Giáo án Toán lớp 11 - Tiết 3 + 4: Bài luyện tập (góc và cung lượng giác)

Chương I: Hàm số lượng giác Tiết 3+4: Bài luyện tập (góc và cung lượng giác) I. Mục tiêu Kiến thức: - HS thuộc và biết vận dụng công thức định nghĩa và các định lý về góc lượng giác, đơn vị đo góc và cung. - Củng cố cho HS các khái niệm cơ bản về góc và cung lượng giác. 2. Kỹ năng: - Rèn luyện cho HS kỹ năng đổi đơn vị của góc và cung, xác định các yếu tố ở CT: l = a.R - Rèn luyện cho HS kỹ năng biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, tìm số đo của cung, góc lượng giác khi biết điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. 3. Trọng tâm: - HS nắm vững cách đổi đơn vị độ và rad. - HS biết xác định số đo của cung nếu biết R,l - HS biết biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn LG khi biết số đo và ngược lại II. Chuẩn bị PPDH - phương tiện dạy học 1. Compa; Thước kẻ. 2. Bảng đường tròn lượng giác trên đó có biểu diễn các cung có số đo (kẻZ) III. PPDH và Tài liệu tham khảo a. PPDH: Cơ bản dùng phương pháp gợi mở, nêu – giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm HS. b. Tài liệu 1. SGK Đại số và Giải tích 11 (Ban KHTN). 2. SGK Đại số và Giải tích 11 (Phan Đức Chính). IV. Tiến trình bài giảng Tiết 3 ổn định và tổ chức lớp: ổn định trật tự và kiểm tra sĩ số HS Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: HS nhắc lại công thức đổi đơn vị từ độ sang rad và ngược lại? Nội dung bài mới Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung +) HS nghe, hiểu vấn đề GV đưa ra. +) Độc lập nghiên cứu tìm lời giải, thông báo kết quả cho GV. +) HS nêu cách giải và kết quả bài 1 +) GV viết lên bảng đề bài 1 +) Đặt vấn đề của bài. Giao nhiệm vụ cho HS Bài 1: Đổi số đo góc sau sang rad a) 22o30', b) 71o52' Giải: a) 22o30' = 22,5o = b) 71o52' = +) HS nêu công thức đổi đơn vị từ rad sang độ +) Độc lập giải quyết vấn đề. +) Thông báo kết quả cho GV. +) Ghi lời giải lên bảng +) GV viết lên bảng đề bài 2, đặt câu hỏi cho HS. +) Yêu cầu HS tiến hành giải bài tập. +) GV chính xác hoá kết quả. Bài 2: Đổi số đo các cung sau ra độ, phút, giây. a) b) Giải a) = 33,75o = 33o45' b) +) HS trả lời l = Ra +) Thông báo kết quả cho GV, ghi lời giải lên bảng. GV? HS nhắc lại công thức tính độ dài 1 cung tròn? +) GV yêu cầu HS áp dụng CT thay dữ kiện cụ thể tính l. +) Chính xác k.quả Bài 3: Cho một đường tròn bkR = 5cm. Tìm độ dài các dung trên đường tròn có số đo a): 1 b) 15 c) 37o Giải a) l = R. a = 5.1 = 5 (cm) b) l = R. a = 5.1,5 = 7,5 (cm) c) l = R. a = 5. +) GV yêu cầu HS giải bài 4 vào vở và kiểm tra đáp số HS vẽ hình biểu diễn cung có số đo 1350 cung có số đo: 1350 - 3600 GV? Hãy chuyển số đo góc từ Rad thành độ, biểu diễn các góc này lên đường tròn đơn vị? GV? Nhận xét các góc có cùng điểm ngọn? Bài 5: Trên đường tròn lượng giác hãy biẻu diễn các cung có số đo Trong các điểm ngọn của các cung, có những điểm trùng nhau, hãy giải thích? Giải ; ị Điểm ngọn của 2 cung -315o và trùng nhau +) HS nhận xét: Hai cung có số đo hơn kém nhau bội nguyên của 360o thì có điểm ngọn trùng nhau ị Điểm