thức đúng với mọi n*. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với n* thì n3 - n chia hết cho 3. Giải: Đặt An = n3 - n Bước 1: Với n = 1,ta có: A1 = 0 3. Bước 2:Giả sử với n = k 1, Ak = (k3 - k) 3 (gt qui nạp). Ta phải chứng minh: Ak+1 3 Thật vậy,ta có: Ak+1 = (k + 1)3 - (k + 1) = = k3 + 3k2 + 3k + 1 - k - 1 = = (k3 - k) + 3(k2 + k) = Ak + 3(k2 + k) Theo gt qui nạp Ak3,hơn nữa 3(k2 + k) 3 nên Ak+13 Vậy: An = n3 - n chia hết cho 3 với mọi n* Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên () thì: - ở bước 1 ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. - ở bớc 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = kp và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k +1. 3.Cũng cố - Luyện tập: Bài tập 1:(SGK) IV/Hớng dẫn về nhà: - Học thuộc các bước chứng minh qui nạp Bài tập: 1 - 5. Tiết 48 + 49: Bài tập I/ Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm vững phương pháp chứng minh qui nạp.Rèn luyện kỹ năng chứng minh các mệnh đề toán học bằng phương pháp qui nạp II/Nội dung: 1.Bài củ: - Nêu các bước chứng minh qui nạp? 2.Bài mới: Hoạt động 1: HS1:Giải a) HS2:Giải b) Hoạt động 2: HS3:Giải a) HS4:Giải b) Hoạt động 3: GV: chữa kỷ bài tập 3a) Hoạt động 4: HS5:Giải a) HS6:Giải b) Hoạt động 5: GV chữa kỷ bt 5a) H:Nhận xét số mũ của a,b ở vế phải? Phát biểu qui luật khai triển? Bài tập 1:CM các đẳng thức sau đúng với mọi n: a) b) Giải: a) n = 1: VT = 2 = VP (đúng) Giả sử đt đúng với n = k1.Tức: Ta cm đt cũng đúng với n = k+1.Tức: Thật vậy,ta có: Vậy: mọi n b)HS tự giải. Bài tập 2:CMR với mọi n,ta có: a) n3 + 32 + 5n chia hết cho 3. b) 4n + 15n - 1 chia hết cho 9. Giải: Đặt An = 4n + 15n - 1 n = 1: A1 = 18 chia hết cho 9 Giả sử : Ak = 4k + 15k - 1 chia hết cho 9 với k1. Ta cm Ak+1 cũng chia hết cho 9. Thật vậy, ta có: Ak+1 = 4k+1 + 15(k+1) - 1 = 4Ak - 45k +18 = =4Ak +9(2 - 5k) chia hết cho 9. Bài tập 3: Chứng minh BĐT: trong đó ,x1,x2,.. xn dương và x1x2x3...xn = 1. Giải: n = 1: x1 = 1 (BĐT đúng) Giả sử BĐT đúng với n = k1.Ta cm BĐT cũng đúng với n = k + 1.Thật vậy,giả sử có k+1 số dương: x1,x2,...xk,xk+1 sao cho x1x2x3...xkxk+1 = 1.Ta chứng minh: Vì : x1x2x3...xkxk+1 = 1 nên xảy ra 2 t/h sau: TH1: BĐT đúng. TH2: Có ít nhất 1 trong các số xi(i=1,2,...k+1) khác 1.Khi đó phải có ít nhất 1 cặp số sao cho một số lớn hơn 1 số kia nhỏ hơn 1.Không mất tính tổng quát ta giả sử: Đặt x'k = xkxk+1 ta có: x1x2...xk-1x'k = 1 Do đó theo gt qui nạp ta có: hay: (1) Mặt khác: (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm Bài tập 4:CMR: với mọi số tự nhiên n2 ta có: a) 3n > 3n + 1 b) 2n - n > 1,5 Bài tập 5: CM đẵng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1) Giải: n = 1: VT = a - b = VP Giả sử ĐT đúng với n = k 1 Tức: ak - bk = (a - b)(ak-1 + ak-2b +...+ abk-2 + bk-1) Ta cm ĐT cũng đúng với n = k + 1. Tức là: ak+1 - bk+1 = (a - b)(ak+ ak-1b +...+ abk-1 + bk) Thật vậy, ta có: ak+1 - bk+1 = ak+1 - abk + abk - bk+1 = = a(ak - bk) + bk(a - b) =a(a - b)(ak-1 + ak-2b +...