Giáo án Toán học lớp 11 - Vectơ trong không gian

Chương III : VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN. §1 VECTƠ TRONG KHÔNG GIANB I. Mục đích, yêu cầu : 1) Về kiến thức : - Hiểu và nắm chắc định nghĩa vectơ trong không gian. - Hiểu và nắm chắc một số nội dung kiến thức có liên quan đến vectơ trong không gian như : độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng, ngược hướng của hai vectơ, giá của vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ, các quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ. - Hiểu và nắm chắc sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng. 2) Về kỹ năng : Biết sử dụng định nghĩa vectơ và các kiến thức liên quan đến vectơ trong không gian để giải bài tập về vectơ. II. Phương pháp và phương tiện dạy học : - Phương pháp dạy học : trực quan, phát vấn. - Phương tiện dạy học : + Các mô hình về vectơ (nếu có) + Thước thẳng, phấn màu. + Giáo án điện tử (nếu có) III. Tiến trình dạy học : Hoạt động của Thầy và trò Nội dung bài dạy * GV : Dẫn định nghĩa trong không gian : Cho đoạn thẳng AB. Hỏi : ta có mấy vectơ khi chọn A hoặc B là điểm đầu và điểm còn lại là điểm cuối ? A B A B * HS : có 2 vectơ là và * GV : Như vậy đoạn thẳng AB khác vectơ AB như thế nào ? Cho học sinh định nghĩa vectơ AB. * HS : trả lời và phát biểu định nghĩa. * GV : cho HS ghi định nghĩa vectơ. * GV : yêu cầu HS nhắc lại (nhanh, GV chỉnh sửa) các khái niệm liên quan đến vectơ như : giá của vectơ, độ dài vectơ, sự cùng phương, cùng hướng, nguợc hướng, sự bằng nhau của 2 vectơ, vectơ – không, trong mặt phẳng. Ví dụ : GV : vẽ hình. HS : trả lời. GV : chỉnh sửa. HS : ghi bài giải VD. A B D C * GV : gợi ý cho HS nhắc lại quy tắc trung điểm, quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng. Và bổ sung quy tắc hình hộp trong không gian. - Quy tắc trung điểm : I A B - Quy tắc 3 điểm : B C A - Quy tắc hình bình hành : B C A D - Quy tắc hình hộp : B C A D B’ C’ A’ D’ *GV : hướng dẫn HS chứng minh quy tắc hình hộp. Ví dụ : * GV : Gợi ý các cách CM 1 đẳng thức vectơ : chứng minh VT = VP hoặc VT – VP = . Gọi một HS lên giải cách 1 và một HS lên giải cách 2. * HS : lên bảng giải. * GV : chỉnh sửa và HS ghi bài giải. * GV : lưu ý : “Tổng 2 vectơ đối bằng ” * GV : Nêu định nghĩa của trong không gian và các tính chất của nó. * HS : ghi nhận bài. * GV : yêu cầu HS nhắc lại quy tắc trung tuyến và quy tắc trọng tâm của một tam giác trong mặt phẳng (các quy tắc này vẫn được áp dụng trong không gian). AI là trung tuyến G là trọng tâm (với mọi điểm M) * HS : ghi nhận. Ví dụ : * GV : gọi 1 HS lên bảng vẽ hình và hường dẫn HS giải : a) VP = = . = VP b) Chèn điểm G vào 3 vectơ ở VT, dùng quy tắc trọng tâm G của DBCD được VP. Gợi ý và hướng dẫn cách chứng minh tương đương (chuyển VP sang VT, đổi dấu và tách 3). A M G B D N C * GV : Đưa ra khái niệm 3 vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng. * HS : theo dõi và ghi nhận. O A B C B C A O * GV : nhận xét gì về 4 điểm O, A, B, C khi đồng phẳng ? * HS : trả lời : O, A, B, C cùng thuộc một mặt phẳng. * GV : yêu cầu HS nhìn hình 3.6 và phát biểu định nghĩa 3 vectơ đồng phẳng. * HS : phát biểu vẽ hình 3.6 và ghi bài. Ví dụ : * GV : gọi một HS lên bảng vẽ hình. * HS : lên bảng vẽ hình. * GV : gợi ý : nếu gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD thì tứ giác MPNQ là hình gì ? Vì sao ? * HS : trả lời : MPNQ là hình bình hành và giải thích. * GV : như vậy AD và BC như thế nào với mp(MPNQ) ? vì sao ? * HS : trả lời. * GV : vậy có kết luận gì về ? vì sao ? * HS : trả lời : chúng đồng phẳng và giải thích. * GV : gọi một HS trình bày bài giải, chỉnh sửa và HS ghi bài giải. * GV : phát biểu ĐL1. * HS : ghi nhận ĐL1. * GV : nêu câu hỏi áp dụng ĐL1 : cho hai vectơ , khác và không cùng phương. Vectơ , , có đồng phẳng không ? vì sao ? * HS : trả lời : chúng đồng phẳng vì có m = 2 và n = - 1 thỏa ĐL1. Ví dụ : A M P B D Q N C * GV : gợi ý : để chứng minh 4 điểm M, N P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng ta phải chứng minh 3 vectơ nào đồng phẳng ? * HS : trả lời * GV : hỏi : khi đó theo ĐL1 thì chứng minh 3 vectơ phải có mối quan hệ nào ? * HS : trả lời và lên bảng trình bày. * GV : chỉnh sửa và HS