Ôn tập kiểm tra 1 tiết môn Toán 10

Bài 1: Cho các tập hợp: và Tìm Giải: Bài 2: Cho hai tập hợp . Tìm . Giải: * * * * Bài 3: Cho các tập hợp và . Tìm các tập hợp Bài 4: Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mậnh đề sau: P: “2012 chia heát cho 3” Q: “"xÎR: x2 +2x+3 > 0” Giải: P: là mệnh đề sai : “2012 không là số không chia hết cho 3 Q là mệnh đề đúng : “$xÎR: x2 +2x+3 £ 0” Bài 5: 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng 2. Cho các điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Xác định tọa độ trọng tâm G sao cho ABGC là hình bình hành. Giải: 1. VP = = = = = = VT 2. a) ta có: và và Þ Suy ra 3 điểm A, B, C không thẳng hàng là 3 đỉnh của một tam giác. b) Để ABGC là hình bình hành Þ g/s G(a; b) Þ (a – 2; b + 2) Þ Vậy G(8; 1) Bài 6: Cho 3 tập hợp: A={1,2,3,4}; B={2,4,6}; C={4,6}. Tìm A Ç (B È C) Giải: Bài 7: Cho hai tập hợp ; . Tìm ; . Giải: Bài 8: Xác định tập hợp sau và biểu diễn trên trục số. (– 7; 5] [3; 8] Giải: (– 7; 5] [3; 8] = [3; 5] [ ] 5 Bài 9: Cho hai tập hợp .Hãy xác định các tập hợp Giải: Bài 10: Cho hai tập hợp và . 1) Liệt kê các phần tử của tập hợp A và B. 2) Xác định Giải: 1) , 2) Bài 11: Cho hai tập hợp và . Tìm các tập hợp Giải: Bài 12: Cho hai tập hợp . Tìm các tập hợp và . Giải: Bài 13: Cho A = (-2; 5] B = Tìm Giải: + B = (2, +) + A B = (2, 5] + A\B = (-2, 2] Bài 14: Tìm ,. Giải: Bài 15: Cho hai tập hợp Tìm các tập hợp: Giải: I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG: 1. Hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng nhau. - Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Vectơ cùng phương với vectơ () khi và chỉ khi có số k sao cho =k - Hai vectơ bằng nhau: = , cùng hướng và = - M trùng N 2. Các qui tắc và một số tính chất +Sử dụng quy tắc ba điểm: Với ba điểm M,N,P bất kì ta có += +Sử dụng quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có: += + Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu là một vectơ đã cho thì ta có =- +Sử dụng tính chất trung điểm: . M là trung điểm đoạn thẳng AB+= . M là trung điểm đoạn thẳng AB+=2(Với O là điểm tuỳ ý) +Sử dụng tính chất trọng tâm: .G là trọng tâm của tam giác ABC++= .G là trọng tâm của tam giác ABC++=(Với O là điểm tuỳ ý) 3. Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng phương.Chứng minh ba điểm thẳng hàng. - Cho và là hai véc tơ không cùng phương. Với mọi vectơ ta có: =m+n(m,nR) - Ba điểm A,B,C thẳng hàng =k(k0). 4. Tìm quỹ tích. +||=||với O có định và không đổi thì tập hợp điểm M là đg tròn tâm O bán kính ||. +||=|| với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đường trung trực của AB. 5. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ( k1)=k. ;điểm O 6 . Bài 16: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M thỏa Ta có: Vậy M là đỉnh thứ ta của hình bình hành BACM. Bài 17: Cho tam giác ABC. Dựng các điểm I; J; K; L biết: Tương tự như bài 16 Bài 18: Cho tam giác ABC có góc A nhọn ; D và E là 2 điểm nằm ngoài tam giác sao cho ABD và ACE vuông cân tại A .M là trung điểm BC .Chứng minh AM DE . Ta có: 2= = (vì AB AD và AC AE ) = AB.AE.cos(90o +A) – AC.AD.cos(90o +A) = 0 (vì AB.AE = AC.AD) Bài 19: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Xác định điểm M sao cho: Ta có: Bài 20: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm M thỏa hệ thức: Ta có: Gọi I; J là trung điểm AD và BC Vậy M thuộc đoạn IJ sao cho MI = 2MJ Bài 21: Cho tam giác ABC. Gọi I; J là các điểm định bởi: Tính theo Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Ta