Một số bài tập vè đường tròn

ĐƯỜNG TRÒN Bài 10 trang 104 : Cho ABC, các đường cao BD và CE. Cmr : a. Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn b. DE < BC GT BDAC, CEAB KL a. B, E, D, C(O) b. DE<BC Cm : a. Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó EO là đường trung tuyến của vEBC và DO là đường trung tuyến của vDBCOE=OB=OC và OD=OB=OCOE=OD=OB=OC Vậy bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC b. Vì BC là đường kính nên DE<BC Bài 11 trang 104 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Cmr : CH=DK GT (O):đk AB, AHCD, BKCD KL CH=DK Cm : Kẻ OMCDMC=MD (1) và OM//AH//BK. Mà O là trung điểm của AB nên M là trung điểm của HK hay MH=MK (2). Từ (1)(2) suy ra : CH=DK Bài 24 trang 111 : Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C a. Cmr CB là tiếp tuyến của đường tròn b. Cho bán kính của đường tròn bằng 15 cm, AB=24 cm. Tính OC GT(O), dây AB, OCAB, CA là tiếp tuyến R=15cm, AB=24cm KL a. CB là tiếp tuyến ? b. Tính OC ? Cm : a. Ta có OCAB tại I nên OI là đc của tam giác cân OAB nên cũng là đường phân giácAOC=BOC Xét AOC và BOC có : OA=OB (bán kính) AOC=BOC (cmt) OC chung AOC = BOC (c.g.c) OAC=OBC=90oBC làtiếp tuyến b. Theo định lí Pitago ta có : OI2=OA2-IA2=152-122=81OI=9cm AOC vuông tại A có đường cao AI, ta có : OA2=OI.OC Bài 25 trang 112 : Cho đường tròn (O), bk OA=R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA a. Tứ giác OCAB là hình gì ? Vì sao ? b. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng OA tại E. Tính BE theo R GT (O), OA=R, BCOA tại trđ M của OA, BE cắt OA tại E KL a. OCAB là hình gì ?Vs? b. Tính BE theo R ? Cm : a. Ta có BCOA tại M nên M là trung điểm của BC. Mặc khác M là trung điểm của OA nên OCAB là hình bình hành. Mà BCOA nên OCAB là hình thoi b. Ta có : OB=OA=OC (bán kính) Mà AB=OB (OCAB là hình thoi) nên AB=OB=OA hay OAB đềuAOB=60o BE=OB.tg60o=R Bài 26 trang 115 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) a. Cmr OA vuông góc với BC b. Vẽ đường kính CD. Cmr BD song song với AO c. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC ; biết OB=2cm, OA=4cm GT (O) ; AB, AC là tiếp tuyến CD là đường kính OB=2 cm, OA=4 cm KL a. OABC b. BD//AO c. Tính AB, BC, CA Cm : a. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB=AC và AO là tia phân giác của góc A hay AO là đường phân giác của tam giác cân ABC nên cũng là đường cao hay OABC b. Vì CD là đường kính nên OB=CDBCD vuông tại B hay BDBC Mặc khác : OABC (cmt) nên BD//AO c. Theo định lí Pitago ta có : OA2=AB2+OB242=AB2+22AB2=42-22=12AB=AC= Xét vuông ABO có đường cao BI : AB.OB=OA.BI.2=4.BIBI=BC= Bài 27 trang 115 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D và E. Cmr chu vi tam giác ADE bằng 2AB GT (O) ; AB, AC là tiếp tuyến MD, ME là tiếp tuyến KL CADE=2AB Cm : Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB=AC, DM=DB, EM=EC CADE=AD+AE+DE=AD+AE+DM+EM=AD+AE+DB+EC=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC=2AB Bài 30 trang 116 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB(Ax, By, nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mp bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Cmr : a. COD=90o b. CD=AC+BD c. Tích AC.BD không đổi GT (O) ; AB là đường kính ; Ax, ByAB ; MC, MD là tiếp tuyến KL a. COD=90o b. CD=AC+BD c. AC.BD không đổi Cm : a. