Giáo án phụ đạo Toán 11 - Buổi 1: Ôn tập về phương trình, hệ phương trình

Buổi 1: ễN TẬP VỀ PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH Ngày soạn: 15-08-2012 Ngày dạy: 21-08-2012 I - Mục đích, yêu cầu: HS ôn lại cỏc phương phỏp cơ bản để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh. Giới thiệu với cỏc HS khỏ cỏch sỏng tạo ra phương trỡnh, hệ phương trỡnh. Rèn kĩ năng giải toán, thói quen cẩn thận, thái độ nghiêm túc trong công việc, ... II – Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp, hoạt động nhóm, giải quyết vấn đề. III – Tiến trình lên lớp: A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số: B - Kiểm tra bài cũ: Nhắc lại điều kiện để căn bậc hai cú nghĩa. C - Bài mới: SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH DỰA VÀO Hậ́ PHƯƠNG TRÌNH Đễ́I XỨNG Chúng ta sẽ bắt đõ̀u từ những ví dụ đơn giản đờ̉ xõy dựng phương trình dựa vào hợ̀ phương trình. Ví dụ 1: Xét hợ̀ đụ́i xứng loại hai sau đõy: . Ta có bài toán sau: Bài toán 1 : (THTT, sụ́ 250, 4/1998) Giải: Đặt: .Ta có hợ̀ phương trình. +) Trường hợp 1: x = y ta có: +) Trường hợp 2: thay vào 2 ta có: Vọ̃y phương trình có các nghiợ̀m là . Nhọ̃n xét: Từ ví dụ 1 trờn ta thṍy nờ́u ta khai triờ̉n phương trình trờn thì được mụ̣t phương trình bọ̃c cao phức tạp tṍt nhiờn ta võ̃n phõn tích được nhưng nờ́u ta cụ́ ý đưa phương trình nghiợ̀m vụ tỉ thì phõn tích sẽ gặp nhiờ̀u khó khăn. Qua ví dụ trờn ta thṍy đờ̉ tìm cách đặt trờn là khụng dờ̃ dàng. Ta xét ví dụ sau đõy. Ví dụ 2: Xét phương trình bọ̃c hai có hai nghiợ̀m là vụ tỉ . Do đó ta xét hợ̀ sau đõy: Bài toán 2: . Giải: Đặt: . Khi đó ta có: +) Trường hợp 1: thay vào phương trình (1) ta có: +) Trường hợp 2: thay vào phương trình (1) ta có: Vọ̃y phương trình đã cho có 4 nghiợ̀m : Ví dụ 3: Xét phương trình bọ̃c 3: . Do đó ta xét : Bài toán 3: Giải phương trình : Giải: Đặt .Ta có hợ̀ phương trình: lṍy phương trình (1) trừ phương trình (2) vờ́ theo vờ́ ta có: +) Ta có: Vì Do đó từ (3) ta chỉ có thay vào (1) ta có: sử dụng cụng thức ta có: Phương trình (4) có tụ́i đa 3 nghiợ̀m và các nghiợ̀m đó là: các nghiợ̀m đó cũng là nghiợ̀m của phương trình ban đõ̀u. Lưu ý: Cách đặt có thờ̉ được tìm ra bằng cách sau: Ta đặt , tìm a, b. Khi đó từ phương trình ta có hợ̀: cõ̀n tìm a, b đờ̉ hợ̀ đã cho đụ́i xứng suy ra phép đặt. II . XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ CÓ NGHIậ́M THEO Ý MUễ́N. Ví dụ 4: Xét .khi đó: . Ta mong muụ́n có phương trình chứa và chứa , hơn nữa phương trình này được giải theo cách giải bằng cách đưa vờ̀ hợ̀ “gõ̀n” đụ́i xứng loại 2. Vọ̃y ta xét hợ̀ phương trình sau: nờ́u đặt thay vào (*) ta có PT khó sau đõy. Bài toán 4: Giải phương trình: Giải: Cách 1: D = R. Phương