Một phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian

ĐỀ TÀI: MỘT PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học. Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết hướng giải quyết. - Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này. Tôi mạo muội trình bày suy nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian dưới dạng một bài viết nhỏ, với hy vọng phần nào giúp các em học sinh không lúng túng khi gặp dạng toán này. Nội dung đề tài bao gồm: + Phần I: Lý thuyết + Phần II: Bài tập 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI I. LÝ THUYẾT: 1. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng: Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau: Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P) Bước 2: Xác định giao tuyến d của mp(P) và mp(Q) Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H Þ MH ^ mp(P) Þ d(M;(P)) = MH 2. Bổ đề (*): Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). Gọi I = AH Ç (P) khi đó ta có: = 3. Cách xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. +) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau TH1: a và b vuông góc với nhau +) Chọn điểm M nằm trên a (thuận lợi nhất) kẻ MH ^ b Þ mp(a,H) ^ b Kẻ HK ^ a Þ d(a,b) = HK TH2: a và b bất kỳ +) Dựng mp(a) chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,(a)) = d(M,(a)), trong đó M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a 4. Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình chóp: +) Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp đó và đáy. +) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy +) Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. II. BÀI TẬP: 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB). S Giải: H A B I O C D \S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB Þ (SOI) ^ (SAB). Kẻ OH ^ SI Þ OH ^ (SAB) Þ d(O;(SAB)) = OH Ta có: AC = BD = a, OI = . Xét DSAO ta có: SO = SA - AO = Xét DSOI: = + = Þ OH = a Vậy: d(O; (SAB)) = a. Bình luận: 1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào: - Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(C;(SAB)) Ta có: = = 2 Þ d(C;(SAB)) = 2a 2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào: - Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra d(K;(SAB)) Ta có OK∥(SAB) Þ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt bên của khối chóp như sau: - Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng bổ đề (*) để suy ra khoảng cách cần tính. Bài tập 2( ĐH_D_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, SBC=30. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a. Giải: Kẻ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC). Xét DSHB ta có: SH = SB.sin30 = a; BH = SB.cos30 = 3a S Qua H kẻ HI ^ AC tại I Þ (SHI) ^ (SAC). Kẻ HK ^ SI tại K Þ HK ^ (SAC) K Þ d(H;(SAC)) = HK Ta có DCHI∽DCAB(g-g) I A Þ HI = = C H = + = Þ HK = B Þ d(H;(SAC)) = Mà = = 4 Þ d(B;(SAC)) = Bài tập 3(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD = 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a. S Giải: Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD K H Þ DACD vuông tại C hay AC ^ CD D A Þ (SAC) ^ (SCD). Kẻ AI vuông góc SC tại I Þ AI ^ (SCD) Þ d(A;(SCD)) = AI Ta có: AC = AB + BC = 2a B C = + = Þ AI = a Þ d(A;(SCD)) = a Nối AB cắt CD tại K Þ B là trung điểm của AK Þ = = Þ d(B;(SCD)) = = = = = Þ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế nào? Bài tập 4(ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD). Giải: B’ C’ A’ D’ B C H O D A Gọi O là giao điểm của AC và BD Þ A’O ^ (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD Þ OE ^ AD, A’E ^ AD Þ A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) Þ A’EO = 60 Þ A’O = OE.tanA’EO = .tan60 = Ta có B’C ∥(A’BD) Þ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) Kẻ CH ^ BD tại H Þ CH ^ (A’BD) Þ d(C;(A’BD)) = CH Mà = + = Þ CH = Vậy d(B’;(A’BD)) = Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến mp(a) chứa đường cao của khối chóp như sau: Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(a) và mặt đáy Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm M đến mp(a), bằng cách kẻ MH ^ d tại M Þ MH ^ (a) Þ d(M;(a)) = MH Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH). Giải: BC = AB + AC = 4a Þ BC = 2a Þ BI = a Kẻ BK vuông góc với AH tại K Þ BK ^ (SAH) Þ d(B;(SAH)) = BK S Mà = + = Þ d(B;(SAH)) = BK = H = = I B C Þ d(E;(SAH)) = K A 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bài tập 1(ĐH_A_2010). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC. Giải: Ta có: DCDN = DDAM Þ CN ^ DM; mặt khác SH ^ DM Þ DM ^ (SCN) Þ DM ^ SC. Kẻ HK ^ SC Þ HK ^ DM S Þ d(HK, DM) = HK K Ta có S = S - S - S = Mặt khác S = CH.DM B C Þ CH = = H M A = + = N D Þ HK = Þ d(DM, SC) = Bài tập 2(ĐH_A_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Giải: (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) S A M N D H Þ SA ^ (ABC) AB ^ BC Þ SB ^ BC C Þ SBA là góc giữa mp(SBC) và (ABC) Þ SBA = 60 Þ SA = AB.tan60 = 2a B Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC tại N Þ MN ∥ BC và N là trung điểm AC MN = = a Kẻ đường thẳng D đi qua N song song AB, gọi (a) là mp chứa SN và D Þ AB ∥ (a) Þ d(AB, SN) = d(A;(a)) Kẻ AD ^ D tại D Þ (SAD) ^ (a), Kẻ AH ^ SD Þ AH ^ (a) Þ d(A,(a)) = AH Ta có AD = MN = a Þ = + = Þ AH = Vậy: d(AB,SN) = Bài tập 3(ĐH_A_2012). Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Giải: S K C A I H B Ta có là góc giữa SC và mp(ABC) Þ = 60. Xét DACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = Þ CH = Þ SH = CH.tan60 = Qua A kẻ đường thẳng D song song với BC, gọi (a) là mp chứa SA và D Þ BC ∥ (a) Þ d(SA,BC) = d(B,(a)) = d(H,(a)) Kẻ HI ^ D tại I Þ (SHI) ^ (a), kẻ HK ^ SI tại K Þ HK ^ (a) Þ d(H,(a)) = HK Ta có HI = AH.sin60 = Þ = + = Þ HK = Þ d(H,(a)) = Þ d(B,(a)) = Vậy: d(SA,BC) = Bài 4(ĐH_D_2008). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a. Giải: Ta có: AM = AB + BM = Þ AM = Qua C kẻ đường thẳng D song song với AM, gọi (a) là mặt phẳng chứa B’C và D Þ AM∥(a) Þ d(AM,B’C) = d(M,(a)) = d(B,(a)) Kẻ BI ^ D tại I Þ (B’BI) ^ (a), kẻ BK ^ B’I tại K Þ BK ^ (a) Þ d(B,(a)) = BK C’ B’ A’ Ta có: sin = sin = = Þ BI = BC.sin = K I C A Þ = + = Þ HK = M Þ d(B,(a)) = Þ d(M,(a)) = B Vậy: d(B’C,AM) = . BÀI TẬP Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi G là trọng tâm DBCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a. Bài tập 2(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị) Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc mp(ABC), SB= . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a. Bài tập 3(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Gia Lộc-Hải Dương) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, =30 và thể tích lăng trụ bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a. Bài tập 4(Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a. Bài tập 5(Đề thi thử ĐH-2012-THPT Nguyễn Đức Cảnh-Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a. Bài tập 6(Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự-Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung điểm của BC. D. KẾT LUẬN - Chuyên đề đã rút ra được một phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian. Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán của học sinh THPT. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian. - Với kinh nghiệm nghề nghiệp chưa nhiều, song với tinh thần cầu tiến, học hỏi nên tôi đã cố gắng trình bày bài viết của mình với tất cả những gì có thể, chắc chuyên đề còn nhiều thiếu sót nên tôi rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!