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : O1=O2, O3=O4 Ta có : O1+O2+O3+O4=180o2O2+2O3=180oO2+O3=90oCOD=90o b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : MC=AC, MD=BD CD=MC+MD=AC+BD c. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : MC=AC, MD=BD AC.BD=MC.MD=MO2=R2 Bài 31 trang 116 : Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Cmr : 2AD=AB+AC-BC GT ABC ngoại tiếp (O) KL 2AD=AB+AC-BC Cm : Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AD=AF, BD=BE, CE=CF AB+AC-BC=AD+BD+AF+ CF-BE-CE=(AD+AF)+(BD-BE )+(CF-CE)=2AD Bài 36 trang 123 : Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O) đường kính OA a. Xác định vị trí tương đối cuả hai đường tròn b. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Cmr : AC=CD GT (O) bán kính OA ; (O’) đường kính OA Dây AD của (O) cắt (O’) tại C KL a. Xác định vị trí tương đối của (O) và (O’) b. AC=CD Cm : a. Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong b. Vì OA là đường kính nên O’C=OACOA vuông tại C hay OC là đường cao của cân OAD nên cũng là đường trung tuyến hay AC=CD Bài 37 trang 123 : Cho hai đường tròn đồng tâm (O). Dây AB của đường tròn lớn cắt bán kính OA đường tròn nhỏ ở C và D. Cmr : AC=BD GT Hai đường tròn tâm (O) Dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C và D KL AC=BD Cm : Kẻ OIABIA=IB, IC=ID AC=BD Bài 39 trang 123 : Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC (B(O), C(O’)). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuến chung ngoài BC ở I a. Chứng minh rằng BAC=90o b. Tính số đo góc OIO’ c. Tính BC, biết OA=9cm, O’A=4cm GT (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Các tiếp tuyến chung BC, AI OA=9, O’A=4 KL a. BAC=90o b. Tính OIO’ c. Tính BC Cm : a. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AI=BI=CIBAC vuông tại ABAC=90o b. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : IO là tia phân giác của góc AIB, IO’ là tia phân giác của góc AIC. Mà AIB kề bù với AIC nên IOIO’ hay OIO’=90o c. Xét vOIO’ có AI là đường cao nên : IA2=OA.O’A=9.4=36IA=6 Xét vBAC có AI là đường trung tuyến nên : BC=2IA=2.6 =12 Bài 41 trang 128 : Cho (O) đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF a. Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn : (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K) b. Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ? c. Chứng minh đẳng thức : AE. AB=AF.AC d. Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K) e. Xác định vị trí của điểm H để EF lớn nhất GT (O);BC là đường kính ADBC tại H, HEAB tại E, HFAC tại F (I) ngoại tiếp HBE, (K) ngoại tiếp HCF KLa. Xđvttđ của (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K) b. AEHF là hình gì ? Vì sao ? c. AE.AB=AF.AC d. EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K) e. Xđvt của H để EFmax Cm : a. (I) và (O) tiếp xúc ngoài, (K) và (O) tiếp xúc trong, (I) và (K) tiếp xúc trong b. Vì BC là đk nên OA=BC ABC vuông tại A Mặc khác : HEAB tại E, HFAC tại F nên AEHF là hcn c. Xét vAHB và vAHC ta có : AE.AB=AH2=AF.AC d. KHF cân và GHF cânH1=F1 và H2=F2H1+H2= F1+F290o= F1+F2EFKF Tương tự : EFIE Vậy EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K) e. AEHF là hcn nên EF=AH EFmax khi AHmax, AHmax khi HO Bài 43 trang 128 : Cho (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại A và B (R>r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O;R) và (O’;r) tại C và D (khác A) a. Chứng minh rằng AC=AD b. Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB GT (O;R) cắt (O’;r) tại A&B I là trung điểm của OO’ CDIA tại A, K đối xứng với A qua I KL a. AC=AD b. KBAB Cm : a. Kẻ OMAC, O’NADAC=2AM, AD=2AN ; OMNO’ là hình thang Mặc khác :IAMN và I là trung điểm của OO’ nên A là trung điểm của MN hay AM=ANAC=AD b. Theo tính chất đường nối tâm ta có OO’ là đường trung trực của ABIA=IB Mặc khác : IA=IK nên IB=IA=IKABK vuông tại B hay KBAB GÓC ĐƯỜNG TRÒN Bài 19 trang 75 : Cho (O), đường kính AB và S nằm bên ngoài đường tròn, SA và SB cắt đường tròn tại M và N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Cmr SH vuông góc với AB Ta có : M, N=1v ( góc nt chắn nửa đường tròn ) hay BM, AN là đường cao của SAB Vậy SH cũng là đường cao của SAB hay SHAB Bài 20 trang 76 : Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Cmr C, B, D thẳng hàng Ta có : ABC, ABD=1v ( góc nt chắn nửa đtròn )CBD=2v hay C, B, D thẳng hàng Bài 21 trang 76 : Cho (O) và (O’) bằng nhau và cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì ? Tại sao ? Ta có : M=sđAmB và N= sđAnB Mà (O), O’) bằng nhau và AmB, AnB cùng căng dây AB nên AmB=AnB sđAmB=sđAnB M=N MBN cân Bài 22 trang 76 : Trên (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Cmr : MA2=MB.MC Vì CA là tiếp tuyến của đường tròn nên CAAB Ta lại có : M=1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Xét vuông ABC có đường cao AM : AM2=MB.MC Bài 23 trang 76 : Cho (O) và M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt (O) tại C và D. Cm : MA.MB=MC.MD a. Vì B=D (góc nt cùng chắn AC) và M chung nên MBC MDA MA.MB=MC.MD b. Vì C=B (góc nt cùng chắn AD) và M1=M2 (đđ) nên MAC MDB MA.MB=MC.MD Bài 24 trang 76 : Cho hv có AB=40, MK=3. Tính bán kính đường tròn chứa chung AMB Ta có : KA.KB=KM.KN KA.KB=KM(2R-KM) 20.20=3(2R-3) 2R= Bài 26 trang 76 : Cho (O) và ba dây AB, BC, CA. Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Cm : SM=SC, SN=SA Ta có:ACM=BCM (góc nt chắn trên hai cung bằng nhau). Mà BCM=NMC (MN//BC) nên ACM=NMC SMC cânSM=SC. Tương tự : SN=SA Bài 28 trang 79 : Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của (O’) cắt (O) tại P. Tia PB cắt (O’) tại Q. Cm đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến tại P của (O) Ta có : Q=PAB (góc nt và góc tạo bởi tia tt và dc cùng chắn cung AB) Mà PAB=BPt (góc nt và góc tạo bởi tia ttvàdccùngchắncungAB)Q=BPtAQ//Pt Bài 29 trang 79 : Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến tại A của (O’) cắt (O) tại C và của (O) cắt (O’) tại D. Cm CBA=DBA Ta có : C=DAB (góc nt và góc tạo bởi tia tt và dc cùng chắn cung AB) Ta lại có : D=CAB (góc nt và góc tạo bởi tia tt và dc cùng chắn cung AB) ABC=ABD Bài 31 trang 79 : Cho (O;R) và dc BC=R. Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại A. Tính ABC, BAC Vì BC=OB=OC=R nên OBC đều O=60o Vì ABC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên : ABC=sđBC=O =.60o=30o BAC=360o-O-ABO-ACO=360o-60o-90o-90o=120o Bài 32 trang 80 : Cho (O) đk AB. Một tt của đtr tại P cắt AB tại T. Cm BTP+2TPB=90o Vì TPB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên : TPB=sđBP=POB Xét vuông BOT : BTP+ POB=90o BTP+2TPB=90o Bài 33 trang 80 : Cho A, B, C nằm trên (O), At là tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N. Cm AB.AM=AC.AN Ta có:NMA=BAt (slt, d//At) Mà BAt=C (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB) nên NMA=C Xét AMN và ACB ta có : A chung ; NMA=C AMN ACB AM.AB=AN.AC Bài 38 trang 82 : Trên (O) lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB sao cho sđAC=sđCD=sđDB=60o. