Kinh nghiệm dạy học khắc phục sai lầm khi hoc sinh thực hiện các phép tính về phân thức Đại số lớp 8

Sở gd & đT thanh hoá phòng giáo dục huyện hậu lộc ..................@&?.................. Giáo viên: Kinh nghiệm dạy học Khắc phục sai lầm khi hoc sinh thực hiện các phép tính về phân thức đại số lớp 8 ***************** Năm học 2006 - 2007 ********** A) đặt vấn đề I) Lời nói đầu Trong lịch sử phát triển của các lĩnh vực khoa học thì Toán học là một trong những lĩnh vực khoa học được ra đời từ rất sớm. Xuất phát từ những đòi hỏi thực tế của cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học đã góp phần không nhỏ trong sự phát triển của các bộ môn khoa học tự nhiên cũng như thúc đẩy các bộ môn khoa học xã hội phát triển. Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó có thể sử dụng được phương pháp toán học. Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của các ngành khoa học thì việc nâng cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết, góp phần thực hiện thắng lợi nhiệm vụ cơ bản của nhà trường phổ thông Việt Nam là “Đào tạo thế hệ trẻ thành những công dân kiên trì, dũng cảm, thông minh, sáng tạo”. Các dạng bài tập của môn Toán ở phổ thông rất đa dạng và phong phú. Một trong những dạng toán cơ bản của Đại số khối THCS mà học simh còn vướng mắc là các bài toán có liên quan đến rút gọn phân thức chiếm một phần quan trọng của Đại số lớp 8 và 9. Nhưng thực tế khi giải toán không phải bất cứ phân thức nào ta gặp đều có một dạng giống nhau Vì lẽ đó, chương trình Đại số 8 đã đề cập đến và đưa ra một vài dạng cơ bản nhất mà học sinh có học lực còn non yếu đôi khi học sinh học lực trung bình vẫn còn thường mắc xai lầm khi thực hiện toán về phân thức Gần đây ngành giáo dục đang và đã thực hiện hai không “nói không với bệnh thành tích va tệ nạn trong thi cử” Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề khó khăn trên tôi đã mạnh dạn thực hiện sưu tầm tìm tòi những sai lầm của học sinh khi làm bài tập, làm bài kiểm tra khi lên bảng đúc kết kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy tôi lần lượt tìm ra biện pháp khắc phục và giải quyết, tiếp đó nâng cao dần dần bằng những bài toán cơ bản ở các dạng toán khác nhau về phân thức nhằm giúp cho học sinh có học lực yếu kém vượt qua và trở thành học sinh khá giỏi II) Thực trạng vấn đề nghiên cứu Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về phân thức đại số của chương trình. Đại số 8 tôi thấy hệ thống bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập do Bộ giáo dục - Đào tạo ấn hành học sinh thực hiện các bài toán còn nhiều sai sót đặc biệt khi biến đổi các phân thức học sinh còn làm bài tập sai cơ bản nguyên nhân chủ yếu là học sinh không có kĩ năng vận dung kiến thức cơ bản vào bài toán, kĩ năng thực hiện các phép biến đổi chưa thành thạo, việc nắm kiến thức chưa sâu, thực tế bài tập về phân thức đại số rất đa dạng phong phú và là một thể loại toán không có công thưc nhất định nào cả. Khi dạy phần này, nhất là đối với học sinh yếu hoặc trung bình đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn giảng