Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa và dòng điện xoay chiều

Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa 1. Kiến thức nền tảng: - Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A. - Quãng đường mà vật đi được trong  chu kỳ dao động là S = 2A. - Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A. - Chiều dài quỹ đạo: 2A. 2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều. Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm M0 và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số . Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa. * Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán. 3. Các dạng bài toán cơ bản: Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2 Cách giải :  Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các bước thực hiện như sau : - Xác định các vị trí x1 và x2 trên trục quỹ đạo. - Tính các góc φ1, φ2 với        thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π) - Thời gian ngắn nhất cần tìm là:  * Ví dụ điển hình : Ví dụ 1 :  Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí  đến vị trí có li độ Hướng dẫn giải : Ta có tần số góc: Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến  là  . Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí: a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A. b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí . c.  đến vị trí x = A. Hướng dẫn giải : Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có: a. b. c. NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức: Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí  hoặc và ngược lại thì  Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc  đến x = -A và ngược lại thì Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2. Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác sau:  (v1 và v2 chỉ cần xác định dấu) Phân tích: Δt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN; 0 ≤ t0 < T/4) - Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S1 = n.4A+ 2A + A - Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t0 là bằng cách sau: • Tính li độ x1 và dấu của vận tốc v1 tại thời điểm • Tính li độ x2 và dấu của vận tốc v2 tại thời điểm t2 • Nếu trong thời gian t0 mà vật không đổi chiều chuyển động (v1 và v2 cùng dấu) thì quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 là S2 = |x2 - x1| • Nếu trong thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 và v2 trái dấu) thì để tính quãng đường đi được trong thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S2. Từ đó quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2 CHÚ Ý : + Nếu Δt = T/2 thì S2 = 2A + Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox + Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn. + Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:  với S là quãng đường tính như trên. Ví dụ điển hình : Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên. Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động. Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào. Ta có : Tại t = 0 : Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương. Ta lại có Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm. Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi được trong 2,25s đầu tiên. Hướng dẫn giải: Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có :  ; (s) Quãng đường vật đi được trong 2s đầu tiên là S1 = 4A = 16cm. - Tại thời điểm t = 2s : - Tại thời điểm t = 2,25s : Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối là S2 = . Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là S = Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều). Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)  Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S1 = 4A = 16cm Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng đường đi được. Độ dài hình chiếu này là . Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S = Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2. Cách giải: NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán. Góc quét Δφ = ωΔt. • Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1) • Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2) CHÚ Ý : + Trong trường hợp Δt > T/2 Tách: Trong đó: Trong thời gian quãng đường luôn là n.2A Trong thời gian Δt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. + Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Δt:  và với Smax; Smin tính như trên. Ví dụ điển hình : Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ là T. Tìm quãng đường: a. Nhỏ nhất mà vật đi được trong . b. Lớn nhất mà vật đi được trong . c. Nhỏ nhất mà vật đi được trong . Hướng dẫn giải : a. Góc mà vật quét được là : Áp dụng công thức tính Smin ta có: b. Góc mà vật quét được là:  Áp dụng công thức tính Smax ta có:  c. Do  Quãng đường mà vật đi được trong  luôn là 2A. Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  chính là quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong . Theo câu a ta tìm được quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  là . Vậy quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong  là Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm tốc độ trung bình nhỏ nhất và tốc độ trung bình lớn nhất của vật trong . Hướng dẫn giải : Góc quét Dạng 4: Bài toán tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t một khoảng thời gian Δt. Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0. Cách giải: * Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(ωt + φ) cho x = x0 Lấy nghiệm ωt + φ = α với  ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc ωt + φ = -α ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương) * Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Δt giây là:   hoặc Ví dụ điển hình : Một vật dao động điều hòa với phương trình: a. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 4cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,25s b. Biết li độ của vật tại thời điểm t là - 6cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,125s c. Biết li độ của vật tại thời điểm t là 5cm. Xác định li độ của vật sau đó 0,3125s Hướng dẫn giải: 4. Bài tập tương tự luyện tập Bài 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Gọi M và N là hai biên của vật trong quá trình dao động. Gọi I và J tương ứng là trung điểm của OM và ON. Hãy tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn từ I tới J. Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ là A và chu kỳ T. Tìm: a) Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong . b) Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong . c) Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật đi được trong . Bài 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 =  là bao nhiêu? Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ A. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ: a) x1 = A đến x2 = A/2 b) x1 = A/2 đến x2 = 0 c) x1 = 0 đến x2 = -A/2 d) x1 = -A/2 đến x2 = -A e) x1 = A đến x2 = A f) x1 = A đến x2 = A g) x1 = A đến x2 = -A/2 Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm có chu kỳ dao động T = 0,1s. a) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có ly độ x1 = 2cm đến x2 = 4cm. b) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí x1 = -2cm đến x2 = 2cm. c) Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x =2cm. · Biên soạn Thầy Đặng Việt Hùng - BK Hà Nội Con lắc lò xo 0 comments 07/7/2010 Lý Nhỏ To 1. Cấu tạo: - Con lắc lò xo gồm một là xo có độ cứng k (N/m) có khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại gắng vào vật có khối lượng m. - Điều kiện để con lắc lò xo dao động điều hòa là bỏ qua ma sát, lực cản và vật dao động trong giới hạn đàn hồi. 2. Phương trình dao động của con lắc lò xo x = Acos (ωt + φ) (cm) Với: • x: li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. (cm) • A: Biên độ dao động hay li độ cực đại (cm) • ω : tần số góc của dao động (rad/s) • φ : pha ban đầu của dao động (t = 0) • (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t. (rad) ♦ Tần số góc: -Tần số góc của con lắc lò xo (rad/s) ♦ Chu kì: -Chu kì của con lắc ♦ Tần số: -Tần số dao động của con lắc lò xo 3. Năng lượng dao động của con lắc lò xo ♦ Động năng: ♦ Thế năng (thế năng đàn hồi của lò xo): ♦ Cơ năng: Đơn vị : k (N.m); m (kg); x (m); A (m) 4. Các dạng dao động của con lắc lò xo 4.1. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng ngang. Đặc điểm: - Tại vị trí cân bằng lò xo không bị biến dạng, . - Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo chính là lực hồi phục với 4.2. Con lắc lò xo chuyển động thẳng đứng. Đặc điểm: - Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức . Mà nên . Từ đó ta có công thức tính chu kỳ tần số dao động của con lắc lò xo trong trường hợp này: - Chiều dài tại vị trí cân bằng, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động: • Chiều dài tại VTCB:    • Chiều dài cực đại :   • Chiều dài cực tiểu : - Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo trong quá trình vật dao động (Fdh): • Phương : cùng phương chuyển động của vật. • Chiều : luôn hướng về phía vị trí cân bằng. • Độ lớn : , với   là độ biến dạng của lò xo tại vị trí đang xét (lò xo có thể bị dãn hoặc nén). Gọi x là vị trí đang xét . Chú ý : Việc chọn dấu + hay – trong công thức trên phụ thuộc vào việc lò xo bị dãn hay nén và chiều dương mà ta chọn như thế nào. • Đơn vị : Fdh (N); k(N/m); (m) Các trường hợp đặc biệt: - Lực đàn hồi cực đại : - Lực đàn hồi cực tiểu : Chú ý : Nếu đề bài cho biết tỉ số thì ta hiểu là . 