Khai thác bài toán Hình học ở sách giáo khoa

®Æt vÊn ®Ò Qua thùc tiÔn d¹y To¸n líp 9 THCS, d¹y «n thi tèt nghiÖp THCS, tham gia chÊm thi häc sinh giái còng nh­ chÊm thi tèt nghiÖp THCS. B¶n th©n t«i nhËn thÊy phÇn H×nh häc líp 9, ch­¬ng III “Gãc víi ®­êng trßn” cã vai trß quan träng trong c¸c ®Ò thi. Kh«ng ph¶i ngÉu nhiªn mµ c¸c ®Ò thi tèt nghiÖp m«n to¸n THCS ë kh¾p c¶ n­íc phÇn h×nh häc th­êng cã néi dung liªn quan ®Õn ch­¬ng “Gãc víi ®­êng trßn” còng nh­ c¸c ®Ò thi cña Tr­êng chuyªn líp chän còng vËy. §ã lµ bëi v× c¸c bµi tËp cña ch­¬ng gãc víi ®­êng trßn ®ßi hái häc sinh ph¶i huy ®éng, vËn dông hÇu hÕt c¸c kiÕn thøc h×nh häc ®· ®­îc häc ë cÊp THCS vµo lµm bµi. ChÝnh v× ph¶i vËn dông kiÕn thøc tæng hîp ®Ó gi¶i nªn ®èi víi phÇn lín häc sinh c¸c bµi to¸n h×nh häc th­êng lµ khã. Qua c¸c ®ît chÊm thi häc sinh giái, chÊm thi tèt nghiÖp t«i nhËn thÊy cã nh÷ng bµi to¸n kh¸ ®¬n gi¶n mµ häc sinh kh«ng lµm ®­îc hoÆc lµm kh«ng chÝnh x¸c. ● Nguyªn nh©n dÉn ®Õn c¸c h¹n chÕ cña häc sinh - Do t©m lý häc sinh th­êng nghØ c¸c bµi to¸n h×nh häc tæng hîp thuéc lo¹i khã - Häc sinh kh«ng ph¸t hiÖn thÊy sù liªn quan gi÷a bµi to¸n h×nh häc tæng hîp vµ bµi to¸n h×nh häc c¬ b¶n ë SGK - Gi¸o viªn ch­a cã ph­¬ng ph¸p d¹y còng nh­ ®Þnh h­íng ®Ó häc sinh vËn dông c¸c bµi to¸n c¬ b¶n ®· biÕt vµo lµm bµi II. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò §øng tr­íc thùc tr¹ng nh­ vËy, b¶n th©n t«i tr¨n trë, b¨n kho¨n rÊt nhiÒu vµ thiÕt nghÜ ph¶i t×m ra biÖn ph¸p kh¾c phôc nh÷ng h¹n chÕ ®¸ng tiÕc ®ã nªn t«i ®· chän ph­¬ng ph¸p “X©u chuæi, khai th¸c vµ ph¸t triÓn c¸c bµi to¸n h×nh häc c¬ b¶n ë s¸ch gi¸o khoa” ● C¸c biÖn ph¸p ®· thùc hiÖn - H­íng dÉn häc sinh vËn dông kiÕn thøc ®· häc vµo gi¶i tèt c¸c bµi tËp c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa - Tõ bµi to¸n c¬ b¶n trong s¸ch gi¸o khoa khai th¸c, ph¸t triÓn thµnh bµi to¸n tæng hîp - Chó träng nh¾c nhë ph­¬ng ph¸p “T­¬ng tù” ®èi víi häc sinh - H­íng dÉn häc sinh liªn hÖ vËn dông ph­¬ng ph¸p “T­¬ng tù” gi÷a bµi to¸n c¬ b¶n vµ bµi to¸n tæng hîp VÝ dô: Bµi to¸n 1. (Bµi 19, trang 82. SGK ThÝ ®iÓm To¸n 9, T2) Cho (o), ®­ên kÝnh AB, S lµ mét ®iÓm cè ®Þnh n»m bªn ngoµi ®­êng trßn. SA vµ SB lÇn l­ît c¾t ®­êng trßn t¹i M, N. Gäi H lµ giao ®iÓm cña BM vµ AN. Chøng minh r»ng SH vu«ng gãc víi AB ● N B A S H M (H1.a) NhËn xÐt 1: ViÖc chøng minh bµi to¸n nµy kh¸ ®¬n gi¶n. Gi¸o viªn chØ cÇn gîi ý qua hai c©u hái ? ANB vµ AMB cã g× ®Æc biÖt ? §iÓm A cã quan hÖ nh­ thÕ nµo víi ∆SBH hoÆc (§iÓm H cã quan hÖ nh­ thÕ nµo víi ∆SBA, tuú vµo h×nh vÏ) Lêi b×nh: NÕu bµi to¸n nµy chØ dõng l¹i ë ®©y th× thËt lµ ®¸ng tiÕc,ta cã thÓ ph¸t triÓn nã thµnh bµi to¸n tæng hîp vµ x©u chuæi bµi to¸n nµy víi c¸c bµi to¸n kh¸c VD: Ta ®Æt thªm c©u hái. Chøng minh: SN.SB = SA.SM S Häc sinh dÔ dµng chøng minh ®­îc ∆SAN ∆SBM vµ rót ra kÕt luËn  SN.SB = SA.SM NhËn xÐt 2: S Tõ kÕt qu¶ ∆SAN ∆SBM => SN.SB = SA.SM, nÕu ta chøng minh S ∆SAB ∆SNM => SN.SB = SA.SM, ta cã thÓ liªn hÖ víi bµi tËp 18 (Trang 79 SBT To¸n 9 T2) Cho (o) vµ mét ®iÓm M cè ®Þnh kh«ng n»m trªn ®­êng trßn. Qua M vÏ mét c¸t tuyÕn bÊt kú c¸t ®­êng trßn ë A vµ B. Chøng minh r»ng tÝch MA.MB kh«ng ®æi ● o A M C B D (H1) NhËn xÐt 3: ViÖc chøng minh bµi to¸n nµy kh«ng khã ta chØ viÖc xÐt 2 tr­êng hîp TH1: §iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn (H1) Ta kÏ thªm c¸t tuyÕn MCD vµ ®­a vÒ bµi to¸n cña nhËn xÐt 3 Khi ®ã tÝch MA.MB kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ c¸t tuyÕn MAB TH2: §iÓm M n»m trong ®­êng trßn (H2) o D B A M ● C (H2) Ta kÏ thªm c¸t tuyÕn MCD vµ ®­a vÒxÐt c¸c tam gi¸c ®ång d¹ngKhi ®ã tÝch MA.MB kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ c¸t tuyÕn MAB NhËn xÐt 4: ● o A M B T (H3) Tõ kÕt qu¶ cña bµi tËp 18 víi TH1, nÕu c¸t tuyÕn MCD trïng víi tiÕp tuyÕn MTta cã MT2= MA.MB (H3) Ta quay l¹i tõ (Bµi 19, trang 82. SGK ThÝ ®iÓm To¸n 9, T2) KÕt hîp víi tÝnh chÊt tø gi¸c néi tiÕp ta sÏ khai th¸c tiÕp bµi to¸n ● N B A S H M (H1.b) P NÕu gäi giao ®iÓm cña MN víi AB lµ P.(H1.b) Chøng minh: PM.PN = PA.PB ViÖc chøng minh ®¼ng thøc PM.PN = PA.PB kh¸ dÏ dµng Nh­ng ta cã thªm nhËn xÐt ANBM néi tiÕp ®­êng trßn th× PM.PN = PA.PB (Víi P = MNAB) L­u ý: §©y còng lµ mét ph­¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp kh¸ hiÖu qu¶ ngoµi ph­¬ng ph¸p chøng minh tæng hai gãc®èi diÖn b»ng 1800 Tæng hîp kÕt qu¶ trªn ta cã bµi to¸n tæng qu¸t sau: Bµi to¸n tæng qu¸t Cho tø gi¸c ANBM. AB c¾t MN t¹i P, BN c¾t AM t¹i S. Chøng minh r»ng c¸c kÕt luËn sau lµ t­¬ng ®­¬ng a, ANBM néi tiÕp ®­êng trßn b, ABN = AMN c, NAM + MBN = 1800 d, SN.SB = SM.SA e, PN.PM =PA.PB Chó ý: Bµi to¸n nµy cã thÓ ¸p dông ®­îc rÊt nhiÒu nªn gi¸o viªn cã thÓ h­íng dÉn häc sinh gi¶i chi tiÕt vµ ghi nhí Ta tiÕp tôc quay l¹i (Bµi 19, trang 82. SGK ThÝ ®iÓm To¸n 9, T2) Gäi giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AB víi SH lµ I. Chøng minh a, Tø gi¸c SNAI néi tiÕp b, SNI = SHB c, Gäi Q lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c SNAI. Chøng minh QN lµ tiÕp tuyÕn ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c IBH NhËn xÐt 5: Bµi to¸n nµy lµ bµi to¸n më réng nªn cã nh÷ng c©u kiÕn thøc ®ßi hái nhiÒu h¬n nh­ng nã ph¸t triÓn trªn nÒn c¸i ®· biÕt nªn häc sinh sÏ ghi dÔ h¬n ● N B A S H M (H4) P I K Q H­íng dÉn gi¶i (H4) C©u a, ta cã SNA = SIA = 900 => SNAI néi tiÕp, ®­êng trßn ®­êng kÝnh SA C©u b, SNI = SHB (Cïng bïINB,v× INBH néi tiÕp) C©u c, ∆IBH néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh BH,gäi K lµ trung ®iÓm cña BH ta cã NSQ = SNQ (∆ QSN c©n