dạy sao cho phù hợp với đối tượng ... vì thế mà nội dung giảng dạy không thể thống nhất được . Là giáo viên, chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khoá” để giải từng dạng cụ thể của dạng toán cơ bản về phân thức đại số. Song không phải dạng thực hiện phép tính cộng trừ nhân chia ...phân thức đại số nào cũng có một quy tắc nhất định. Qua quá trình giảng dạy, kham khảo đồng nghiệp và học hỏi các thầy cô và quá trình nghiên cứu về học tập của học sinh tôi mạnh dạn đưa ra.Nhằm hoàn thiện cho học sinh những sai sót trên mà trong quá trình giảng dạy tôi thống kê được và cách giải bài toán sao cho chính sác, đồng thời đưa ra một số các bài toán để rèn luyện cho học sinh có kĩ năng biến đổi và thực hiện các phép toán cộng trừ nhân chia chứng minh giải phương trình ...... về phân thức đại số về cách giải. Với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc về phân thức đại số dưới nhiều góc độ hơn và làm nhẹ nhàng quá trình giải toán về phân thức đại số cho học sinh. Vì vậy tôi đươa ra tên đề tài Khắc phục sai lầm khi hoc sinh thực hiện các phép tính về phân thức đại số B Giải quyết vấn đề I) các biện pháp nghiên cứu Khi thực hiện các bài toán học sinh còn nhiều sai sót đặc biệt khi biến đổi các phân thức học sinh còn làm bài tập sai cơ bản nguyên nhân chủ yếu là học sinh không có kĩ năng vận dung kiến thức cơ bản vào bài toán kĩ năng thực hiện các phép biến đổi chưa thành thạo việc nắm kiến thức chưa sâu, thực tế bài tập về phân thức đại số rất đa dạng - Nghiên cứu lý thuyết về phân thức tính chất cơ bản của phân thức thông qua phương pháp giảng dạy “Giải bài tập toán”. - Nghiên cứu về nội dung giảng dạy ở trường THCS thông qua sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo dành cho học sinh khá giỏi. - Qua thực tế giảng dạy ở trường THCS và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.Bồi dưỡng học học tự chọn môn toán. Đồng thời qua việc trao đổi, học hỏi bạn bè, đồng nghiệp, các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy. - Dự giờ, thăm lớp, kiểm tra chất lượng học sinh. Qua khảo sát 120 em học sinh của ba lớp chất lượng còn rất thấp cụ thể như sau Loại lớp- sỉ số giỏi Khá TB Yếu S L % S L % S L % S L % 8A 40 0 0 3 7,5 8 20 29 72,5 8B 40 1 2,5 5 12,5 9 22,5 25 62,5 8C 40 4 10 11 27,5 7 17,5 18 45 Sau khi khảo sát chung, phân tích điểm yếu trong bài làm của học sinh chủ yếu là sai lầm khi thực hiện các bài toán về phân thức đại số II) Nhiệm vụ của đề tài. Phần 1: Khắc phục những sai lầm khi thực hiện các bài toán về phân thức đại số mà học sinh thường vướng mắc Phần 2: NÂNG CAO Và RèN LƯYệN NHữNG Kĩ NĂNG TRÊN khi thực hiện các bài toán mà có liên quan về biến đổi phân thức đại số III)tổ chức thực hiện Phần 1: Khắc phục những sai lầm khi thực hiện các bài toán 1)Rút gọn phân thức: Học sinh cần nắm rõ tính chất cơ bản của phân thức đại số (với M là đa thức khác không) (N là nhân tử chung của A và B) 2)Ví dụ 1) Rút gọn phân thức a) b) Vì học sinh chưa xác định được đa thức M ; N để rút gọn . M;N chính là nhân tử chung cả tử và mẫu thức nên thực hiện sai là a) b) Vì