ghi bài giải. D C B O D’ A * GV : minh họa ĐL2 : trong quy tắc hình hộp cho biết trên đường chéo AC’ thì biểu thị theo 3 vectơ bởi bộ 3 số nào ? * HS : trả lời : (1,1,1) * GV : nêu VD và HS xem hình 3.10 * GV : Trong DABG ta có AI là đường gì ? nên ta có quy tắc nào về vectơ ? * HS : quy tắc trung tuyến và lên bảng viết. * GV : Trong hình hộp ABCD.EFGH có quy tắc hình hộp nào ? * HS : lên bảng viết. * GV : tổng hợp và kết luận. * HS : ghi bài giải. I. Định nghĩa và các phép toán về vectơ trong không gian : 1) Định nghĩa : Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. - Kí hiệu : để chỉ vectơ có A là điểm đầu và B là điểm cuối. - Vectơ còn được kí hiệu : - Các khái niệm có liên quan đến vectơ như : giá của vectơ, độ dài vectơ, sự cùng phương, cùng hướng, nguợc hướng, sự bằng nhau của 2 vectơ, vectơ – không, trong không gian được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng. - Từ 1 điểm A bất kỳ và một ¹ cho trước trong không gian, ta luôn vẽ được duy nhất một = . Ví dụ : Cho hình tứ diện ABCD. Hãy kể tên các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tư diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không ? Các vectơ nào cùng nằm trong một mặt phẳng ? 2) Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian : - Phép cộng và phép trừ 2 vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ 2 vectơ trong mặt phẳng. Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng trong mặt phẳng. - Quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành của phép cộng trong không gian được áp dụng như trong mặt phẳng. Ngoài ra ta còn có quy tắc hình hộp trong không gian. - Cần nhớ : a) Quy tắc trung điểm : I là trung điểm AB M b) Quy tắc 3 điểm : A, B, C bất kỳ c) Quy tắc hình bình hành : ABCD là hbh d) Quy tắc hình hộp : Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có : (AC’ là đường chéo hình hộp) Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng : Cách 1 : Þ đpcm Cách 2 : Þ đpcm 3) Phép nhân vectơ với một số : Định nghĩa : Trong không gian, tích của vectơ với một số thực là vectơ được xác định như sau : · cùng hướng với nếu k > 0 · ngược hướng với nếu k < 0 · * Các tính chất của trong không gian cũng giống như các tính chất của trong mặt phẳng. * Cần nhớ : Trong không gian ta có : AI là trung tuyến G là trọng tâm (với mọi điểm M) Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần luợt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của DBCD. Chứng minh rằng : a) b) Giải : a) VP = = = VP (đpcm) b) VT = Þ đpcm II. Điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ : Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian : Trong không gian cho 3 vectơ , , đều khác . Từ một điểm O bất kỳ trong không gian, ta vẽ = , = , = thì ta có 2 trường hợp sau : · TH1 : OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ta nói , , không đồng phẳng. · TH2 : OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng ta nói , , đồng phẳng. Chú ý : + Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng không phụ thuộc vào việc chọn điểm O. + O, A, B, C đồng phẳng Û , đồng phẳng. 2) Định nghĩa : Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng : . Giải : A M P Q B D N C 3) Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng : a. Định lí 1 : Trong không gian, cho hai vectơ , không cùng phương và . Khi đó : , , đồng phẳng Û tồn tại duy nhất cặp số thực m, n sao cho . Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho . Chứng minh rằng : M, N, P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng. Giải : Ta có : (theo VD phép nhân vectơ với 1 số) Mà giả thiết có : Thay vào (1) ta được : Từ (2) cho đồng phẳng. Vậy : M, N, P, Q cùng nằm trong một mặt phẳng. b. Định lí 2 : Trong không gian, cho ba vectơ , , không đồng phẳng. Khi đó với mọi ta đều tìm được duy nhất bộ ba số thực m, n, p sao cho : . Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.EFGH có : . Gọi I là trung điểm BG. Tính (biểu thị) theo 3 vectơ , , . Giải : Trong DABG ta có : Trong hình hộp ABCD.EFGH ta có : Thay (2) vào (1) ta được : Þ điều phải tính. Củng cố : * Nội dung kiến thức : * Câu hỏi, bài tập : Dặn dò : * Nội dung cần học : * BTVN : Từ bài 2 đến bài 10 SGK trang 91 và 92.