có: Bài 22: Cho tam giác ABC, gọi D; I là các điểm thỏa Tính Chứng minh: I; A; D thẳng hàng Tìm tập hợp các điểm M thỏa: a)Ta có: b) Ta xác định I: Ta có: Gọi E là trung điểm BC : Ta lại có : c) I là điểm xác định bởi hệ thức : Mặt khác : (F là trung điểm BC) Do đó : Vậy tập hợp M là đường tròn tâm I bán kính R = AF. Bài 23: Cho hình bình hành ABCD, tâmO. Dựng , gọi I trung điểm AH. Chứng minh . Ta có: óóó Bài 24: Chứng minh rằng: trong tam giác ABC, các điểm trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O, trực tâm H cùng nằm trên một đường thẳng. Giải: Với mọi điểm M, ta có: Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua O, nên BHCA’ là hình bình hành. Gọi D là giao điểm HA’ và BC, ta có: Mà O là trung điểm AA’, D là trung điểm HA’ nên . Vậy O; H; G thẳng hàng. Bài 25: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC; N là điểm thuộc AB sao cho AB = 3AN. P là điểm thuộc AC sao cho 2AP = 3PC. Biểu diễn các vectơ a)Ta có: b) Ta có: Bài 26: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a, tâm O. Gọi M là trung điểm OA. Chứng minh rằng: Tính theo a N là điểm thuộc BC sao cho . Tính độ dài MN theo a. Giaỉ: M là trung điểm OA Ta có : Ta có : Bài 27; Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Kẻ HD vuông góc với AC. Gọi E là trung điểm HD. Chứng minh BD vuông góc với AE. Mà tam giác ADH đồng dạng với tam giác AHC nên AD.HC = AH.HD Vậy: Bài 28: Cho hình vuông ABCD, gọi E; F là trung điểm BC và CD. Chứng minh DE vuông góc với AF. Ta có: B A C D Bài 29: Cho hình thoi ABCD có =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính Giải Vì ABCD là hình thoi cạnh a và =600 nên AC= và BD=a. Khi đó ta có : Bài 30: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính Giải Ta có AC=BD=; Do đó (vì ) Ta có Þ ||=BD= Bài 31: Lập mệnh đề phủ định rồi xét tính đúng sai mỗi mệnh đề sau: P: “ 8+6=17 ” Q: “ ” Giải: : “6+817 ” : đúng : “” : sai Bài 32: Cho hai tập hợp và B=n là ước số của 1) Liệt kê các phần tử của B và 2) Tìm tất cả các tập con của Giải: 1) 2) có các tập con là: Bài 33: Cho . Xác định và . Giải: Bài 34: Cho định lí : “ Nếu ABCD là hình thang cân thì hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau” 1) Sử dụng khái niệm : “Điều kiện đủ” phát biểu lại định lí. 2) Lập mệnh đề đảo và chứng tỏ mệnh đề đảo sai. Giải: 1) “ABCD là hình thang cân là một điều kiện đủ để hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau”. 2) Mệnh đề đảo : “Nếu hình thang ABCD có hai cạnh bên bằng nhau thì ABCD là hình thang cân ” Mệnh đề đảo sai khi ABCD là hình bình hành. Bài 35: 1) Chứng minh bằng phản chứng định lí : “ Nếu thì trong hai số a, b có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0” 2) Cho hai phương trình (1): x2+2mx+1=0 và (2): x2+2x+2m-1=0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Giải: 1) Giả sử cả hai số a,b đều nhỏ hơn 0(trái vớigt). Vậy trong hai số a, b có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0 (Đpcm) 2) Tính các biệt thức Khi đó : Theo chứng minh trên ít nhất một trong hai số không âm Vậy: ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm. Bài 36: Cho tập hợp A = [ 4 ; 2012] ; B = (-3; 6). Tìm các tập hợp sau : 1. AB 2. A \ B AB = (- 3 ; 4 ] A \ B = [ 6 ; 2012 ] Bài 37: Cho 4 ñieåm A, B, C, D. Goïi E, F, G, H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, CD, AC, BD. Chöùng minh : Giải: Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: Baøi 38: Cho tam giaùc ABC. Veõ beân ngoaøi tam