Hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

bảng hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn Thứ tự cách chứng minh Hệ thức B Hình vẽ minh hoạ Cách 1 OA = OB = OC = OD D C A Cách 2 2.a) 2.b) éA1 = éC1 2 1 1 x D C B A Cách 3 éA1 + éC1 = 900 + 900 1 1 A D C B A Cách 4 2 2 2 2 1 1 1 1 A D C B Cách 5 éA1 = éB1 = 900 1 1 C B D Cách 6 MA . MB = MC . MD A B C D M A B C D M O (Hình bên phải tứ giác ACBD nội tiếp) Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên. Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) gặp nhau ở A và B, tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) gặp (O’) ở M; Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’) gặp (O) tại N. Lấy điểm E đối xứng với A qua B . Chứng minh tứ giác AMEN nội tiếp một đường tròn. Phân tích: C/m tứ giác ANEM nội tiếp một đường tròn (1) mà ta thấy E đối xứng với A qua B. Vậy là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANEM nằm trên đường trung trực của đoạn AE, và như thế tâm của đường tròn này cũng nằm trên trung trực của các đoạn thẳng nào? (Đoạn AN và AM ) Vậy để chứng minh (1) ta có thể dùng cách 1 để sử dụng tính chất của đường trung trực của một đoạn thẳng suy ra . Gọi I là giao hai trung trực của AN và AM thì: (1) Û IA = IN = IE = IM (2). Thật vậy: OI // AO’ (cùng ^ AN ) và AO // O’I (cùng ^ AM ) => AOIO’ là hình bình hành => éOIO’ = éOAO’ = éOBO’ => OIBO’ là tứ giác nội tiếp (theo cách 4) nhưng OI = AO’ = O’B => OIBO’ là hình thang cân => IB // OO’ (3) => IB ^ AB => IB là đường trung trực của AE => IA = IN = IE = IM => (2) => (1) đpcm. Chú ý: cũng có thể chứng minh (3) bằng cách chứng minh OO’ là đường trung bình của tam giác AIB . Cách 2: (1) <= <= (4) <= cùng bằng 1/2 số đo cung AB của đường tròng (O). (5) <= Tam giác EBN và tam giác MBE đồng dạng <= (6) <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) (7) <= <= Tam giác ABN và tam giác MBA đồng dạng (góc-góc) E K I º E’ H N M O’ O B A Cách 3: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt AB kéo dài tại E’, ta chứng minh E º E’ bằng cách chứng minh AB= BE’ (vì E đối xứng với A qua B) Gọi K và H lần lượt là giao điểm của OO’ với AI và AB Ta có KA=KI (do AOIO’ là hình bình hành) và AH=HB (do OO’ là đường nối hai tâm). Do đó HK//BI ị BI//OO’ mà AB^OO’ suy ra IB^AB , bởi vậy AB=BE’ (do tam giác AIE’ cân tại I), nghĩa là E’ºE Ví dụ 2: Trên ( O; R ) lấy 2 điểm A, B sao cho AB < 2R . Gọi giao điểm của các tiếp tuyến của (O) tại A, B là P . Qua A, B kẻ dây AC, BD song song với nhau, gọi giao điểm của các dây AD, BC là Q. Chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp được . Phân tích: Để chứng minh tứ giác AQBP nội tiếp (1) D A B C O Q P Ta có thể chứng minh: éAPB + éAQB = 1800 (2) Thật vậy, theo giả thiết có éOAP + éOPB = 90o + 90o ị Tứ giác AOBP nội tiếp ị éAPB + éAOB = 1800 Vậy để chứng minh ( 2 ) ta chứng minh : éAQB = éAOB (3), chứng minh (3) có nhiều cách . Chẳng hạn AC // BD (gt) nên AB = CD => éAQB = éAOB ( cùng bằng số đo cung AB của (O) ) => (3) được chứng minh => (2) => (1) đpcm. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH . Gọi I, K tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH và ACH . Đường thẳng IK cắt AC tại N. Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được . Phân tích: Từ giả thiết dễ thấy A B C H M N K I R S 1 éHIK = éA = 90o (1) giả sử tứ gíac HCNK nội tiếp thì éK1 = éNCH (2) thế thì DHIK và DABC đồng dạng (3) Chứng minh (3): DHAB và DHCA đồng dạng => (4) Chứng minh DHAS và DHCR đồng dạng ị (5) Từ (4) và (5) => (6) Từ (1) và (6) => (3) => (2) => Tứ giác HCNK nội tiếp A B C H M/ N/ K/ I/ R S 1 Cách 2: Chứng minh Trên cạnh AB kấy điểm M/ , trên cạnh AC lấy N/ sao cho AM/=AN/=AH Gọi I/, K/ là giao điểm của M/N/ với phân giác các góc BAH, CAH (c.g.c) => => II/ Chứng minh tương tự KK/ Suy ra MM/ , NN/ => => tứ giác HCNK nội tiếp. Ví dụ 4: Cho góc xOy . Một điểm A ở trong góc đó, gọi B, C là hình chiếu vuông góc của A trên Ox, Oy; gọi C’ , B’ là hình chiếu vuông góc của C, B xuống Ox, Oy; gọi B’’ , C’’ là hình chiếu vuông góc của B’, C’ xuống Ox, Oy. Gọi E là giao điểm của BB’, CC’. Gọi Q, P lần lượt là giao của OE với B’C’ và B’’C’’. Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp. Phân tích: C/m tứ giác MNPQ nội tiếp (1). Ta có thể sử dụng cách 3 : C/m : éP + éM = 90o + 90o (2) Thật vậy, vì tứ giác OBAC nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 3 ) ị éOCB = éOAB (3) (đảo cách 4) O B// B B/ C/ C// C A E Q M P N Vì BCB’C’ nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 5 ) ịéOC’B’ = éOCB (4) Từ (3)và (4) => Tứ giác MC’BA nội tiếp ( nhận biết nhanh cách 2.b ) nhưng do éOBA = 90o ịéQMN = 90o (5) ị ( T/chất tứ giác nội tiếp và t/chất hai góc kề bù ) Tương tự éQPN = 90o (6) Từ (5) và (6) => (2) => (1) đpcm Ví dụ 5: Cho tam gíac ABC cân ( AB = AC ) . Trên AB và AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB . Dựng hình thang cân ANMI ( AI // MN ). Chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp. A B C I M N 1 1 Phân tích: Để chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp (1) Từ giả thiết => IM = MB = AN (2) và IN = AM = NC (3) Từ (2) và (3) => éIMA = 2éB1 (4) và éANI = 2éC1 (5) (góc ngoài của tam giác ) Mặt khác éIMA = éANI (6) vì ANMI là hình thang cân ) Vậy từ (4), (5) và (6) ta có thể suy ra điều gì ? (suy ra éB1 = éC1(7)). Và từ (7) => (1) đpcm (cách 4) Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng cách 4 Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm của đường tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK. Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp. A B M K G N C I 1 1 Phân tích: C/m BNMC nội tiếp (1). Sử dụng cách 5: (1) Û éBNC = éBMC = 90o (2) Ta thấy éBGI = 90o nên phải chứng minh : Tứ giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3) Û éMIC = éMKC (4) với chú ý I là giao 3 phân giác trong tam giác ABC Ta có éMIC = éB1 + éC1 = (5) Mặt khác: éMKC = éAKG = éAGK = (6) Từ (5) và (6) suy ra (4) => (3) => éBMC = éBNC = éBGI = éIKC = 90o => (2) =>(1) đpcm Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH . Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp được . Phân tích: C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây : Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp Nên éI1 = éH1 nhưng éH1 = éC1 (cùng phụ với éH2) A B C H I K 1 1 1 do đó éI1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhất C/m (1) theo cách 2.b. Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách 6 được không? (1) Û AI . AB = AK . AC (2) Để chứng minh (2) ta có thể sử dụng hệ thức lượng giác trong tam gíac vuông AHC và AHB : AI . AB = AH2 và AK . AC = AH2 suy ra (2) được c/m => (1) được c/m phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định hướng phương pháp theo giả sử các bước sau : Hướng thứ nhất: ( phân tích đi lên ) Bước 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn ta chọn phương pháp A nào đó ( phương pháp A là cách 1, cách 2 , cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh điều gì ? ( điều gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách ). Bước 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh. Bước 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo hướng phân tích trên. Hướng thứ hai: (Tổng hợp ) Bước 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong 6 cách ). Bước 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Bước 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bày lời giải. Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phương pháp để có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tự tin hơn trong học toán . ứng dụng 1: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích các hình, Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bài toán tiếp theo : Giữ nguyên giả thiết và bổ xung thêm M là giao điểm của IK với AB. Kết luận chứng minh SAMN ≤ SABC (với SAMN, SABC thứ tự là ký hiệu diện tích tam giác AMN và tam giác ABC ). Ta có thể phân tích giải tiếp như sau (hình vẽ ở ví dụ 3) Tứ giác HCNK nội tiếp => éANM = éKHC = 45o => DAMN là tam giác vuông cân tại A => AM = AN (1) Lại chứng minh được DAKN = DAKH (g.c.g) => AN = AH (2) Từ (1) và (2) => AM = AN =AH Do đó SAMN = AM . AN = AH2 còn SABC = AB . AC Xét DABC vuông tại A có : Hay: Û SAMN Ê SABC ( đpcm) ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng vuông góc: Ví dụ: (lấy ví dụ 2) Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//AC Thật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => éACB = éPAB ( cùng chắn cung AB ) mà éPAB = éPQB (cùng chắn cung BP của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => éACB = éPQB => PQ //AC (đồng vị ) ứng dụng 3: Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, An cùng thuộc một đường tròn : Bước 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nội tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ). Bước 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành một tứ giác nội tiếp. Cứ tiếp tục chứng minh như trên, cuối cùng nhận xét các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A1, A2, A3. Do đó các đường tròn đó phải trùng nhau => A1, A2, A3,,An cùng thuộc một đường tròn. B K A C I E H F 1 1 2 2 Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực của AB và AC gặp nhau ở I. Trung trực của AE cắt hai trung trực kia ở F, K. Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Phân tích : Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đường tròn (1) Û Chứng minh 2 tứ giác nội tiếp AKIE và AKIF (có 3 điểm chung là A, K , I) (2) Thật vậy, từ giả thiết => Iẻ BC và IB =IC (éA = 90o) Vì IK là trung trực của AC, KF là trung trực của AE ị KA = KC = KE => éKAI = éKEI (=éKCE) ị Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có éK1 = éK2 = éI1= éI2 (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đường trung trực ) hay éK1 = éI1 => tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4) (4) Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm Chú ý : ở ví dụ này kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Hình vẽ trên là ứng với điểm E thuộc đoạn HC còn 2 trường hợp nữa là E thuộc đoạn HB và E nằm ngoài đoạn BC chứng minh tương tự.