+ abk-2 + bk-1)+ bk(a-b) =(a - b)(ak+ ak-1b +...+ abk-1 + bk) III/Hướng dẫn về nhà: Bài tập 3,5 (sgk) Nắm các bước chứng minh qui nạp. Tiết 50: dãy số I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm được khái niệm dãy số và các tính chất của nó như đơn điệu, bị chặn.Biết cách xác định các tính chất trên của dãy số. II/ Trọng tâm: - Khái niệm dãy số,cách cho dãy số,số hạng tổng quát của dãysố - Tính đơn điệu,bị chặn của dãy số. III/Nội dung: 1Bài củ: - Nêu khái niệm hàm số? 2.Bài mới: Hoạt động 1: cho Tính f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)? GV:f(n) đợc gọi là một dãy số vô hạn. Hoạt động 2: HS:Nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ Hoạt động 3: HS:Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau: a)dãy các số tự nhiên chẵn. b)Dãy các số tự nhiên chia cho 3 d 1 Hoạt động 4: HS: Viết 10 số hạng đầu của dãy Phibônaxi Hoạt động 5: Cho các dãy số:(un),(vn) Với: un = 1 - vn = 2 - 3n CM: un vn+1 Với mọi n. H:Nêu các phơng pháp xet tính đơn điệu của sãy số? Hoạt động 6: Cho chứng minh: 0<un<2 với mọi n. I.Định nghĩa: 1.Dãy số: Định nghĩa:(SGK) Dạng khai triển: u1,u2,...,un,... trong đó un = u(n) Ví dụ:(sgk) 2.Dãy số hữu hạn: Định nghĩa:(SGK) Dạng khai triển: u1,u2,...,um Ví dụ:(sgk) II.Cách cho một dãy số: 1.Dãy số cho bằng số hạng tổng quát: Ví dụ:(sgk) 2.Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: Ví dụ:(SGK) 3.Dãy số cho bằng phương phá qui hồi: Ví dụ: Dãy số Phibônaxi: III.Biểu diễn hình học của dãy số Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy: u4 u3 u2 u1 u(n) 0 1 2 V.Dãy số tăng,dãy số giảm,dãy số bị chặn 1. Dãy số tăng,dãy số giảm Định nghĩa 1:(sgk) Ví dụ:a) Dãy số un = n - 2n giảm vì: un+1 - un = n + 1 - 2n+1 - n + 2n = 1 - 2n < 0 với n. Vậy un+1 - un < 0 hay un+1 < un b)Dãy số un = nan (a >1) là dãy số tăng vì: Do un > 0 nên t a có: vì Do đó un+1 > un 2.Dãy số bị chặn Định nghĩa 2:(sgk) Ví dụ:(Sgk) IV/Cũng cố - Luyện tập: bài tập : 1,4a,5a(sgk) V/Hướng dẫn về nhà: Bài tập:1 - 6 (sgk) Tiết 51: Bài tập I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm được khái niệm dãy số và các tính chất của nó như đơn điệu, bị chặn.Rèn luyện kỹ năng xác định các tính chất trên của dãy số. II/Nội dung: 1.Bài cũ: - Nêu khái niệm dãy số và các tính chất của nó? 2.Bài mới: Hoạt động 1: HS1:giải bt 1 Hoạt động 2: HS2:giải 2a HS3:giải 2b HS4:giải 2c Hoạt động 3: HS5:giải 3a HS6:giải 3b HS7:giải 3c HS8:giải 3d Bài tập 1:Cho dãy số (un) cho bởi: u1 = 3, un+1 = a)Viết 5 số hạng đầu của dãy. b)Chứng minh: bằng pp qui nạp. Giải: b)n = 1: u1 = 3 (đúng) Giả sử công thức đúng với n = k 1 Tức: ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1,tức Thật vậy,ta có: Vậy: Bài tập 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: a) b) c) Bài tập 3:Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) b) c) d) III/Hướng dẫn về nhà: Bài tập 3,6. Xem bài "Cấp số cộng" Tiết 52: