Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố năm học 2004 - 2005 đề thi môn: Toán

phòng giáo dục thành phố hạ long ----------------- @ ------------------- kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 thành phố năm học 2004 - 2005 đề thi môn : toán Ngày thi : ......../......./2005 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n2 + n + 1 chia hết cho 2005 ? b) Cho x và y là hai số thực sao cho và đều là các số nguyên. Chứng minh rằng là số nguyên. Bài 2: Cho hai đa thức: P(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)( x+ 6)(x + 7) + a và Q(x) = x2 + 7x + 14. Tìm giá trị của a để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) Bài 3: Tìm x biết: + + = 0 Bài 4: Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O sao cho tia AO nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OB, OC, AC, AB. a) Tứ giác MNPQ là hình gì ? Vì sao ? b) Tìm vị trí điểm O để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật đồng thời diện tích tứ giác MNPQ bằng diện tích tam giác ABC. ------------------------ Hết ------------------------- Họ và tên : ............................................................. Số báo danh : ........................................................ hướng dẫn chấm thi HSG thành phố năm học 2004-2005 môn toán lớp 8 Bài Sơ lược lời giải Điểm Bài 1a) 3 điểm Ta sẽ chứng minh n2 + n + 1 không chia hết cho 5 với "n ẻ N. Xét n = 5k + r với 0 Ê n Ê 4 => n2 + n + 1 = 5p + r2 + r + 1 Thử trực tiếp từng trường hợp của r => r2 + r + 1 ẻ ớ1;2;3ý => n2 + n + 1 chia 5 cho dư là 1;2;3 => n2 + n + 1 không chiahếtcho 5 Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5 Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n2 +n+1 chia hết cho 2005 2,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 1b) 2 điểm Từ giả thiết => ()() ẻ Z => ẻ Z 1,0 đ => ()2 ẻ Z => ẻ Z (đpcm !) 1,0 đ Bài 2 4 điểm Đặt x2 + 7x + 6 = t => Q(x) = t + 8 = q(t) và P(x) = (t - 6) t (t + 4)(t + 6) + a = t4 + 4t3 - 36t2 - 144t + a = p(t) 0,5 đ 1,25 đ Chia p(t) cho q(t), được p(t) = (t3 - 4t2 - 4t - 112).q(t) + a + 896 Khi đó P(x) chia hết cho Q(x) p(t) chia hết cho q(t) a = -896 Vậy với a = -896 thì P(x) chia hết cho Q(x). 1,25 đ 1,0 đ Bài 3 4 điểm Đặt: = a ; = b ; = c => a + b + c = 0 Chứng minh được với a+b+c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc 0,5 đ 2,0 đ Khi đó giả thiết + + = 0 = 0 x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 1,5 đ Bài 4 A A Q P Q P O B C M N M N B C O 4a) 2 đ Tứ giác MNPQ là hình bình hành 2,0 đ 4 b) 5 điểm Giả sử MNPQ là hình chữ nhật => MQ ^ MN => AO ^ BC Do d/t MNPQ = d/t ABC => ... => AO = 2 AH (đường cao của DABC) => O ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của DABC) 1,0 đ 1,5 đ 0,5 đ Ngược lại, lấy điểm O ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH - đường cao của DABC), dễ chứng minh được tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và d/t MNPQ = d/t ABC Vậy điểm O cần tìm ẻ tia AH sao cho AO = 2 AH (với AH là đường cao của DABC). Có duy nhất điểm O thoả mãn yêu cầu bài toán. 1,5 đ 0,5 đ