Một số cách xác định công thức tổng quát của một số dạng dãy số cơ bản

Một số cỏch xỏc định cụng thức tổng quỏt của một số dạng dóy số cơ bản Kết quả 1:Dóy cú số hạng tổng quỏt là Cm: Ta chứng minh bằng phương phỏp quy nạp *n=1 ta thấy (1) đỳng *Giả sử ta cm Thậy vậy: đpcm Kết quả 2:Với dóy được xỏc định bởi :, biết Ta xột phương trỡnh đặc trưng: (*) -Nếu (*) cú hai nghiệm thỡ: -Nếu (*) cú nghiệm kộp thỡ : Kết quả 3: Với dóy được xỏc định bởi :, biết Ta xột phương trỡnh đặc trưng: (**) -Nếu (**) cú ba nghiệm thỡ: -Nếu (**) cú 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kộp thỡ: thỡ: -Nếu (**) cú nghiệm bội ba thỡ: Kết quả 4: Với dóy được xỏc định: Cỏch 1: Đưa vào tham số phụ . Nhõn vào pt thứ hai với và cộng hai pt vào ta được Tiếp theo ta xỏc định sao cho .Nếu hai pt này cú nghiệm khi đú ta cú Từ đõy chỳng ta xỏc định được cttq của cỏc dóy đó cho Cỏch 2: ta cú: ta dễ dạng tỡm được cttq của dóy theo kết quả 2 Kết quả 5:Với dóy số : với mọi n 1. Đối với dạng này ta cú hai cỏch làm như sau: Cỏch 1: Xột hai dóy số được xỏc định như sau: ; Theo kết quả 4 ta xỏc định được dóy và khi đú dóy : Cỏch 2:Ta đưa vào cỏc tham số x,y như sau: Tiếp theo ta xỏc định x,y sao cho: . Khi đú ta cú: . Đặt . Ta được . theo kết quả 1 ta xỏc định được dóy nờn ta tỡm được Sau đõy là cỏc vớ dụ: Vớ dụ 1: Cho dóy và .Tỡm số hạng tổng quỏt của dóy Lời giải: Bài này chỳng ta cú thể giải theo cỏc cỏch sau: Cỏch 1: Xột pt đặc trưng: pt này cú hai nghiệm nờn . Vỡ nờn ta suy ra . Vậy Cỏch 2: Đặt ta cú nờn ta cú suy ra lấy tổng hai vế ta cú Vớ dụ 2: Cho dóy số xỏc định bởi: a)Tỡm cụng thức tổng quỏt của dóy b)Chứng minh rằng nếu p là số nguyờn tố thỡ chia hết cho p Lời giải : Xột pt đặc trưng: pt này cú ba nghiệm nờn Theo gt nờn ta cú hệ gồm ba pt sau: giải hệ ba pt này ta cú nghiệm Vậy b)Ta cú 1 1 (mod p) Vỡ p là số nguyờn tố nờn theo định lớ nhỏ Fecma ta cú: Suy ra đpcm Vớ dụ 3: Cho dóy a) Tớnh b) Tỡm phần nguyờn: Lời giải: Ta cú: Đặt . Ta cú Áp dụng kết quả 1 ta cú: a) Theo trờn ta cú: b) Ta cú: Mặt khỏc: Vớ dụ 4:Cho hai dóy được xỏc định như sau: . Tỡm cụng thức tổng quỏt của hai dóy Lời giải: Ta cú: . ta chọn sao cho: Do đú ta cú hệ: Suy ra: Vớ dụ 5: Cho dóy với mọi n>=2. Cmr Lời giải: Để chứng minh bài toỏn ta chỉ cần chứng minh cú là được Dóy số đó cho gần giống với dạng ở kết quả 2, nhưng vỡ cú hệ số tự do 1975 nờn ta chưa ỏp dụng được kết quả 2.Chỳng ta cú thể chuyển về dạng ở kết quả 1 bằng cỏch đặt . Khi đú , đến đõy ta chọn a,b sao cho 22a-8b=0, chọn a=4, b=11 Suy ra Phương trỡnh đặc trưng cú hai nghiệm x=-1 và x=-5 nờn dựa vào ta xỏc định được . Do đú suy ra Do 1997 là số nguyờn tố nờn theo định lớ nhỏ Fộc ma ta cú: (vỡ (4;1997)=1) đpcm Chỳ ý: Theo chứng minh ở trờn ta cú bài toỏn tổng quỏt hơn là :Cmr với mọi số nguyờn tố p Vớ dụ 6: Cho hai dóy được xỏc định như sau: và . Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p sao cho : khụng chia hết cho p Lời giải: Ta cú: Mặt khỏc: . Đặt Đặt ta cú: . Áp dụng kết quả 1 ta cú được . Thay vào (1) ta cú: *p=2 khụng thỏa món *p=3 khụng chia hết cho 3, suy ra p=3 thỏa món *p=5 thỏa món *p 5 khi đú khụng thỏa món Vậy p=3,5 là những số cần tỡm Cỏc bài tập 1) Cho dóy được xỏc định bởi . Xỏc định cụng thức tổng quỏt của dóy ? 2) Cho dóy số . Cmr: là số chớnh phương 3) Cho dóy a) Xỏc định cụng thức tổng quỏt của dóy b)Đặt . Tỡm để dóy cú giới hạn và tỡm giới hạn đú 4)Cho hai dóy được xỏc định như sau: . Cmr: 5) Cho dóy a) Tỡm số nguyờn dương h bộ nhất để: với mọi n b) Cmr tồn tại ớt nhất một số của dóy chia hết cho 1996