Cấp số cộng I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm được khái niệm cấp số cộng và tính chất của nó.Nắm được các công thức tính số hạng tổng quát,tổng hữu hạn của một cấp số cộng. II/Trọng tâm: - Định nghĩa cấp số cộng,số hạng tổng quát. - Tính chất và công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. III/Nội dung: 1.Bài củ: - Nêu các cách cho dãy số? 2.Bài mới: Hoạt động 1:Biết 4 số hạng đầu của một dãy số là: -1,3,7,11... Hãy chỉ ra 1 qui luật rồi viết tiếp 5 số hạng theo qui luật đó? Hoạt động 2:Cho cấp số cộng có 6 số hạng với: ,d = 3 Viết dạng khai triển của nó? Hoạt động 3:(sgk) Hoạt động 4:(sgk) Hoạt động 5:(sgk) HD: Viết tổng đã cho 2 lần: 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 +1 101+ 101 +101 +...+101+101 =100.101 từ đó suy ra:S = 50.101 = 5050 I.Định nghĩa: Định nghĩa:(sgk) (un) là cấp số cộng (d:const) Ký hiệu: hoặc:(un) Ví dụ: 1,2,3,4,...,n,... (u1 =1, d = 1) 0,2,4,6,...,2n,...(u1 = 0 , d = 2) 1,-3,-7,-11,-15.(u1 = 1, d = -4, n = 5) II.Số hạng tổng quát Định lý 1: (un) có số hạng đầu u1 ,công sai d thì: un = u1 + (n - 1)d CM:(sgk) Ví dụ:Cho cấp số cộng có u1 = -5,d = a)Số 45 là số hạng thứ bao nhiêu? b)Số có phải là 1 số hạng của csc không? Giải: a) Ta có: un = -5 + (n - 1) mà: un = 45 nên -5 + = 45 từ đó n = 101 Vậy: 45 là số hạng thứ 101 của csc b)pt -5 + = không có nghiệm nguyên dơng nên không phải là số hạng của csc. III.Tính chất của cấp số cộng: Định lý 2:(SGK) CM:(SGK) IV.Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng: Định lý 3: Cho csc (un ). Đặt: Sn = u1 + u2 + ... + un Ta có: CM:(sgk) Chú ý: Vì un = u1 + (n - 1)d nên: Ví dụ :(SGK) IV/Cũng cố - Luyện tập: 1)CM: un = 3n + 2 là 1 cấp số cộng.Tìm công sai của nó và tính S10? 2) Tính tổng: Sn = 1 + 3 + 5 +...+ (2n-1) V/Hướng dẫn về nhà: Học thuộc các công thức: un = u1 + (n - 1)d Bài tập: 1 - 6(sgk) Tiết:53: bài tập I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh cũng cố kiến thức đã học về cấp số cộng.Rèn luyện kỷ năng sử dụng các công thức và tính chất của cấp số cộng. II/Nội dung: 1.Bài củ: - Nêu định nghĩa cấp số cộng và các công thức tính số hạng tổng quát,công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng? 2.Bài mới: Hoạt động 1: HS1: Giải 1a HS2:Giải 1b HS3:Giải 1c Hoạt động 2: HS3 : Giải bt2 Hoạt động 3: HS: Giải các bài tập: 3a,3b,3c ,3d,3e. Hoạt động 4: HS: Giải bt 4 Bài tập 1:Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số cộng.Tìm số hạng đầu và công sai của nó? Bài tập 2:Viết xen vào giữa -3 và 37 năm số để được một cấp số cộng có 11 số hạng. Giải: Ta có : u11 = u1 + 10d nên: Vậy 9 số cần tìm là: 1,5,9,13,17,21,25,29,33 Bài tập 3:Tìm các yếu tố còn lại của một cấp số cộng khi biết các yếu tố sau: a)u1 = -2, un= 55 ,n = 20 b)d = -4, n = 15 , Sn = 120 c)u1 = 3 ,d = 4/27 ,un = 7 d)un = 17, n=12 , Sn = 72 e)u1 = 2 , d = -5 , Sn = -205 Giải: c,d,e:Hs tự giải. Bài tập 4:(SGK) Giải: a)Gọi un là độ cao tính từ mặt sân đến