thế giáo viên chỉ ra điểm sai sót của học sinh và điều chỉnh như sau Học sinh thảo luận nhón và dựa vào tính chất cơ bản của phân thức các em thảo luận để sác định đa thức N và thưc hiện các bước sau Bước 1) phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử Bước 2) Chia cả tử và mẫu thức cho nhân tử chung chú ý phải xác định rõ các đa thức A, B, N ,M và Tiến hành giải sau a) b) ví dụ2) Thực hiện phép tính (x2- 1) Học sinh chưa thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức dẫn đến thực hiện phép cộng trừ các phân thức sai kết cục các bài toán học sinh thực hiện sai liên tục là (x2- 1) =(x2-1) =(x2+1)x2-1 Giáo viên đưa ra thảo luận với lớp và thực hiện được kết quả là theo các bước thực hiện như sau (x2- 1)Thực hiên trong ngoặc quy đồng Thực hiện phép tính cộng trừ trong ngoặc Thu gọn Làm tính nhân Kết quả thu gọn Như vậy cơ bản của hs chưa thành thạo việc nhân đơn thức vớí đa thức ngoài ra còn thiếu sót ở chỗ “khi phá ngoặc đằng trước ngoặc có dấu “-” mà không đổi đấu các hạnh tử trong ngoặc” . ví dụ 3:Thực hiện phép tính : HS chưa thành thạo việc nhân đơn thức với đa thức đẫn đến kết quả làm sai từ bài toán thực hiện các phép tính nhân sau . Trường hợp học sinh làm sai là : học sinh đã thực hiện sai từ khâu nhân đa thức với đa thức hơn nữa học sinh chưa có tính linh hoạt khi tính toán nếu học sinh vận dung hằng đẳng thức đáng nhớ thì đơn giản rất nhiều ở chỗ (2x+1)(2x+1) = (2x+1)2 Giáo viên yêu cầu thảo luận nhóm học sinh phải thực hiện là; Quy đồng mẫu thức trong ngoặc Thực hiện phép tính cộng trừ trong ngoặc Thu gọn Làm tính nhân Rút gọn Kết quả thu gọn : =. = = Ví dụ 4) Thực hiện phép tính HS chưa thành thạo về phân thức đối đẫn đến thực hiện phép tính về phân thức sai hoăc chưa phù hợp ở các trường hợp sau: “Giáo viên treo bảng phụ có nội dung sau để học sinh thảo luận” (1) = ( Sai đổi dấu khi có đấu “-” trước ngoặc ) ( 2) = ( Sai không tìm phân thức đối ) (3) = (Biến đổi 2 lần đối của 1 phân thức ) (4) = (Học sinh chưa vận dụng chưa linh hoạt về phân thức đối bài dẫn đến thực hiện thêm một bước tiếp là quy đồng) sau đó học sinh phải thực hiện lại là = = Tóm lại học sinh phải thực hiện bài này thì phải thành thạo về tìm phân thức đối Phân thức đối của phân thức là hoặc hoặc - áp dụng vào từng trường hợp để vận dụng 2, Phận thức nghịch đảo Học sinh cần nắm chắc lí thuyết Nếu là phân thức khác 0 thì Do đó là phân thức nghịch đảo của phân thức ngược lại là phân thức nghịch đảo của phân thức ứng dụng : Ví dụ 5) Tìm phân thức nghịch đảo của các phân thức xau a) b) c) d)3x+2 Sau khi học sinh nắm chắc cách thực hiện vận dụng qui tắc trên dẫn đến thực hiện phép tính chia và nắm quy tắc chia như sau Qui tắc Muốn chia phân thức cho phân thức 0 Ta nhân với phân thức nghịch đảo của phân thức :=. với Ví dụ 7) Làm tính chia: Học sinh có thể thực hiện sai trong các trường hợp như sau Học sinh biến đổi nghịch đảo cả phân thức bị chia và phân thức chia, còn phân thức cuối cùng cũng không nghịch đảo dẫn đến kết quả bài tóan sai trong các trường hợp sau = .. = .. Học sinh phải thực hiện lại là =..=........ Ví dụ 8) Làm tính chia: : (x2-x+1) Học sinh có thể thực hiện sai : (x2-x+1) = . Hoặc . =..... Nguyên nhân học sinh chưa tìm thành thạo phân thức nghịch đảo của phân thức chia là biểu thức nguyên Nên trong quá trính thực hiện giáo viên cần hướng dẫn cụ thể học sinh từng bước ở ví dụ 7) Giáo viên đặt ra các câu hỏi dẫn rắc Câu hỏi1) Phân thức nghịch đảo của phân thức là phân thức nào ? ( Là phân thức ) Câu hỏi2 ) Phân thức nghịch đảo của phân thức là phân thức nào? ( Là phân thức ) Câu hỏi3 ) Rồi ghép thành phép tính ? = .. Ví dụ 9) Câu hỏi 4)Phân thức nghịch đảo của phân thức (x2-x+1) là phân thức nào ? ( Là phân thức ) Câu hỏi 5) Thực hiện phép tính như thế nào? : (x2-x+1) = . = = Phần 2: NÂNG CAO Và RèN LƯYệN NHữNG Kĩ NĂNG TRÊN khi thực hiện một số bài toán về cộng, trừ , nhân, chia ... các phân thức đại số áp dụng giải các bài toán cơ bản Dạng 1) Rút gọn phân thức Ví dụ 1: (. Để thực hiện phép tính này ta cần thực hiện bước như sau 1)Thực hiện phép tính trong ngoặc (a) Quy đồng Phân tích các Tìm nhân tử phụ Nhân NTP với PT mẫu thứctnt tương ứng (b) Cộng các tử thức lại với nhau (c) Thu gọn phân thức tìm được trong ngoặc Thực hiện các phép tính tiếp theo như nhân chia rút gọn ..... Bài giải Ví dụ 2:Tìm điều kiện x để phận thức sau xác định và chứng minh rằng với điều kiện dó biểu thức không phụ thuộc vào biến : a, b , Học sinh phải nắm được qui trình phân thức xác định khi nào Phân thức xác định khi giá trị của phân thức xác định còn giá trị của Q xác định và khác 0 Như vậy ở câua, giá trị x-xác định khi x0 ; còn giá trị của Khi x0và x2-10. Do đó điều kiện của x làx0 x 1 với điều kiện đó ta có =:=1 b, có giá trị xác định khi x 1 Có giá trị xác định và khác 0 khi x 1 Do đó điều kiện của x là x 1 ta có = Ví dụ 3 : Cho phân thức : M= A, Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định B, Rút gọn phân thức C, Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0 Giải A, giá trị của M được xác đinh khi : x2 +2x -8 0 hay (x2+2x+1)2-9 0 hay (x+1)2 -9 0 hay (x-2)(x+4) 0 Suy ra x-2 0và x+4 0 do đó x2 và x-4 Vậy với điều kiện x2 và x-4 thì giá trị của phân thcs m được xác định B, Ta có x5 - 2x4 +2x3 - 4x2 -3x +6 = x4(x-2) + 2x2( x- 2)-3(x - 2) = (x - 2)(x4 + 2x2 -3) = (x - 2) = (x-2)(x2 + 3)(x2 - 1) =(x - 2 )(x2 +3)(x - 1)(x + 1) Vậy M= c) Giá trị của phân thức M bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0 Ta có x3 +3 >0 với mọi x , do đó(x2 +3)(x - 1)(x + 1)=0 Khi x=1 , x=-1 . Hai giá trị này của x đều thỏa điều kiện để mẫu thức khác 0 Vậy với x=1 , x=-1 thì M= 0 Dạng 2: Chứng minh: Ví dụ 4 ; a) Cho a, b, c và x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện a+b+c=0 ; x+y+z=0 và Chứng minh rằng a2x+b2y+c2z=0 Cho a,b,c là các số và a-1; b-1;c-1 chứng minh rằng nếu x=by +cz ; y=ax+cz; z=ax+by; x+y+z=0 thì Hướng dẫn cụ thể : a, Ta có a+b+c=0 ( a+b+c)(ax + by + cz)=0 a2x + b2y + c2z + ab(x+y) + ac(z+x) + bc(y+z) Thay x+y=-z; x+z=-y; y+z=-x vào đẳng thức ttrên ta được a2x + b2y + c2z –abz – acy – bcx a2x + b2y + c2z-abc mà do đó a2x + b2y + c2z=0 b, Từ đề bài suy ra x+y=2cx + ax + by=2cz + z hay 2cz = x + y – z ; do đó c = 1+c= nên Tương tự ; vậy Dạng 3: Giải phương trình Ví dụ 5: a, b, Chú ý rằng nếu quy đồng mẫu thức hai vế thỉ mẫu thức chung quá lớn . Nhưng nếu cộng thêm 1 vào mỗi phân thức ở hai vế của phương trình thì các phân thức nhận được sẽ có tử bằng nhau . do đó ta biến đổi các phương trình như sau =0 do đó x+95=0 x=-95vậy phương trình có một nghiệm x=-95 b) Trừ 1 vào mỗi phân thức ở hai vế của phương trình , các phân thức nhận được sẽ có tử bằng nhau (x-60) Vì nên x- 60=0 suy ra x=60 . Vậy phương trình có nghiệm là x=60. Phần 3: Giới thiệu các dạng bài trong các đề kiểm tra; Một số đề kiểm tra : Đề số 1 1 , Trong các câu sau câu nào đúng , sai a, = b,= 2,Cho biểu thức A= a, Rút gọn a. b, Tính giá trị của akhi x= c, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên . 3, Tìm điều kiện của x để giá trị biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó giá trị của biểu thứckhông phụ thuộc vào biến B= 4, Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị C= Đề số 2 1, Định nghĩa phân thức đại số . Cho ví dụ 2 , Xét xem các câu sau đúng hay sai a, b, Biết 3, Thực hiện phép tính : 4, Cho phân thức a, Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b, Tìm giá trị của x để phân thức sau có giá trị bằng 2 c, Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị nguyên Đề số 3 1, Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số Viết dưới dạng tổng quát 2, Hãy khoanh chòn chữ cái trước kết quả đúng A, Kết quả rút gọn của phân thức là a; -1 b; 2x c; B, Điều kiện của x để giá trị biểu thức Được xác định là a, x0 và x1 b, x c, x0 và x 3 ,Chứng minh đẳng thức 4, Cho phân thức : a, Tìm điều kiện của x để giá trị phân thức xác định b, Chứng tỏ rằng giá trị của phân thức luôn không âm khi nó được xác định C) kết luận I) kết quả Sau khi học chủ đề trên học sinh đã có kĩ năng thực hiện các phép biến đổi về phân thức thành thạo kết quả cụ thể qua khảo sát Loại lớp- sỉ số giỏi Khá TB Yếu S L % S L % S L % S L % 8A 40 6 15 15 37,5 18 45 1 2,5 8B 40 8 20 12 30 19 47.5 1 2,5 8C 40 14 35 16 40 10 25 0 0 II) lời kết Trong đề tài này tôi đã nêu được một số phương pháp về biến đổi các phân thức đại số và các phép cộng trừ nhân chia các phân thức nâng cao và rèn luyện về chứng minh giải phương trình......., nhằm giúp học sinh phát triển toàn diện trong toán học mỗi phương pháp có một số ví dụ minh hoạ do tôi tuyển chọn ở một số liệu tham khảo. Do điều kiện công tác ở trường vùng quê tài liệu kham khảo còn thiếu thốn, kinh nghiệm còn hạn chế nên quá trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, sai sót, cách trình bày cũng như hệ thống và phương pháp chưa chuẩn mực nhưng tôi hy vọng rằng một phần nào đó giúp học sinh chúng ta hiểu kỹ hơn về nội dung trên Thông qua nghiên cứu đề tài này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kiến thức quý báu, giúp tôi hoàn tành tốt hơn cho công việc giảng dạy sau này Vậy tôi kính mongđược sự góp ý kiến chỉ bảo của các bậc đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Ngày .... tháng ... năm 2006 Người viết Nguyễn Văn Hợp