4.3. Con lắc lò xo chuyển động trên mặt phẳng nghiêng góc α so với phương ngang. Đặc điểm : - Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng (giãn hoặc nén) một đoạn được cho bởi biểu thức . Mà  nên :   - Chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng cũng như chiều dài cực đại và cực tiểu tính tương tự như trường hợp vật chuyển động thẳng đứng. 5. Cắt ghép lò xo 5.1. Lò xo ghép song song: Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – vật – lò xo 2. Công thức tính : gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó k = k1 + k2 Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có:   5.2. Lò xo ghép nối tiếp: Sơ đồ ghép : Lò xo 1 – lò xo 2 – vật. Công thức tính : Gọi k là độ cứng tương đương của hệ lò xo, khi đó Nếu cùng treo một vật có khối lượng m vào lò xo 1, lò xo 2 và hệ lò xo thì ta có: 5.3. Cắt lò xo: Một lò xo có độ cứng k, chiều dài  được cắt thành các lò xo có độ cứng k1, k2, … và chiều dài tương ứng là  thì có: *Chú ý : Gắn lò xo có độ cứng k vào vật khối lượng m1 được chu kỳ T1, vào vật khối lượng m2 được T2, vào vật khối lượng (m1 + m2) được chu kỳ T3, vào vật khối lượng (m1 – m2), (m1 > m2) được chu kỳ T4. Khi đó ta có :   và  . 6. Ví dụ điển hình Ví dụ 1 : Một vật nặng có khối lượng m = 500g được treo vào đầu một lò xo theo phương thẳng đứng, độ cứng lò xo k = 0,5N/cm. Lấy g = 10m/s2. a. Lập phương trình dao động, chọn gốc thời gian là khi vật có vận tốc v=20cm/s và gia tốc b. Tính lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động. c. Tính thế năng và động năng của vật ở thời điểm t = , với T là chu kỳ dao động. Hướng dẫn giải : a. Gọi phương trình dao động của vật là .  Khi treo lò xo thẳng đứng, tại vị trí cân bằng ta có: Tần số góc: Tại t = 0 : Vậy phương trình dao động là: b. Lực đàn hồi cực đại   Do c. Chu kỳ dao động Tại t = , ta có Khi đó động năng và thế năng của vật: Ví dụ 2 : Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 20N/m và viên bi có khối lượng 0,2kg dao động điều hòa. Tại thời điểm t, vận tốc và gia tốc của viên bi lần lượt là 20cm/s và . Tính biên độ dao động. Hướng dẫn giải : Phương trình dao động của vật có dạng , trong đó ; Vậy A = 4cm. Ví dụ 3: Một quả cầu nhỏ được gắn vào đầu một lò xo có độ cứng 80N/m để tạo thành một con lắc lò xo. Con lắc thực hiện 100 dao động mất 31,4s. a. Xác định khối lượng quả cầu. b. Viết phương trình dao động của quả cầu, biết rằng khi t = 0 thì quả cầu có li độ 2cm và đang chuyển động theo chiều dương với vận tốc . Hướng dẫn giải: a. Chu kỳ dao động: b. Gọi phương trình dao động là : Tại t = 0 : Vậy phương trình dao động là: Ví dụ 4 : Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài , được treo thẳng đứng phía dưới treo một vật nặng khối lượng m. Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29cm đến 35cm. Cho g = 10m/s2. a. Tính chu kỳ dao động của con lắc. b. Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5cm và đang chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên. Hướng dẫn giải: a. Theo bài ta có chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động là:   Mà ; Độ biến dạng của lò xo tại ví trí cân bằng là :   b. Gọi phương trình dao động là : ở vị trí cân bằng lò xo dài 32cm nên khi lò xo có chiều dài 33,5cm và chiều dương hướng lên trên thì li độ của vật là Tại t = 0 : Vậy phương trình dao động là: Ví dụ 5 : Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc  so với mặt phẳng nằm ngang. Vật đang ở vị trí cân bằng O thì lò xo dãn một đoạn lấy g = 10m/s2. Kích thích cho vật dao động điều hòa nó sẽ dao động với tốc độ cực đại là 40cm/s. Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc thời gian là khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật. Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động là: Tại vị trí cân bằng ta có : Từ  Tại t = 0 :  Vậy phương trình dao động là: Ví dụ 6 : Một lò xo có chiều dài tự nhiên là , độ cứng k0 = 100N/m được cắt ra làm hai lò xo có chiều dài  , . Khi mắc hai lò xo  có chiều dài song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải : Ta có: Khi hai lò xo   mắc song song với nhau thì độ cứng của lò xo hệ là k = k1 + k2 = 450(N/m). 7. Bài tập tương tự luyện tập Bài 1 : Một vật nặng có khối lượng m = 100g, gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của lò xo treo vào một điểm cố định. Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5Hz. Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38cm và lúc dài nhất là 46cm. a) Viết phương trình dao động của vật. b) Tính độ dài  của lò xo khi không treo vật nặng. c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng +2cm Bài 2 : Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Thời gian để vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 6cm là 1,5s. Chọn gốc thời gian là lúc quả cầu cách vị trí cân bằng 3cm. a) Viết phương trình dao động của quả cầu. b) Tìm giá trị cực đại của gia tốc. c) Tìm thế năng, động năng ban đầu. Cho m = 100g. Bài 3 : Một vật dao động điều hoà với biên độ 2cm, tần số 2Hz. a) Viết phương trình li độ của vật, chọn gốc thời gian lúc vật đạt li độ cực đại. b) Tính li độ và vận tốc của vật tại thời điểm t = 2,5s. c) Tính độ dài quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 8/3s đầu. Bài 4 : Một vật có khối lượng m = 400g được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 2cm rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng. Lấy a) Tính chu kì, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật. b) Viết phương trình dao đông, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên. Bài 5 : Một quả cầu có khối lượng 100g gắn vào đầu một lò xo, đầu còn lại của lò xo treo vào một điểm cố định. Kéo quả cầu lệch khỏi vị trí cân bằng hướng xuống dưới 10cm rồi buông nhẹ, quả cầu dao động với chu kì 2s. a) Tính vận tốc quả cầu khi đi qua vị trí cân bằng. b) Tính gia tốc của quả cầu khi nó ở trên vị trí cân bằng 5cm. c) Tính lực cực đại tác dụng vào quả cầu. d) Tính thời gian ngắn nhất để quả cầu chuyển động từ điểm dưới vị trí cân bằng 5cm đế điểm trên vị trí cân bằng 5cm. Bài 6 : Hệ quả cầu và lò xo dao động điều hoà có phương trình x = 6sin2πt (cm). Tính lực đàn hồi và lực hồi phục tác dụng lên lò xo ở các vị trí có li độ 0, +6cm và -6cm trong hai trường hợp: a) Quả cầu dao động theo phương thẳng đứng. b) Quả cầu dao động theo phương ngang. Cho khối lượng quả cầu là m = 500g và g = 10m/s2. · Biên soạn Thầy Đặng Việt Hùng - BK Hà Nội Con lắc đơn 0 comments 07/7/2010 Lý Nhỏ To 1. Cấu tạo - Gồm một sợi dây không giãn có độ dài , khối lượng không đáng kể, một đầu cố định, đầu còn lại được gắng vào một vật có khối lượng m. Con lắc dao động với biên độ góc nhỏ (α < 100). - Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0 << 100 rad hay S0 << 2. Phương trình dao động Trong quá trình dao động con lắc đơn chịu tác dụng của các lực: trọng lực P, lực căng dây T. Các lực được phân tích như hình vẽ. Áp dụng định luật II Newton ta có : Chiếu phương trình lên phương chuyển động ta được:  với a = s" Do góc α nhỏ nên ta sử dụng công thức gần đúng   Đặt: Vậy con lắc đơn dao động vơi góc lệch nhỏ là một dao động điều hòa với tần số góc (rad/s). 3. Chu kỳ và tần số của con lắc đơn Ta có: * Chú ý : Cũng tương tự như con lắc lò xo, với con lắc đơn ta cũng có hệ thức liên hệ giữa li độ, biên độ, tốc độ và tần số góc như sau: Trong đó:  là hệ thức liên hệ giữa độ dài cung và bán kính cung. 4. Tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn Khi xét đến tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn thì chúng ta xét trong trường hợp góc lệch của con lắc có thể rất lớn mà không phải là nhỏ hơn 100. Lúc này con lắc đơn dao động là dao động tuần hoàn chứ không phải là dao động điều hòa nữa. a. Tốc độ của con lắc đơn Xét tại một vị trí bất kỳ (góc lệch α), áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được: b. Lực căng dây (TL): Từ phương trình: , chiếu vào phương của T ta được quỹ đạo là hình tròn, và gia tốc a đóng vai trò là gia tốc hướng tâm . Ta được: Vậy ta có công thức tính tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn như sau: * Nhận xét: Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng (α = 0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị lớn nhất: Khi con lắc đi qua vị trí biên (α = α0) thì khi đó cả tốc độ và lực căng dây đều đạt giá trị nhỏ nhất: 5. Năng lượng của con lắc đơn 5.1 Động năng của con lắc đơn Wđ = 5.2 Thế năng của con lắc (Chọn gốc thế năng tại VTCB và con lắc có li độ góc α) 5.3 Cơ năng của con lắc W = +  = const * Chú ý : Các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng trên là những công thức tính chính xác với mọi giá trị của góc lệch α. Khi α nhỏ (α < 100) thì chúng ta có các công thức tính gần đúng giá trị của thế năng và cơ năng của con lắc như sau: Vì: Khi đó: Động năng của con lắc đơn : Wđ = Thế năng của con lắc đơn : Do  nên ta có Cơ năng