ngọn của 2 cung - 60o và trùng nhau +) Điểm ngọn của 2 cung -315o và 315o đối xứng nhau qua trục Ox +) HS nghe, hiểu vấn đề GV đưa ra. +) Độc lập nghiên cứu tìm lời giải, thông báo kết quả cho GV. +) HS nêu cách giải và kết quả bài 6 +) HS nhận xét: = a SĐ Góc hình học ị = a = p - a = p + a +) GV yêu cầu HS xác định các điểm M1, M2, M3 trên đường tròn lượng giác GV? Số đo các cung bài yêu cầu? Bài 6: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm M xác định bởi sd = a (0 < a < ). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox , trục Ox và gốc toạ độ. Tìm số đo các cung: Giải số đo cung AM1 = - a + k2p, kẻZ số đo cung AM2 = (p - a) + k2p , kẻZ số đo cung AM3 = (p + a) + k2p , kẻZ Củng cố - dặn dò. Hướng dẫn công việc ở nhà GV giao bài tập về nhà và hướng dẫn Bài 10: Biểu diễn cung có số đo (nẻN, kẻZ) trên đường tròn lượng giác. Bài 11: Trên đường tròn định hướng gốc A, xác định các điểm B1, B2 sao cho số đo cung AB1 và số đo cung AB2 lần lượt là: a) và b) - 45o và (-45o + 540o) Tiết 4 ổn định và tổ chức lớp: ổn định trật tự và kiểm tra sĩ số HS Nội dung bài mới Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung +) HS tìm hiểu nội dung bài tập và vấn đề bài tập nêu ra. +) Độc lập nghiên cứu tìm lời giải, thông báo kết quả cho GV. +) HS nêu cách giải và kết quả bài 7 +) Chính xác lời giải và ghi lời giải lên bảng. GV yêu cầu HS làm bài tập 7 (SGK) Bài 7: Trên đường tròn lượng giác xác định các điểm M khác nhau biết rằng cung AM có số đo: a) kp = a b) k c) k (kẻZ) Giải a) Xét 2 trường hợp: - Nếu k chẵn, k = 2n (nẻZ) => a = kp = n.2p ị M º A (1,0) - Nếu k lẻ, k = 2n + 1 (nẻZ) => a = kp = (2n + 1)p = p + n2p => M º A’(-1,0) Treo bảng đường tròn lượng giác có biểu diễn các cung và để HS tham khảo b) Xét 4 trường hợp +) k = 4n (nẻZ) => b = n2p ị M º A (1,0) +) k = 4n + 1 => b = +) k = 4n + 2 => b = p + n2p ị M º A'(-1,0) +) k = 4n + 3 => b = c) Xét 5 trường hợp ị có 5 điểm M là 5 đỉnh của một ngũ giác đều lồi (nội tiếp trong đường tròn) GV mở rộng và tổng quát hoá bài 7 và yêu cầu HS cho biết kết quả. GV chép đề bài 10 (BTVN) lên bảng Bài 10: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác cung AM có số đo Kết quả: Có n điểm M khác nhau trên đường tròn lượng giác là n đỉnh của một đa giác đều lồi (nội tiếp trong đường tròn) +) HS tìm hiểu nội dung bài tập và vấn đề bài tập nêu ra. +) Độc lập nghiên cứu tìm lời giải, thông báo kết quả cho GV. +) Chính xác lời giải và ghi lời giải lên bảng. HS nhận xét: Độ dài quãng đường người đó đi được trong 1 phút chính là độ dài cung tròn tương ứng với góc a. +) GV yêu cầu HS đọc đề bài và yêu cầu HS hãy cho biết bài tập bắt ta phải làm gì? +) Yêu cầu HS tiến hành giải bài tập. +) GV chính xác hoá kết quả. Bài 8: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây. a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được trong 1 giây. b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút biết rằng đường kính bánh xe đạp là 680mm. Giải a) Trong 5 giây bánh xe quay được 11 vòng tức là quay được một góc có số đo: 11.2 p = 22p (rad) hay 11.3600 = 3960o ị Trong 1 giây bánh xe quay được một góc có số đo b) Trong 1 phút bánh xe quay được 1 góc có số đo a = 4,4 p.60 = 264 p (rad) ị Quãng đường người đó đi được trong 1 phút là l = R.a = 340.264p = 281846,4mm 4) Củng cố - dặn dò 5) Hướng dẫn BTVN Bài tập về nhà: Bài 1, 2 (trong Đề cương ôn tập) Tiết 5: Các hàm số lượng giác I. Mục tiêu 1. Kiến thức: - HS nắm vững khái niệm các GTLG của cung a, bảng GTLG của một số góc thường gặp. - HS nắm vững các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản về GTLG của một góc - Biết được quan hệ của giữa các GTLG của các cung, góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, đối nhau, phụ nhau, hơn kém nhau p. - Nắm được dấu của các GTLG của một góc, nắm được ý nghĩa hình học của tga và cotga. 2. Kỹ năng: - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính giá trị lượng giác của một góc khi biết số đo góc đó. - Xác định được dấu của các GTLG của cung khi điểm M nằm ở các góc phần tư khác nhau. - Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các GTLG một góc để tính toán, CM các hệ thức đơn giản. Vận dụng được các CT giữa các GTLG của các góc: bù nhau, đối nhau, phụ nhau, hơn kém nhau p vào việc tính GTLG của góc bất kỳ hoặc CM các đẳng thức. 3. Trọng tâm: - Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung a, hàm số lượng giác của các biến số thực. - Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản và áp dụng, sự liên quan giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt II. Chuẩn bị đồ dùng dạy học Compa; Thước kẻ III. PPDH và Tài liệu tham khảo a. PPDH: Cơ bản dùng phương pháp gợi mở, nêu – giải quyết vấn đề, đan xen hoạt động nhóm HS. b. Tài liệu 1. SGK Đại số và Giải tích 11 (Ban KHTN). 2. SGK Đại số và Giải tích 11 (Phan Đức Chính). IV. Tiến trình bài giảng Tiết 5 Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung HS nhắc lại các tỉ số lượng giác của góc a (0oÊ a Ê 180o) GV trình bày bài giảng GV hướng dẫn: Cung lượng giác có số đo a. ta cũng có các GTLG được Đ/n như sau: I. Các giá trị lượng giác của cung a 1. Định nghĩa Xét đường tròn LG tâm 0 và hệ trục toạ độ Oxy với các điểm A(1,0); A'(-1,0); B'(0,1); B(0,1). "aẻR, cung lượng giác có số đo a được biểu diễn bởi một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo cung = a Giả sử M(x,y). Ta có: sina = y; cosa = x; tga = (cosa ạ 0); cotga = (sina ạ 0) *) Các giá trị sina, cosa, tga, cotga gọi là các giá trị lượng giác của cung a. *) Trục tung còn gọi là trục sin. *) Trục hoành còn gọi là trục cosin HS nghe câu hỏi GV đề ra. Suy nghĩ, quan sát hình vẽ trả lời câu hỏi. Y/ cầu trả lời: sin(a + k2p ) = sina; cos(a + k2p ) = cosa Tana XĐ khi: aạ Cota XĐ khi a ạ kp GV? +) Các điểm biểu diễn các cung có sđ là (a + k2p) và a có quan hệ ntnào? Từ đó xét quan hệ của: sin(a + k2p ) và sina cos(a + k2p ) và cosa +) TGT của sin, cos? +) Tan? Cot? xác định khi nào? 2. Hệ quả +) sina và cosa xác định "aẻR "kẻZ ta có: sin(a + k2p ) = sina cos(a + k2p ) = cosa +) Vì: -1 Ê -1 +) tana không XĐ Û cosa = 0 Û Û a = (kẻZ) +) Tương tự: cotga xác định khi a ạ kp, kẻZ. GV giới thiệu và yêu cầu HS về nhà học thuộc bảng GTLG của các cung (góc) đặc biệt) 3. Bảng GTLG của một số cung hay góc đặc biệt HS trả lời: Sinx: TXĐ: R TGT: [-1; 1] Cosx: TXĐ: R TGT: [-1; 1] Tanx: TXĐ: R\ ớ, kẻZý TGT: R Cotx: TXĐ: R\ ớ, kẻZý TGT: R GV? Dựa vào định nghĩa của các GTLG và định nghĩa của các hàm số LG. Em hãy nêu TXĐ, Tập giá trị của các hàm số lượng giác? II. Các hàm số lượng giác của biến số thực 1. Hàm số sin: Sin: R đ R x y = sinx 2. Hàm số cosin: Cos: R đ R x y = Cosx 3. Hàm số tang: Tan: R\ ớ, kẻZý đ R x y = tgx 4. Hàm số Cotang: Cot: R\ ớ, kẻZý đ R x y = Cotx HS nêu nhận xét: DAOT ~ DHOM = tga Vẽ hình HD ý nghĩa hình học trên hình vẽ: III. ýnghĩa hình học của tga và cotg a 1. ý nghĩa hình học của tga Vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác. Xác định trên tiếp tuyến này một trục với gốc là A và vectơ đơn vị là. Xét cung lượng giác, gọi T = OM ầ t'At Ta có: tga được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ trên trục t'At, trục này gọi là trục tang Y/ cầu HS trả lời: Do các góc, cung có số đo (a + kp ) và a có điểm ngọn đối xứng nhau qua O nên từ hình vẽ ta thấy các GTLG Tan và Cot là bằng nhau. GV? Dựa vào hình vẽ hãy so sánh GTLG của: tg (a + kp ) và tga. cotg (a + kp ), cotga. 2. ý nghĩa hình học của cotga Vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục gốc B, vectơ đơn vị . Gọi S là giao điểm của OM trục s'Bs. Ta có: cotga được biểu diễn bởi độ dài của vectơ trên trục s'Bs trục này gọi là trục cotang. 3. Chú ý: "kẻZ ta có: tg (a + kp ) = tga cotg (a + kp ) = cotga 4) Củng cố - dặn dò 5) Hướng dẫn công việc ở nhà Bài tập về nhà Bài 1: Tính giá trị biểu thức B = 2sin 330o - 5tg 225o + cotg 120o Bài 2: Tính sina và cosa nếu: a) a = 390o; b) a =; c) a = Tiết 6 1. ổn định tổ chức lớp và kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: Nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác đã học ở lớp 10 2. Bài mới Hoạt động của hS Hoạt động của GV Nội dung +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) Trả lời câu hỏi. GV? Nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác đã học ở lớp 10 I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản 1. sin2a + cos2a = 1 2. 1+tg2a =, kẻZ) 3. 1+cotg2a =, kẻZ) 4. tga .cotga = 1, kẻZ) +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) Nghiên cứu tìm cách BĐ vế trái (hoặc vế phải) thành vế còn lại. +) Thông báo kết quả cho GV, chính xác hoá kết quả, ghi lời giải lên bảng. GV? Em hãy vận dụng các công thức trên để biến đổi VT = VP? Gợi ý: Tanx =? sin2a = 1 - cos2a Ví dụ 1: Chứng minh rằng sin2x + tg2x = - cos2x Giải Ta có: sin2x + tg2x = sin2x + = = +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) Nghiên cứu tìm cách BĐ, rút gọn A +) Thông báo kết quả cho GV, chính xác hoá kết quả, ghi lời giải lên bảng. GV hướng dẫn: *) BĐ: sin6a + cos6a và sin4a + cos4a theo sin2a và cos2a *)Sử dụng công thức: sin2a + cos2a = 1 Ví dụ 2: CMR biểu thức sau không phụ thuộc vào a A = 2(sin6a + cos6a) - 3(sin4a + cos4a) Giải Ta có: A = 2[(sin2a + cos2a)3- 3sin2acos2a (sin2a + cos2a)] - 3[(sin2a + cos2a)2 - 2sin2acos2a] = 2(1-3 sin2acos2a) - 3(1-2 sin2acos2a) = 2 - 6 sin2acos2a - 3 + 6 sin2acos2a = -1 ị A không phụ thuộc a. V. Dấu của các giá trị lượng giác 1. Nhận xét Với aẻR, đặt a = số đo cung. Khi đó dấu của cosa và sina là dấu của hoành độ và tung độ điểm M. Dấu của Tan và Cot được suy ra từ dấu của Sin, Cos GV treo bảng và giải thích cho HS 2. Bảng tóm tắt dấu khi điểm ngọn của cung a thuộc các góc phần tử tương ứng (Xem SGK trang 19) +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) Nghiên cứu tìm cách xác định các GTLG còn lại. +) Thông báo kết quả cho GV, chính xác hoá kết quả, ghi lời giải lên bảng. GV? Biết Cos ta có tìm được các GTLG còn lại không? Dụa vào công thức nào? Ta tìm GTLG nào trước? +) Chính xác kết quả, lưu ý cho HS cách chọn GTLG phù hợp với ĐK bài ra. Ví dụ 1: Cho cosa = và. Tính GTLG của a. Giải Ta có: sin2a = 1 - cos2a = 1 - ị Vì điểm ngọn của cung a thuộc góc phần tử thứ I, do đó sina > 0 Vậy sina = => tga = ; cotga = +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) Nghiên cứu tìm cách xác định các GTLG còn lại. +) Thông báo kết quả cho GV, chính xác hoá kết quả, ghi lời giải lên bảng. (HS áp dụng CT: ) GV? Biết Tan ta có tìm được các GTLG còn lại không? Dụa vào công thức nào? Ta tìm GTLG nào trước? +) Chính xác kết quả, lưu ý cho HS cách chọn GTLG phù hợp với ĐK bài ra. Ví dụ 2: Cho tga = và .Sina; Cosa?. Giải Ta có: ị ị = ị cosa = Vì ị cosa = => sina = tga .cosa = IV. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt HS nhận xét: *) Điểm ngọn của 2 cung a và (-a) đối với nhau qua trục hoành *) tg (-a) = = = - tga GV? Điểm ngọn của 2 cung a và (-a) có quan hệ như thế nào? Hãy nhận xét giá trị Sin, Cos của các cung này? Hãy suy ra CT của: tg(-a) và cotg(-a) 1. Cung đối nhau: a và (- a) cos (-a) = cosa sin (-a) = - sina tg (-a) = - tga cotg (-a) = -cotga HS nhận xét: Các điểm ngọn của 2 cung a và (p -a) đối xứng nhau qua trục tung. Điểm ngọn của 2 cung a và (p - a) có quan hệ như thế nào? Hãy nhận xét giá trị Sin, Cos của các cung này? tg(p - a) = ? cotg(p - a) = ? 2. Cung bù nhau: a và (p - a) sin (p -a) = sina cos (p -a) = - cosa tg (p -a) = - tga cotg (p -a) = - cotga HS tự vẽ hình, tìm hiểu công thức trong SGK. GV hướng dẫn: Tương tự các cung hơn kém nhau p; Cung phụ nhau HS tự nghiên cứu. 3. Cung hơn kém p a và p + a sin (p + a) = - sina cos (p + a) = - cosa tg (p + a) = tga cotg (p + a) = cotga 4. Cung phụ nhau: a và - a GV hướng dẫn: Tương tự các cung phụ nhau HS tự nghiên cứu. sin( - a) = cosa cos( - a) = sina tan( - a) = cota cot( - a) = tana +) HS nghe hiểu nhiệm vụ. +) N/cứu tìm cách đưa về tính GTLG các góc nhỏ hơn. +) Chính xác hoá kết quả, ghi lời giải lên bảng. +) GV hướng dẫn : Phân tích các góc thành các góc hơn kém nhau k2p, p, 2 góc đối, bù nhau... đưa về GTLG các góc nhỏ hơn. Từ đó tính GTLG của chúng Ví dụ: Tính sin và Giải sin = - sin tg (-1050O) = tg (30o - 3.360O) = tg 30O = 4) Củng cố - dặn dò 5) Hướng dẫn BTVN Bài tập về nhà: Bài 3, 4 (trong đề cương ôn tập)