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Hai tiếp tuyến với đường tròn tại B và C cắt nhau tại T. Cmr : a. AEB=BTC b. CD là tia phân giác của BCT a. Vì AEB là góc có đỉnh ở bên ngoài đtr nên:AEB=(sđAB-sđCD)=(180o-60o)=60o Tương tự : BTC=60o Vậy : AEB=BTC b. Vì DCT là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên : DCT=sđCD =60o=30o Vì DCB là góc nội tiếp nên : DCB=sđDB=60o=30o Vậy : DCT=DCB hay CD là tia phân giác của BCT Bài 39 trang 83 : Cho AB và CD là hai đk vg của (O). Trên cung nhỏ BD lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M cắt tia AB ở E, đoạn thẳng CM cắt AB ở S. Chứng minh ES=EM Vì MSE là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : MSE=(sđAC+sđBM) Vì CME là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên : CME=(sđCB+sđBM) Mà AC=CB (ACCB) nên MSE=CME hay MSE cân ES=EM Bài 40 trang 83 : Qua S nằm ngoài (O) vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA=SD Vì ADS là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : ADS=(sđAB+sđCE) Vì SAD là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung nên : SAD=(sđAB+sđBE) Mà sđBE=sđCE (A1=A2) nên ADS=SAD hay SAD cân SA=SD Bài 41 trang 83 : Qua A nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến ABC và AMN sao cho BN và CM cắt nhau tại S bên trong. Chứng minh A+BSM=2CMN Vì A là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên : A=(sđCN-sđBM) Vì BSM là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : BSM=(sđCN+sđBM) A+BSM=sđCN=2CMN (Vì CMN là góc nội tiếp nên CMN=sđCN) Bài 42 trang 83 : Cho ABC nội tiếp (O) ; P, Q, R là điểm chính giữa của các cung BC, CA, AB a. Chứng minh APQR b. AP cắt CR tại I. Cm CPI là tgc a. Vì AKR là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : AKR=(sđAR+sđQC+sđCP)=(sđAB+sđAC+sđBC)=(sđAB+sđAC+sđBC)=.360o=90o APQR b. Vì CIP là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên : CIP=(sđAR+sđCP) Vì PCI là góc nội tiếp nên : PCI=(sđRB+sđBP) Mà AR=RB, CP=BP nên CIP=PCI hay PCI cân Bài 59 trang 90 : Cho hbh ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt CD tại P khác C. Cm : AP=AD Vì ABCD nội tiếp (O) nên : BAP+BCP=180o Ta lại có : ABC+BCP=180o (trong cùng phía, AB//CD) BAP=ABC ABCP là hình thang cân AP=BC Bài 95 trang 105 : Các đường cao hạ từ A và B của ABC cắt nhau tại H (góc C khác 90o) và cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại D và E. Cmr : a. CD=CE b. BHD cân c. CD=CH a. Ta có : DAC=CBE (cùng phụ với ACB)sđCD=sđCECD=CE CD=CE b. Ta có : sđCD=sđCECBD=CBE Vậy BHD có BI là đường cao vừa là đường phân giác nên BHD cân c. BHD cân có BI là đường cao cũng vừa là đường trung tuyến nên ID=IH Vậy CHD có CI là đường cao vừa là đường trung tuyến nên CHD cânCD=CH Bài 96 trang 105 : Cho ABC nội tiếp (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Cmr : a. OM đi qua trung điểm của dây BC b. AM là tia phân giác của góc OAH a. Vì AM là tia phân giác của góc BAC nên MAB=MACsđMB=sđMCMB=MC Mặc khác : OB=OC=R nên OM là đường trtr của BC hay OM đi qua trđ của dây BC b. Vì OM là đường trung trực của BC nên OMBC Mặc khác : AHBC (AH là đường cao) nên AH//OMHAM=OMA Mà OMA=OAM (OAM cân) nên HAM=OAM hay AM là tia phân giác của góc OAH