của con lắc đơn : - Đơn vị tính : W, Wd, Wt (J); α, α0 (rad); m (kg); . * Ví dụ điển hình + Dạng 1:  Chu kỳ và tần số dao động của con lắc đơn Ví dụ 1:  Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s. Nếu tăng chiều dài của con lắc thêm 20,5cm thì chu kỳ dao động mới của con lắc là 2,2s. Tìm chiều dài và gia tốc trọng trường g. Hướng dẫn giải: Gọi T và T’ là chu kỳ dao động của con lắc trước và sau khi tăng chiều dài. Ta có:  0,976 m Thay vào công thức tính T ta có  9,632m/s2. Ví dụ 2 : Hai con lắc đơn có hiệu chiều dài là 14cm. Trong cùng một khoảng thời gian con lắc thứ nhất thực hiện được 15 dao động thì con lắc thứ hai thực hiện được 20 dao động. Tính chiều dài  và chu kỳ T của mỗi con lắc. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s2. Hướng dẫn giải : Ta có số dao động N và khoảng thời gian Δt mà các con lắc thực hiện được liên hệ với nhau theo phương trình: Δt = N.T Theo bài ta có : Mà: Từ đó ta có: Với: 1,13s Với 0,85s + Dạng 2: Tính tốc độ và lực căng dây của con lắc đơn Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là 100cm, kéo con lắc lệch khỏi VTCB một góc α0 với cosα0 = 0,892 rồi truyền cho nó vận tốc v = 30cm/s. Lấy g = 10m/s2. a. Tính vmax b. Vật có khối lượng m = 100g. Hãy tính lực căng dây khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α với cosα = 0,9 Hướng dẫn giải : a. Áp dụng công thức tính tốc độ của con lắc đơn ta có: b. Theo công thức tính lực căng dây treo ta có: Ví dụ 2 : Một con lắc đơn có m = 100g, dao động điều hòa với biên độ góc α0 = 300. Lấy g = 10m/s2. Tính lực căng dây cực tiểu của con lắc trong quá trình dao động. Hướng dẫn giải : Ta có công thức tính lực căng dây: Lực căng dây đạt giá trị cực tiểu khi: Khi đó: Ví dụ 3 : Một con lắc đơn có khối lượng m = 100g, chiều dài  dao động với biên độ góc . Tính động năng và tốc độ của con lắc khi nó đi qua vị trí có góc lệch , lấy g = 10m/s2. Hướng dẫn giải : Vận tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: Động năng của con lắc là: + Dạng 3: Lập phương trình dao động của con lắc đơn. * Chú ý : Khi lập phương trình dao động của con lắc đơn có hai dạng phương trình: - Phương trình dao động theo li độ dài: - Phương trình dao động theo li độ góc với  Ví dụ 1 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chu kỳ dao động T = 2s. Lấy g = 10m/s2, π2 = 10. Viết phương trình dao động của con lắc biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc α = 0,05 (rad) và vận tốc v = -15,7 (cm/s). Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là: Trong đó: Áp dụng hệ thức liên hệ ta tính được biên độ dài của con lắc đơn: Khi đó tại t = 0 ta có:  Vậy phương trình dao động của con lắc là: . Ví dụ 2 : Một con lắc đơn dao động điều hòa có chiều dài . Tại t = 0, từ vị trí cân bằng truyền cho con lắc một vận tốc ban đầu 14cm/s theo chiều dương của trục tọa độ. Lấy g = 9,8m/s2, viết phương trình dao động của con lắc. Hướng dẫn giải : Gọi phương trình dao động theo li độ dài của con lắc là: Tần số góc dao động: Vận tốc tại vị trí cân bằng là vận tốc cực đại nên ta có: Khi đó tại t = 0 ta có:  Vậy phương trình dao động của con lắc là . + Dạng 4 : Năng lượng dao động của con lắc đơn Chú ý khi làm bài tập : - Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch lớn (Dao động của con lắc khi này là dao động tuần hoàn chứ không phải dao động điều hòa) :  - Tính toán năng lượng dao động khi góc lệch nhỏ (lúc này dao động của con lắc là dao động điều hòa, thường thì trong kỳ thi Đại học sẽ là trường hợp này): - Khi đề bài cho mối quan hệ giữa động năng và thế năng (chẳng hạn cho Wd = k.Wt, với k là một hệ số tỉ lệ nào đó) thì: + Tính li độ dài (s) hay li độ góc (α) chúng ta quy hết về theo Thế năng (Wt). Cụ thể như sau:   (1) + Tương tự để tính tốc độ v thì chúng ta quy hết theo động năng (Wd) : Nhận xét : - Nhìn biểu thức thì có vẻ phức tạp nhưng thực ra trong bài toán cụ thể chúng ta thực hiện phép giản ước sẽ được biểu thức hay kết quả đẹp hơn nhiều. - Trong các đề thi để cho việc tính toán đơn giản thì ở (1) thường cho các giá trị của k là k = 1 hoặc k = 3. Ví dụ 1 : Một con lắc đơn có , dao động điều hòa tại nơi có g = 10m/s2 và góc lệch cực đại là 90. Chọn gốc thế tại vị trí cân bằng. Giá trị của vận tốc con lắc tại vị trí động năng bằng thế năng là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải : Năng lượng dao động của con lắc đơn là: Khi động năng bằng thế năng (tính vận tốc nên nhớ quy về Động năng nhé) ta có: Ví dụ 2 : Một con lắc đơn gồm một quả cầu có khối lượng 500g treo vào một sợi dây mảnh, dài 60cm. Khi con lắc đang ở vị trí cân bằng thì cung cấp