trình được viờ́t lại như sau: . Đặt: ta cú +) Trường hợp 1: vụ lí. +) Trường hợp 2: x = y thay vào phương trình 1 ta có: Vọ̃y phương trình đã cho có mụ̣t nghiợ̀m duy nhṍt x = 3. Cách 2: D = R. Đặt ta có hợ̀: cụ̣ng vờ́ theo vờ́ của hai phương trình ta có: . Xét hàm sụ́ sau: .Vì hàm sụ́ đã cho đụ̀ng biờ́n trờn R do đó vọ̃y ta có: cách giải hoàn toàn như trờn. XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH Lễ̀NG GHÉP HÀM ĐƠN ĐIậ́U Ví dụ 5: Xét phương trình bọ̃c 3 đờ̉ lụ̀ng ghép hàm đơn điợ̀u. Xét phương trình: Phương trình đã cho tương đương với PT sau: . Ta lụ̀ng ghép hàm đơn điợ̀u sau đõy: . Bài toán 5: Giải phương trình: . Giải: Tọ̃p xác định: D = R. Phương trình đã cho tương đương: Xét hàm sụ́: .Vì nờn hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n R.Vọ̃y ta có: .Vì hàm sụ́: đụ̀ng biờ́n nờn phương trình (2) có tụ́i đa 1 nghiợ̀m. Xét .Từ phương trình (2) ta có: Vọ̃y phương trình có nghiợ̀m duy nhṍt : Bài toán 6: Giải phương trình . (Chọn đụ̣i tuyờ̉n tp Hụ̀ Chí Minh dự thi quụ́c gia 2002 – 2003) Giải: Tọ̃p xác định D = R. Phương trình viờ́t lại: Đặt: .Từ phương trình (1) ta có hợ̀ phương trình: Lṍy 2 phương trình trừ vờ́ theo vờ́ ta có: . +) Trường hợp 1: x = y thay vào (1) ta có: +) Trường hợp 2: vụ lí Vọ̃y phương trình có các nghiợ̀m là: . Bài toán 7: Giải phương trình: (Đờ̀ nghị OLYMPIC 30/04/2006). Giải: Tọ̃p xác định D = R. Đặt ta có hợ̀ phương trình: lṍy hai phương trỡnh trừ vờ́ theo vờ́ ta có:thay vào phương trình (2) ta có : Ta có ; Phương trình (*) có tụ́i đa 3 nghiợ̀m và các nghiợ̀m đó là: đó cũng là nghiợ̀m của phương trình ban đõ̀u. Nhọ̃n xét: Ta có thờ̉ giải bằng cách khác như sau: Xét hàm sụ́ vì hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n trờn R nờn cách giải hoàn toàn tương tự như trờn. Ví dụ 6: Xét hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n trờn R. Cho ta được . Bài toán 8: Giải phương trình sau; Giải: Tọ̃p xác định R. Đặt ta có hợ̀ phương trình Cụ̣ng 1 và 2 theo vờ́ ta có: Xét hàm sụ́: .vì f(t) đụ̀ng biờ́n trờn R do đó ta có vì vọ̃y . Vọ̃y phương trình có các nghiợ̀m là: Ví dụ 7: Xét hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n trờn R.cho Ta được: Khai triờ̉n và rút gọn ta có bài toán sau đõy: Bài toán 9: Giải phương trình: Giải: Đặt ta có hợ̀ phương trình: cụ̣ng vờ́ theo vờ́ hai phương trình với nhau ta có: . Xét hàm sụ́ . Vì f(t) đụ̀ng biờ́n trờn R do đó ta có Vọ̃y phương trình có các nghiợ̀m là: x = 1; x = 2; x = 3 Ví dụ 8: Xét hàm sụ́ đơn điợ̀u .cho ta được .Ta có bài toán sau đõy. Bài toán 10: Giả phương trình . Giải: Điờ̀u kiợ̀n: .