t¹i Q) BNK = NBK (∆ KNB c©n t¹i K) Mµ NSQ + NBK = 900 (∆ SMB vu«ng t¹i M) =>QNS + KNB = NSQ + NBK = 900 => QNK = 900 Hay QN lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ IBH L­u ý : B»ng c¸ch t­¬ng tù ta còng chøng minh ®­îc QI lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ IBH, ®­êng trßn ngo¹i tiÕp INBH Bµi to¸n 2. (Bµi 22, trang 82. SGK ThÝ ®iÓm To¸n 9, T2) o ● C M A B (H5) Cho (o) ®­êng kÝnh AB. vÏ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i A. LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn ®­êng trßn råi vÏ BM c¾t tiÕp tuyÕn t¹i C. Chøng minh r»ng CA2 = CB.CM H­íng dÉn gi¶i. (H5) S Bµi to¸n nµy rÊt ®¬n gi¶n, ta cã thÓ ¸p dông hÖ thøcl­îng trong tam gi¸c vu«ng cho ∆ BAC víi ®­êngcao AM, hoÆc cã thÓ chøng minh ∆ BAC ∆ AMCtõ ®ã rót ra kÕt luËn CA2 = CB.CM NhËn xÐt: Bµi to¸n nµy rÊt ®¬n gi¶n nh­ng nã l¹i cã thÓ ¸p dông vµo gi¶i c¸c bµi tËp kh¸c Sau khi t×m hiÓu, thu thËp vµ liÖt kª t«i ph¸t hiÖn thÊy cã rÊt nhiÒu bµi to¸n H×nh häc cã thÓ ¸p dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n 1, bµi to¸n 2 vµ c¸c bµi to¸n ph¸t triÓn cña hai bµi to¸n trªn ®Ó gi¶i. Sau ®©y lµ mét trong sè c¸c bµi tËp ®ã o ● P H A B (H6) D C Bµi 1: Cho ®iÓm P n»m ngoµi (o), vÏ hai tiÕp tuyÕn PA vµ PB. PO c¾t AB t¹i H, qua H vÏ d©y CD. Chøng minh a, CH.DH = HP.HO b, Tø gi¸c POCD néi tiÕp ®­êng trßn (§Ò thi häc sinh giái HuyÖn n¨m häc 2003-2004 Phßng GD - §T §øc Thä) §Þnh h­íng gi¶i: (H6) C©u a, ta ¸p dông bµi tËp 18 vµ bµi tËp 19 C©u b, ta ¸p dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n tæng qu¸t Bµi 2: Cho n÷a ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB = 4 cm. Tõ trung ®iÓm C cña AO, vÏ tia Cx vu«ng gãc víi AO. C¾t n÷a (O) t¹i D. Gäi E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung BD; F lµ giao ®iÓm cña AE vµ CD a, Chøng minh tø gi¸c CFEB néi tiÕp b, TÝnh AD c, Gäi giao ®iÓm cña AE víi OD lµ I. Chøng minh ®­êng th¼ng EO lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ FCI (§Ò thi tèt nghiÖp THCS n¨m häc 2003-2004. Së GD-§T Hµ TÜnh) ● I A B D ● F E C o (H7) §Þnh h­íng gi¶i: (H7) C©u a, b, ta dÔ dµng chøng minh vµ tÝnh ®­îc C©u c, ta ¸p dông bµi to¸n ph¸t triÓn cña bai to¸n 1 Bµi 3: Trªn ®­êng trßn (O;R) ®­êng kÝnh AB, lÊy hai ®iÓm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai ®iÓm M, E kh¸c hai ®iÓm A, B). AB c¾t BE t¹i C; AE c¾t BM t¹i D. a, Chøng minh MCED lµ mét tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB. b, Gäi H lµ giao ®iÓm cña CD vµ AB. Chøng minh BE.BC = BH.BA. c, Chøng minh c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ E cña ®­êng trßn (O) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn ®­êng th¼ng CD. d, Cho biÕtBAM = 450 vµBAE = 300. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo R. (§Ò thi tèt nghiÖp THCS n¨m häc 2003-2004. Së GD-§T TP. Hå ChÝ Minh) o ● M E D C B A H (H8) §Þnh h­íng gi¶i: (H8) C©u a, MCED néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh CD Gäi K lµ trung ®iÓm cña CD C©u b, HDEB néi tiÕp, ta ¸p dông kÕt qu¶ bµi to¸n tæng qu¸t C©u c, Gäi K lµ trung ®iÓm cña CD ta cã KM vµ KE lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (o). KÕt qu¶ bµi to¸n më réng C©u d, ¸p dông tû sè l­îng gi¸c vµ gi¶i thiÕt ta sÏ tÝnh ®­îc A B M N E K F I O x Q (H9) Bµi 4: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt kú trªn nöa ®­êng trßn (M A;B ). Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®­êng trßn, vÏ tiÕp tuyÕn Ax.Tia BM c¾t A x t¹i N; tia ph©n gi¸c gãc NAM c¾t nöa ®­êng trßn t¹i I, c¾t BN t¹i E; Tia BI c¾t AN t¹i F. §­êng th¼ng AB c¾t ®­êng th¼ng EF t¹i K, AM c¾t IB t¹i Q. Chøng minh: a, AN2=MN.NB b, Tam gi¸c ABE c©n c, FB vu«ng gãc víi NK d, Tø gi¸c AFEQ lµ h×nh thoi §Þnh h­íng gi¶i: (H9) C©u a, ¸p dung kÕt qu¶ bµi to¸n ph¸t triÓn cña bµi to¸n 1 C©u b, c, sö dông c¸c tÝnh chÊt cña gãc néi tiÕp vµ cung bÞ ch¾n C©u d, sö dông tÝnh chÊt cña gãc víi ®­êng trßn vµ tÝnhchÊt cña ®­êng th¼ng song song Bµi 5: Tõ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn (o) vÏ c¸t tuyÕn MAB tíi ®­êng trßn (A n»m gi÷a M vµ B). Hai tiÕp tuyÕn víi (o) t¹i A vµ B c¾t nhau t¹i C; MO c¾t ®­êng trßn ®­êng kÝnh OC t¹i H; CH c¾t AB t¹i N; AB c¾t OC t¹i I. Chøng minh r»ng. N H B A M C (H10) ● o I a, CN.CH = CI.CO b, MA.MB = MI.MN §Þnh h­íng gi¶i: (H10) S÷ dông kÕt qu¶ bµi tËp 18 (SBT) Ta cã: Tø gi¸c INHO néi tiÕp => CN.CH = CI.CO MA.MB = MH.MO MH.MO = MI.MN III. kÕt luËn Kinh nghiÖm nµy cã thÓ ¸p dông vµo d¹y ë ch­¬ng tr×nh h×nh häc líp 9 ë tiÕt 49, 50 ¤n tËp ch­¬ng III vµ tiÕt 67 -> 70 ¤n thi tèt nghiÖp m«n H×nh häc. Tuú vµo ®iÒu kiÖn cô thÓ mµ gi¸o viªn ph©n bè thêi gian hîp lý Sau khi ¸p dông kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y t«i nhËn thÊy kh¶ n¨ng gi¶i bµi tËp h×nh häc cña häc sinh tèt lªn h¼n. Kh¾c phôc ®­îc nh÷ng h¹n chÕ vµ sai sãt ®¸ng tiÕc, c¸c em biÕt ph©n tÝch bµi to¸n vµ liªn hÖ víi nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n ®· gi¶i vµ ¸p dông vµo bµi gi¶i cña m×nh. Kinh nghiÖm ®­îc viÕt ra tõ tù häc, tù båi d­ìng còng nh­ yªu cÇu cña thùc tiÔn, nh­ng do thêi gian vµ n¨ng lùc b¶n th©n cã h¹n nªn sÏ kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ. RÊt mong ®­îc sù gãp ý cña quý ThÇy C« ®Ó kinh nghiÖm ngµy cµng hoµn thiÖn vµ phong phó. Trong nh÷ng n¨m tiÕp theo t«i sÏ cè g¾ng khai th¸c tõ c¸c bµi to¸n c¬ b¶n kh¸c vµ s­u tÇm c¸c bµi to¸n liªn quan ®Ó lµm tµi liÖu gi¶ng d¹y, mong nhËn ®­îc sù gãp ý bæ sung cña tÊt c¶ c¸c ®ång nghiÖp T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n !