bậc thang thứ n thì (un) lập thành 1 cấp số cộng có công sai d = 0,18(m), u1 = 0,68 (m) Từ đó : un = 0,68 + (n - 1)0,18 = 0,5 + 0,18.n (m) b)Độ cao sàn tầng 2 so với mặt sân là: III/Hướng dẫn về nhà: Bài tập 5,6(sgk) Tiết 54: Cấp số nhân I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh nắm được định nghĩa cấp số nhân và các tính chất của nó. Nắm được các công thức tính số hạng tổng quát và công thức tính tổng của cấp số nhân hữu hạn. II/Trọng tâm: - Định nghĩa cấp số nhân. - Các công thức tìm số hạng tổng quát ,công thức tính tổng của n số hạng đầu. III/Nội dung: 1.Bài củ: - Nêu định nghĩa cấp số cộng? 2.Bài mới: Hoạt động 1: Cho dãy số: 1,2,4,8,16,....,263. Tìm một qui luật của dãy số trên? Hoạt động 2: Tìm số hạng thứ 11 trong ví dụ trên? Hoạt động 3: HS: Thực hiện hđ (sgk) Hoạt động 4: Tính tổng: 1 + 2 + 4 + ...+210 I.Định nghĩa: Định nghĩa: (SGK) (un) là cấp số nhân q: công sai. Ký hiệu: hoặc: (un) Đặc biệt: q = 0: u1,0,0,...,0,... q = 1: u1, u1,...., u1,... Ví dụ1: II.Số hạng tổng quát: Định lý 1:Cho (un) có số hạng đầu u1,công bội q .Ta có: un = u1qn-1.(n 2) Ví dụ 2: Viết 5 số hạng xen giữa các số 3 và 192 để được một cấp số nhân gồm 7 số hạng. Giải: Ta có u7 = 3q6 =192 q6 = 65 q = 2 .Với q = 2 ta có: 3,6,12,24,48,96,192. .Với q = -2: 3,-6,12,-24,48,-96,192. Ví dụ 3:(SGK) III.Tính chất của cấp số nhân: Định lý 2: Cho (un). Ta có: Hay: CM: (SGK) IV.Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Cho (un) có công bội q. Đặt: Định lý 3: Nếu q ≠ 1 Ta có: Nếu q = 1 thì: u1, u1,...., u1,...Khi đó: Ví dụ 4:Cho cấp số nhân có u1 = 2, u3 = 18. Tính S10 . Giải: Ta có : u3 = 2.q2 = 18 q2 = 9 q = ±3 . q = 3 : S10 = . q = -3: S10 = S10 = Ví dụ 5:(SGK) IV/Cũng cố - Luyện tập: Bài tập 1(SGK) V/Hướng dẫn về nhà: Nắm các công thức: un = u1qn-1.(n 2) Bài tập:1 - 8(SGK) Tiết 55 + 56: Bài tập I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh cũng cố kiến thức đã học về cấp số nhân.Rèn luyện kỷ năng sử dụng các công thức và tính chất của cấp số nhân. II/Nội dung: 1.Bài củ: - Nêu định nghĩa cấp số nhân và các công thức tính số hạng tổng quát,công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân? 2.Bài mới: Hoạt động1: HS1: Giải bài tập 1a) HS2:Giải bài tập 1b) HS3:Giải bài tập 1c) Hoạt động 2: HS4: Giải bài tập 2a) HS5: Giải bài tập 2b) Hoạt động 3: Giáo viên chữa bài tập 3(SGK) Hoạt động 4: HS6: Giải bài tập 4 Hoạt động 5: HS7: Giải bài tập 5 Hoạt động 6: GV: Chữa bài tập 6 (SGK) Hoạt động 7: GV :Chữa bài tập 7 (SGK) Bài tập 1:Cho CSN (un) biết: a) u1 = 2 , u6 = 486 .Tìm q? c) u1 = - 3, u4 = -2 .Hỏi -786 là số hạng thứ mấy? Bài tập 2:Tìm các số hạng của một cấp số nhân gômg 5 số hạng biết: a) u3 = 3 và u5 = 27; b) u4 - u2 = 25 và u3 - u1 = 50 Bài tập 3:Tìm CSN có 6 số hạng biết tổng 5 số hạng đầu là 31 và tổng 5 số hạng sau là 62. Giải: Do đó: Suy ra : u1 = 1. CSN cần tìm là: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Bài tập 4: Cấp số nhân gômg 