Đặt ta có hợ̀ phương trình: cụ̣ng vờ́ theo vờ́ của hai phương trình trờn ta có: .Xét hàm sụ́ .Vì nờn hàm sụ́ đã cho đụ̀ng biờ́n trờn .do đó: vụ nghiợ̀m. Ví dụ 9: Xét hàm sụ́: đơn điợ̀u trờn R, nờ́u cho ta được: Bài toán 11: Giải phương trình: . Cách giải tương tự như trờn Ví dụ 10: Xét hàm sụ́ .Ta có .Vọ̃y hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n trờn R. Cho ta được . Bài toán 12: Giải phương trình Cách giải phương trình hoàn toàn tương tự như trờn Ví dụ 11: Xét hàm sụ́ đụ̀ng biờ́n trờn khoảng là Cho ta được . Bài toán 13: Giải phương trình ( Đờ̀ thi HSG khụ́i chuyờn Đại học Vinh 2009-2010) Giải: Điờ̀u kiợ̀n: . Khi đó phương trình được viờ́t lại: . Xét hàm sụ́: ta có . (1) bình phương hai vờ́ phương trình (2) ta có: thay vào phương trình ban đõ̀u chỉ có hai giá trị thỏa mãn. Vọ̃y phương trình có hai nghiợ̀m là . IV. SỬ DỤNG CễNG THỨC LƯỢNG GIÁC Đấ̉ SÁNG TÁC PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Ví dụ 12: Từ cụng thức: lṍy ta có: . Chọn ta được phương trình sau: Bài toán 14: Giải phương trình: (Đờ̀ nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải: Ta có: , phương trình đã cho tương đương : . Từ (1), (2) phương trình có 6 nghiợ̀m là: ,. Ví dụ 13: Từ cụng thức: Đặt ta được: Chọn ta được Bài toán 15: Giải phương trình sau (1) Giải: Tọ̃p xác định R. Đặt thay vào phương trình ta được (1), mặt khác: . Từ cụng thức (2) suy ra 1 có 5 nghiợ̀m là : . Vọ̃y phương trình đã cho có 5 nghiợ̀m là : . Ví dụ 14: Từ cụng thức . Lṍy ta được . Chọn ta có: . Ta có bài toán sau: Bài toán 16: Giải phương trình: . Giải: Đặt , thay vào PT ban đõ̀u ta có: . Vì : vọ̃y PT có 5 nghiợ̀m là . Phương trình ban đõ̀u có 5 nghiợ̀m là: . XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ví dụ 15: Từ phương trình lượng giác ta thṍy phương trình này tương đương với phương trình . Đặt ta được phương trình sau: Bài toán 17: Giải phương trình sau: Nờ́u thay x bởi x-1 ta được bài toán khó hơn sau đõy Bài toán 18: Giải phương trình sau: Ví dụ 16: Từ PT ta thṍy: đặt thu được bài toán sau: Bài toán 19: Giải phương trình: . Giải: Điờ̀u kiợ̀n Nờ́u thì , vọ̃y Khụng thỏa mãn phương trình (1). Do đó ta chỉ xét đặt Thay vào phương trình (1) ta có: Vì ta chỉ lṍy các nghiợ̀m . Phương trình đã cho có 3 nghiợ̀m . Ví dụ 17: Từ phương trình ta thṍy phương trình này tương đương với . Đặt ta được bài toán sau: Bài toán 20 : Giải phương trình: Giải: Từ điờ̀u kiợ̀n . Đặt . Thay vào PT đã cho ta được Trờn đoạn , ta lṍy các nghiợ̀m . Nghiợ̀m của PT đã cho là: . Bằng các cụng thức sau đõy và vọ̃n dụng mụ̣t cách khéo léo ta có thờ̉ sáng tạo các phương trình theo ý muụ́n: , các phương trình lượng giác tùy ý . D – Củng cố bài và bài tập về nhà: Giải các phương trình, hợ̀ phương trình: 1) . 2) . 3) (HSG TP Hụ̀ CHÍ MINH 2004-2005). 4) (THTT, sụ́ 260, 4/2001). 5) . 6) .