Giáo án Toán 11 NC tóm tắt

Chương I: Hàm số lượng giác § 1 Hàm số lượng giác cơ bản 1.Hàm số y = sinx và y = cosx Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo radddian bằng x được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y = cosx. Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx có tập xác định là R có tập giá trị là [-1;1]. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π . Là hàm số lẻ; Đồng biến trên khoảng (; k є Z) Nghịch biến trên khoảng (; k є Z) Có đồ thị là một đường hình sin. có tập xác định là R có tập giá trị là [-1;1]. Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π . Là hàm số chẵn; Đồng biến trên khoảng (-; k є Z) Nghịch biến trên khoảng (; k є Z). Có đồ thị là một đường hình sin. 2.Hàm số y = tanx và y = cotx. Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x є D1 (với D1 là tập xác định của hàm số y = tanx) với mỗi số thực tanx = gọi là hàm số tan, kí hiệu là y = tanx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số x є D2 (với D1 là tập xác định của hàm số y = cotx) với mỗi số thực cotx = gọi là hàm số cot, kí hiệu là y = cotx. Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx R Có tập xác định là D1 = \{; k є Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ; Đồng biến trên khoảng (; k є Z); Có đồ thị nhận đường thẳng x = là đường tiệm cận. R Có tập xác định là D1 = \{kπ ; k є Z}; Là hàm số lẻ; Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ; Nghịch biến trên khoảng {k π ; π + k π }, k є Z. Có đồ thị nhận đường x = k π là đường tiệm cận. § 2 Phương trình lượng giác cơ bản 1/. Phương trình sinx = m sinx = m (1) Nếu m > thì phương trình (1) vô nghiệm Nếu m ≤ thì phương trình (1) có nghiệm x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π . Đặc biệt : sinx = 1 ó x = sinx = 0 ó x = kπ sinx = - 1 ó x = Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì sinx = m ó x = arcsin(m) + k2π hoặc x = π – arcsin(m) + k2π 2./Hàm số cosx = m cosx = m (2) Nếu m > thì phương trình vô nghiệm Nếu m ≤ thì phương trình có nghiệm x = ± α + k2π Đặc biệt : cosx = 1 ó x = k2π cosx = 0 ó x = cosx = -1 ó x = π + k2π Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì cosx = m óx = ±arcos(m) + k2π 3./ Hàm số tanx = m Điều kiện: x ≠ Phương trình có nghiệm x = α + kπ Đặc biệt: tanx = 1 ó x = tanx = 0 ó x = kπ tanx = - 1 ó x = - Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì tanx = arctan(m) + kπ. 4./ Hàm số cotx = m Điều kiện: x ≠ kπ Với mọi m phương trình cotx = m luôn có nghiệm x = α + kπ. Đặc biệt: cotx = 1 ó x = cotx = 0 ó x = cotx = -1 ó x = - Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì cotx = arccot(m) + kπ. --------------o0o---------------- § 3: Một số phương trình lượng giác đơn giản 1./ Phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác. a) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Dạng tổng quát: at + b = 0 (a ≠ 0). Với t là : sin, cos, tan, cot. b) Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác. Dạng tổng quát: at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0). Với t là : sin, cos, tan, cot. 2./ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c ( a2 + b2 ≠ 0). (1) a, b, c є R. Phương pháp giải: Cách 1: Chia cả hai vế của phương trình cho Phương trình (1) có dạng : ó sin(x + α) = (phương trình lượng giác cơ bản) Cách 2: Chia cả hai vế cho a hoặc b +) Chia cả hai vế cho a Phương trình (1) trở thành: sinx + cosx = . Đặt tan φ = Phương trình (1) ó sin(x + φ) = . (phương trình lượng giác cơ bản) Cách 3: Đăt tan= t ó sinx = ; cosx = Phương trình (1) trở thành: a + b = c. (Phương trình bậc hai đối với ẩn t). 3./ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx. Dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 ( 2) Trong đó: a, b, c є R ; a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0. Phương pháp giải: Cách 1: Trường hợp 1: xét cosx = 0 hoặc sinx = 0 có là nghiệm của phương trình (2) hay không? Trường hợp 2: Nếu sinx ≠ 0 hoặc cosx ≠ 0 thì chia cả hai vế của phương trình cho sin2x hoặc cos2x. +/ Nếu chia cho sin2x thì (2) ó a + bcotx + ccot2x = 0 (giải phương trình như giải phương trình bậc hai). +/ Nếu chia cho cos2x thì (2) ó atan2x + btanx + c = 0 (giải phương trình như giải phương trình bậc hai). Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc & nâng cung (2) ó ó (c – a)cos2x + bsin2x = - a – c (Phương trình thuần nhất bậc nhất đối với sinx và cosx) Chú ý: +/ Nếu vế phải của phương trình (2) không bằng 0 thì asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d ó (a – d)sin2x + bsinxcosx + (c – d)cos2x = 0 Đến đây ta tiếp tục giải như phương trình trên. Chú ý: +/ Các phương trình lượng giác chỉ chứa sin và cos của cùng một cung và mỗi số hạng trong phương trình có tổng bậc là lẻ (thường là 1 hoặc 3) thì ta sử dụng phương pháp giải theo cách 1 của phương trình thuần nhất bậc hai. +/ Khi giải các phương trình lượng giác khác, thông thường ta hay sử dụng các phép biến đổi như: - Có tích biến đổi thành tổng - Có tổng biến đổi thành tích - Có bình phương hay mũ 4 thì dùng công thức hạ bậc Các cách thực hiện trên nhằm đưa phương trình lượng giác khác thành nhân tử hoặc là phương trình lượng giác cơ bản hoặc đơn giản. Chương II TỔ HỢP & XÁC SUẤT § 1 Hai quy tắc đếm cơ bản 1./ Quy tắc cộng - ND: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m + n cách. - Tổng quát: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án A1, A2,,Ak . Có n1 cách thực hiện phương án A1 và n2 cách thực hiện phương án A2,và nk cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 + n2 + + nk cách. 2./ Quy tắc nhân - ND: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách thực hiện. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m cách thực hiện. Khi đó công việc A có m.n cách thực hiện. - Tổng qoát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1, A2, , Ak. Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có n2 cách thực hiện, , công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách. Khi đó công việc A có thể thực hiện theo n1.n2nk cách. § 2 Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp 1./ Hoán vị Định nghĩa : Cho tập hợp A có n (n ≥ a) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A). Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)1 2./ Chỉnh hợp Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A). Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: A= n(n – 1)(n – 2)(n – k + 1). Chú ý: Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dưới dạng A Ta quy ước 0! = 1 và A= 1. Khi đó công thức (2) đúng cho cả k = 0 hoặc k = n. Vậy công thức (2) đúng với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 ≤ k ≤ n. 3./ Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là tổ hợp chập k của A). Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1≤ k ≤ n) là: C Hai tính chất cơ bản của số C - Tính chất 1: Cho số nguyên dương n và sô nguyên k với 0 ≤ k ≤ n. Khi đó: - Tính chất 2(Hằng đẳng thức pascal) Cho các số nguyên n và k với 1 ≤ k ≤ n. Khi đó C -------------------o0o------------------ § 3 Nhị thức Niu - Tơn 1./Công thức nhị thức Niu-tơn (a + b)n = + + + + = (quy ước a0 = b0 = 1) 2./Tam giác Pascal Các số ở hàng thứ n trong tam giác giác Pascal là dãy gồm n +1 số: . -------------------o0o-------------------- § 4 Biến cố và xác suất của biến cố 1./Biên cố a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà: Kết quả của nó không đoán trước được ; Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thường được ki hiệu bởi chữ T. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô – mê – ga). b)Biến cố Biến cố liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của biến cố T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là . Khi đó người ta nói biến cố a được mô tả bởi tập . 2./ Xác suất của biến cố a) Định nghĩa cổ điển của xác suất Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức: P(A) = . Chú ý: Từ đinh nghĩa trên ta suy ra 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1; P(Ø) = 0. b) Định nghĩa thống kê của xác suất Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T. Tỉ số giữa tần số của A với số N được gọi là tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. -------------------o0o-------------------- § 5 Các quy tắc tính xác suất 1.Quy tắc cộng xác suất a)Biến cố hợp Cho hai biến cố A và B, Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A Ç B, được gọi là hợp của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak. Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, , Ak xảy ra”, kí hiệu là A1 È A2 È È Ak, được gọi là hợp của k biến cố đó. b)Biến cố xung khắc Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu ΩA Ç ΩB = Ø. c) Quy tắc cộng xác suất Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là P(A È B) = P(A) + P(B). Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , An đôi một xung khắc. Khi đó P(A1 È A2 È È Ak) = P(A1) + P(A2) + + P(Ak) d) Biến cố đối Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A. Định lí: Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối là P() = 1 – P(A). 2./ Biến cố xác suất a) Biến cố giao Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến cố A và B. Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak. Biến cố “Tất cả k biến cố A1, A2, , Ak đều xảy ra”, kí hiệu là A1A2Ak được gọi là giao của k biến cố đó. b) Biến cố độc lập Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, , Ak; k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của nhóm biến cố tùy ý trong biến cố đã cho không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. Quy tắc nhân xác suất : Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A)P(B) Quy tắc nhân xác suất cho nhiều biến cố P(A1A2Ak) = P(A1)P(A2)P(Ak). -------------------o0o------------------- § 6 Biến cố ngẫu nhiên rời rạc Khái niệm: Đại lượng X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số phụ thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán được. Kì vọng: Cho X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, , xn}. Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính trước theo công thức E(X) = x1p1 + x2p2 + + xnpn =, ở đó pi = P(X = xi), (i = 1, 2, , n). Ý nghĩa: E(X) là một sô cho ta một ý niệm đẹp về độ lớn trung bình của X. Vì thế kì vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X. Nhận xét: Kì vọng X không nhất thiết thuộc tập các giá trị của X Phương sai: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, , xn}. Phương sai của X, kí hiệu là V(X), là một số được tính theo công thức V(X) = (x1 – m)2p1 + (x2 – m)2p2 + + (xn – m)2pn = ở đó pi = P(X = xi) (i = 1,2,,n) và m = E(X). Ý nghĩa: Phương sai là một số không âm. Nó cho ta một kỉ niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn thì độ phân tán này càng lớn. Độ lệch chuẩn: Căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là s(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là s(X) = ------------------------------o0o------------------------------- Chương III: Dãy số - Cấp số cộng và Cấp số nhân § 2 Dãy số 1./ Định nghĩa Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên N* được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số). Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên (m tùy ý thuộc N*) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng (m số hạng : u1, u2, ,un) ; vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn ; u1 gọi là số hạng đầu và um gọi là số hạng cuối. 2./Các cách cho một dãy số Chú ý: Một dãy số có thể cho bằng nhiều cách. 3./Dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa: Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un < un+1. Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có un < un+1. 4./Dãy số bị chặn Định nghĩa: a)Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn trê nếu tồn tại một số M sao cho " n Î N, un ≤ M. b) Dãy số (un) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho " n Î N*, un ≥ m. c) Dãy số (un) được gọi dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới ; nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho " n Î N*, m ≤ un ≤ M. § 3 Cấp số cộng 1./ Định nghĩa Cấp số cộng là một số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, một số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước nó và mốt số d không đổi, nghĩa là (un) là cấp số cộng ó " n ≥ 2, un = un – 1 + d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2./ Tính chất Nếu (un) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kể nó trong dãy, tức là uk = 3.Số hạng tổng quát Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định theo công thức sau: un = u1 + (n – 1)d 4.Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng Gỉa sử (un) là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó (Sn = u1 + u2 ++un), Khi đó, ta có: Sn = ----------------o0o---------------- § 4 Cấp số nhân 1./ Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng trước nó và một số φ không đổi, nghĩa là: (un) là cấp số nhân ó " n ≥ 2, un = un – 1 .q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. 2./Tính chất Nếu (un) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trogn dãy, tức là u2 = uk – 1.uk + 1 3. Số hạng tổng quát Nếu một cặp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 0 thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức un = u1.qk – 1 . 4./ Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q ≠ 1 thì Sn được tính theo công thức: Sn = ---------------------------------o0o----------------------------------- Chương IV: Giới hạn A.Giới hạn của dãy số § 1:Dãy số có giới hạn 0 1./ Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý co trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết: lim(un) = 0 hoặc limun = 0 hoặc un ® 0. (Kí hiệu limun = 0 còn được viết “”đọc là dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần đến vô cực). Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số () có giới hạn 0. Chẳng hạn, ta có lim vì b) Dãy số không đôi