4 số hạng .Tổng số hạng đầu và số hạng cuối là 27.Tích các số hạng còn lại là 72. Bài tập 5:(SGK) Bài tập 6:(sgk) Giải: Ta có: a1 = 4 Bài tập 7(SGK): Giải: Gọi q2 là công bội của CSN gồm các sô hạng có thứ tự lẻ của CSN đã cho.Sn là tổng các số hạng có thứ tự lẻ, S2n là tổng của CSN đã cho. Ta có: Hướng dẫn về nhà: - Ôn tập chương III - Bài tập: Các bài tập ôn chương III. Tiết 57 + 58: ôn tập chương III I/Mục đích yêu cầu: - Giúp học sinh hệ thống hoá các kiến thức đã học trong chương III: phép qui nạp toán học,định nghĩa ,tính chất của dãy số ,cấp số cộng,cấp số nhân. - Rèn luyện các kỹ năng chứng minh qui nạp,chứng minh dãy số là CSC,CSN II/Nội dung 1.Bài củ: 2.Bài mới: Hoạt động 1: HS1:Nêu đn,t/c của một dãy số HS2:Nêu khái niệm và các công thức shtq,tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. HS3: Nêu khái niệm và các công thức shtq,tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân. HS4: trả lời câu hỏi 1(SGK) HS5:trả lời câu hỏi 2 (SGK) HS6:trả lời câu hỏi 3 (SGK) HS7:trả lời câu hỏi 4 (SGK) GV: Nhận xét bổ sung . Hoạt động 2: HS8: Nêu các bước chứng minh qui nạp, giải bài tập 5(sgk) GV: Nhận xét bổ sung GV: Chữa bài tập 6 (sgk) Hoạt động 3: HS9: Giải bài tập 8 sgk GV:Nhận xét sửa chữa bổ sung. Hoạt động 4: HS10: Giải bài tập 9a sgk HS11: Giải bài tập 9b sgk Hoạt động 5: GV: chữa bài tập 10 SGK Hoạt động 6: GV: Chữa bài tập 11 sgk Hoạt động 7 GV: Chữa bài tập 12 sgk I.Ôn tập: - K/n đãy số,các tính chất của dãy số. - K/n ,các công thức số hạng tổng quát, tính tổng n số hạng đầu của 1 cấp số cộng, cấp số nhân. II.Luyện tập Bài tập 1: (bài tập 5a sgk) Giải: Đặt: .Với n = 1 khẳng định đúng. Giả sử khẳng định đúng với n = k 1 tức: ta chứng minh Thật vậy,xét: Vì: và nên Vậy: Bài tập 2: (Bài tập 6 sgk) Giải: a) 1,5,13,29,61 b) n = 1: vậy công thức đúng Giả sử công thức đúng với n = k1 tức ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1 tức: Thật vậy: Vậy công thức được chứng minh. Bài tập 3: (Bài tập 8 sgk) Giải: Ta có hệ: hoặc Bài tập 4: (Bài tập 9a,b sgk) Giải: b) Bài tập 5: (Bài tập 10 sgk) Bài tập 6: (Bài tập 11 sgk) Bài tập 7: (Bài tập 12 sgk) III/Hướng dẫn về nhà: - Ôn tập chuẩn bị kiểm tra Tiết 59: kiểm tra chương III I/Đề ra: Đề I: Câu1:Cho dãy số sau: CMR: un = (n -1).2n + 1 Câu 2:Tìm các số hạng của một cấp số cộng có 5 số hạng biết: Câu 3:Tìm công bội và số hạng đầu tiên của một cấp số nhân biết: Câu 4: Tính tổng sau: n số 9 Đề II: Câu1:Cho dãy số sau: CMR: un = (n + 1).3n + 2 Câu 2:Tìm các số hạng của một cấp số cộng có 5 số hạng biết: Câu 3:Tìm công bội và số hạng đầu tiên của một cấp số nhân biết: Câu 4: Tính tổng sau: n số 9 II/Đáp án: Câu1:(4 điểm) nên công thức đúng (1đ) Giả sử công thức đúng với n = k1 tức uk = (k -1).2k + 1 ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1 tức uk+1 = k.2k+1 + 1. Thật vậy: (1đ) 2(đ) Vậy công thức được chứng minh. Câu 2: (3điểm) (2đ) Vậy: hoặc (1đ) Câu 3: (3điểm) Câu 4:(1điểm) = = n số 9