Giáo án Tự chọn môn Toán học 11 - Chủ đề 3: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Tiết 13-16 Ngày soạn :………………….. Chủ đề 3 : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN I - Mục Tiêu : - Ôn lại kiến thức của lý thuyết dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. - Vận dụng làm được các bài tập cơ bản và nâng cao. II - Tiến trình bài học : 1. Bài mới : Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Phép chứng minh quy nạp: GV yêu cầu HS từ phần mở đầu, chuẩn hoá thành các bước cần tiến hành trong phép chứng minh quy nạp. GV chính xác hoá. Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n ³ 0. +Bước 1:Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng khi n=0. +Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ( k ³ 0) (giả thiết quy nạp ). Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng khi n=k+1. GV đặt câu hỏi: Nếu trong chứng minh trên, thay cho yêu cầu n ³ 0 bằng n ³ p thì ta phải thay đổi phép chứng minh như thế nào ? HS đọc phần mở đầu trong SGK (tr85) và trình bày lại theo ý hiểu của mình. HS suy nghĩ và trả lời. HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. Chú ý: Nếu ta phải chứng minh một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n³ p (pÎ N*). +Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng khi n = p. +Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n=k(k³ p) (giả thiết quy nạp ). Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1. 2. Bài tập về phép chứng minh quy nạp : Bài 1. Chứng minh rằng "n Î N*, ta có: (1) GV có thể gợi ý bằng cách đặt các câu hỏi. + Bước 1 phải kiểm tra với n = ? + Nội dung bước 2 là gì ? + Đâu là giả thiết quy nạp ? + Sử dụng giả thiết quy nạp như thế nào ? GV chính xác hoá phần chứng minh của HS. GV lưu ý HS ghi nhớ kết quả của VD1. Bài 2: Chứng minh rằng " n Î N*, ta có: Bài 3 : Chứng minh rằng " n Î N, ta có: Bài 4 : Chứng minh rằng " n Î N, n ³ 3, ta có: . Bài 5 : Chứng minh rằng " n Î N*, ta có: 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2n + (2n + 1) = n + 1. Bài 6. Chứng minh rằng " n Î N*, ta có: Bài 7. Chứng minh rằng " n Î N*, a là hằng số và a > -1, ta có: (1 + a)n ³ 1 + na. 3. Dãy số : a) Định nghĩa : Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (Hay gọi tắt là dãy số). b) Các cách cho một dãy số : + Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát : + Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi. + Diễn đạt bằng lời nói cách xác định mỗi số hạng của dãy số. c) Dãy số tăng, dãy số giảm bị chặn : Định nghĩa 1: Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu "n Î N* ta có : un < un +1. Vậy trong dãy số tăng thì: u1 < u2 < ... < un < ... Định nghĩa 2: Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu "n Î N* ta có : un > un +1. Vậy trong dãy số giảm thì: u1 > u2 > ... > un > ... Định nghĩa 3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu. Định nghĩa 4 : + Dãy số un được gọi là bị chặn trên, nếu : $ M sao cho "n Î N*, un £ M. + Dãy số un được gọi là bị chặn dưới, nếu : $ m sao cho "n Î N*, un ³ m. + Dãy số un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: $ m, M sao cho "n Î N*, m £ un £ M. * Chú ý : + Dãy số un tăng Û , "n Î N*. + Dãy số un giảm Û, "n Î N*. 4. Bài tập về dãy số : Bài 1(94). Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau: nếu n chẵn nếu n lẻ. Bài 2(94). Cho . Tìm u7, u24, u2n, u2n+1. Bài 3(94). Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó: a) Đều chia hết cho 3; b) Khi chia cho 5 còn dư 2. Bài 4(94). Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: Bài 5(94). Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: Bài 6(95). Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn trên; bị chặn dưới; bị chặn ? Bài 7(95). Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi: là dãy số giảm và bị chặn dưới. 5. Cấp số cộng : * Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d gọi là công sai * un +1 = un + d * un = u1 + (n - 1)d * Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un * * 6. Bài tập cấp số cộng : HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trình bày cách giải. Chứng minh: + Với n = 1 thì VT = VP = 1 Mệnh đề (1) đúng. + Giả sử (1) đúng khi n = k (k > 1), tức là: Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là: Thật vậy, theo giả thiết quy nạp có: Vậy (1) đúng với mọi n ³ 1. - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV - HS suy nghĩ và trình bày lời giải dưới sự hướng dẫn của GV HS theo dõi và ghi chép. HS suy nghĩ và trả lời. a) Dãy số giảm. b) Dãy số tăng. HS theo dõi và ghi chép. HS nêu cách chứng minh một dãy số tăng, giảm ! - HS giải dưới sự hướng dẫn của GV a) un = 3n ; b) un = 5n + 2. un = 2n - 1.3 a) Dãy số giảm. b) Dãy số tăng. c) Dãy số không phải là dãy số tăng, không phải là dãy số giảm. a) Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. b) Dãy số bị chặn. c) Dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. d) Dãy số bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới. HD: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. - Nêu định nghĩa về cấp số cộng. - Số hạng tổng quát - Tính chất - Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng Bài 1. Trong các cấp số cộng dưới đây, hãy tìm số hạng un đã chỉ ra: Bài 2. Tìm công sai d của một cấp số cộng hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối u15 = 43. Bài 3. Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết: d = 3 c) Dãy số này không phải là cấp số cộng. Bài 5. Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi cấp số cộng dưới đây, biết: Bài 6. Ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Tìm ba góc đó. Bài 7. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó. Bài 8. Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đó. 7. Cấp số nhân : Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q gọi là công bội. * un+1 = un.q * u * 8. Bài tập cấp số nhân : Ba góc của tam giác đó là 300, 600 và 900. Cấp số cộng đó là: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31. Bốn số đó là: 1, 4, 7, 10. Bài 1. Cho các cấp số nhân, tính un : Bài 2. Tìm công bội q của một cấp số nhân hữu hạn, biết u1 = 2, u11 = 64. Bài 3. Tính u1 và q biết: Bài 4. Tìm các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng: a) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243. b) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng cuối là 1. Bài 5. Một cấp số nhân có 5 số hạng. Tìm u5 và S5 biết u1 = 2, q = 3. Bài 6(104). Một cấp số nhân có 9 số hạng, biết rằng u1 = 5, u9 = 1280. Tính q và S. Bài 7. Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Bài 8. Tính các cạnh của một hình hộp chữ nhật, biết rằng thể tích của nó bằng a3, diện tích toàn phần bằng 2ma2 và ba cạnh lập thành cấp số nhân (với a ¹ 0 và m > 0). 9. Bài tập tổng hợp : a) Có hai cấp số nhân thoả mãn là: 3, -9, 27, -81, 243 và 3, 9, 27, 81,243 b) Cấp số nhân cần tìm là: 243, 81, 27, 9, 3, 1. u5 = 162 và S5 = 242. q = 2 và S9 = 2555 hoặc q = -2 và S9 = 855 Bốn góc của tứ giác đó là: 90 , 270, 810 và 2430. Ba cạnh của hình hộp chữ nhật là: hoặc với Bài 1. Chứng minh rằng "n Î N*, biểu thức Bài 2. Xét tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số sau: Bài 3. Xác định u1 và d, biết rằng: HD: Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. a) Dãy số tăng, bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. b) Dãy số không đơn điệu nhưng bị chặn. c) CM quy nạp dãy số dã cho tăng và bị chặn. Bài 4. Năm số lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 5, tích của chúng bằng 45. Tìm 5 số đó. Bài 5. Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, tổng của chúng bằng 29, tổng các nghịch đảo của chúng bằng . Tìm 4 số đó. Bài 6. Tìm u1 và q biết: Bài 7. Một cấp số nhân có 5 số hạng, công bội bằng một phần tư số hạng thứ nhất, tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó. Bài 8. Độ dài các cạnh của DABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng DABC có hai góc không lớn hơn 600. Năm số đó là : -3, -1, 1, 3, 5. Bốn số đó là : 2, 4, 6, 8. Cấp số nhân đó là: -12, 36, -108, 324, -972 hoặc 8, 16,32, 64, 128. HD: Dùng định lý Cosin trong D. 2. Dặn dò: Làm và nghiên cứu thêm các bài tập trong các sách tham khảo.