giaùc caùc hình bình haønh ABMN, BCPQ, CARS. Chöùng minh: Giải Ta có: Baøi 39: Cho tam giaùc ABC. Treân ñoaïn BC ta laáy ñieåm M sao cho 3BM = 7 CM. Chöùng minh: Ta có: Baøi 40: Cho . Treân 3 ñoaïn AB, BC, CA laàn löôït laáy 3 ñieåm M, N, P sao cho M laø trung ñieåm AB, . Treân ñoaïn AN laáy ñieåm I sao cho . a)Tính Chöùng minh 3 ñieåm M, I, P thaúng haøng. Giải: Ta có: b)Ta có: Vậy là hai vectơ cùng phương nhưng có M chung nên M, I, P thẳng hàng. Baøi 41: Cho 3 ñieåm A, B, C coá ñònh. Chöùng minh chæ coù moät ñieåm M thoûa heä thöùc: Giải: ta có: Điểm M hoàn toàn được xác định bởi các vectơ xác định. Baøi 42: Cho coá ñònh vaø ñieåm M di ñoäng. Veõ ñieåm N thoûa ñieàu kieän Chöùng minh khoâng ñoåi khi M di ñoäng. Chöùng minh ñöôøng thaúng AN luoân caét ñöôøng thaúng BC taïi moät ñieåm I Chöùng minh Giải: a) Ta có: Không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b)Ta có mà là hai vectơ không cùng phương vậy AN phải cắt BC Bài 43: Cho hai tập hợp và Tìm tất cả các tập sao cho . Giải: . . , suy ra , ,, Bài 44: Cho hình bình hành ABCD, tâmO. Dựng , gọi I trung điểm AH.Chứng minh . Giải: Bài 45: Viết tập hợp và bằng cách liệt kê các phần tử của nó. Tìm . Giải: a) Liệt kê , B = {-2; -1; 0; 1; 2} AB = , AB = {1} b) [-5 ; 3)(0 ; 7) = (0; 3) Bài 46: Cho . Hãy xác định các tập hợp , . Giải: a. b. Bài 47: A = “ Mọi số thực đều lớn hơn nghịch đảo của chính số đó” Viết lại mệnh đề trên dùng các kí hiệu Phát biểu mệnh đề phủ định của A.Xét tính đúng sai của ? Vì sao? Giải: a) A = “ b) đúng vì và . Bài 48: Cho A = Viết lại tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử của A. Cho B = Viết lại tập hợp B bằng cách nêu tính chất đặc trưng. Giải: a) Giải phương trình : A = {} b) 1 = 12 4 = 22 9 = 32 16 = 42 25 = 52 B = Bài 49: Cho A = ( -4; 5) và B = (-1; 6] Tìm Tính B \ A, phần bù của B trong . Cho C = D = Tìm CD a) b) B \ A = (5; 6] c) C = (-2; 4) D = {0} C D = (-2; 4) Bài 50: Xác định , biết , Giải: , Bài 51: Cho . Xác định các tập hợp sau: . Giải: A B ● . ● . ● . ● . Bài 52: Cho ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O và H là trực tâm. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. a/ Chứng minh BHCD là hình bình hành, suy ra . b/ Chứng minh: . c/ Trên các đoạn AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho . Chứng minh: . Giải: a/ A B C B' C' H M O D N P Þ A'B // CH Þ A'C // BH Ta có hay Và hay Từ là hình bình hành. Do O là trung điểm của AD và H là điểm bất kì . Mà BHCD là hình bình hành nên . Thay vào . b/ Ta có (đpcm). c/ (đpcm). Bài 53: Tìm tập xác định của các hàm số sau a/ . b/ . Tìm tập xác định của các hàm số sau a/ . ● Hàm số xác định khi: . ● Vậy tập xác định của hàm số là: . b/ . ● Hàm số xác định khi: . ● Vậy tập xác định của hàm số là . Bài 54: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng . Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng . ● Giả sử và . ● Xét . ● . ● Vậy hàm số đồng biến trên . C – PHẦN RIÊNG NÂNG CAO (4,0 điểm – Dành cho học sinh các lớp 10C2, 10C3, 10A) Bài 54: Tìm tập xác định của các hàm số sau a/ . b/ . ● Hàm số xác định khi: . ● Vậy tập xác định của hàm số là: . b/ . ● Hàm số xác định khi: . ● Vậy tập xác định của hàm số là: . Bài 54: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số trên khoảng . Giải Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số trên khoảng . ● Giả sử và . ● Xét . ● . ● Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . Bài 55: Cho hai tập hợp . Hãy xác định các tập hợp . Bài 56: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) b) Giải: a) Để hàm số xác định khi: Vậy tập xác định hàm số là: b) Để hàm số xác định khi: (hoặc ghi và ) (hoặc ghi và ) (hoặc ghi và ) Vậy tập xác định hàm số là: Bài 57: Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Chứng minh rằng: Cho MB=a, tính Giải: Vẽ hình a) Ta có: (vì là hai vecto đối) Vậy: b) Tính: Ta có: Nên: (vì ABCD là hình bình hành) Vậy: Bài 58: Phát biểu thành lời, lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của các mệnh đề đã cho. . . Giải: a). Với mọi số thực đều có . Mệnh đề này sai. Mệnh đề phủ định: . b). Tồn tại một số thực có giá trị tuyệt đối lớn hơn hoặc bằng không. Mệnh đề này đúng. Mệnh đề phủ định: . Bài 59: Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau: . . Giải: . Bài 60: Cho , . Hãy xác định các tập hợp , . Giải: . . . Bài 61: Xác định mỗi tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số. a). . b).. c). . d). Giải: a). . 3 5 b). . -2 5 c). . -1 1 d). . 1 4 Bài 62: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: . Bài 63: Cho , . Xác định . Bài 64: Cho , . Xác định . . . Bài 65: Tìm tập hợp X sao cho và , trong đó , . . Do và nên . Bài 66: Tìm tất cả các tập X sao cho . Với và . . . . . Bài 67: Viết tập hợp sau dưới dạng khoảng, đoạn, nửa khoảng và biểu diễn chúng trên trục số. . -3 4 Bài 68: Liệt kê các phần tử của tập hợp sau: . Bài 69: Tìm các tập A, B biết , , . . . Bài 70: Cho . Gọi . Hãy xác định a, b để . . Vậy Mệnh đề- Tập hợp A. Mệnh đề Các khẳng định sau khẳng định nào là mệnh đề? a) A: “3 là số nguyên tố” là mệnh đề b) B: “1234 chia hết cho 9” là mệnh đề c) C: “” không là mệnh đề (nó là mệnh đề chứa biến) d) D: “ ” không là mệnh đề (nó là mệnh đề chứa biến) Tìm các giá trị của x để các phát biểu sau là mệnh đề đúng ? Tìm 1 giá trị của x để chúng là mệnh đề sai? Lưu ý: Cách giải những bài loại này: Ta đi giải pt, khi đó nghiệm của pt là giá trị làm cho nó thành mệnh đề đúng, các giá trị khác làm cho nó trở thành một mệnh đề sai. a) A: “” Ta có vậy thì A là mệnh đề đúng. b) B: “” Ta có vậy hoặc thì B là mệnh đề đúng. c) C: “” Ta có vậy thì C là mệnh đề đúng. d) D: “” Ta có vậy hoặc thì D là một mệnh đề đúng Viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau a)A: “là một số vô tỉ” : “không phải là một số vô tỉ” b)B: “” :“” c)C: “12345 chia hết cho 5 và chia hết cho 3” : “12345 không chia hết cho 5 hoặc không chia hết cho 3” d)D: “có tận cùng là số 1 hoặc số 9” : “không có tận cùng là số 1 và số 9” e)E: “ 2+3=5” : “ ” f) F: “” : “” g)G: “” : “” h)H: “” : “” k)K: “ có nghiệm” : “ vô nghiệm” Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau f) F: “” “Mọi số lớn hơn số đối của nó” g)G: “” “Có một số nguyên lớn hơn 999 và chia hết cho 3” h)H: “” “Mọi số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó” k)K: “ ” “Có một số tự nhiên bằng ba lần nó” Phát biểu dưới dạng điều kiện cần các mệnh đề sau a) Trong mặt phẳng nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau. “Trong mặt phẳng, hai đường thẳng ấy song song với nhau là điều kiện cần để chúng là hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc đường thẳng thứ ba “. b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau. “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau” c) Nếu tứ giácABCD là hình bình hành thì AB// CD. “AB//CD là điều kiện cần để tứ giác ABCD là hình bình hành” d) Nếu ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD thì hai cạnh bên AD = BC. “AD = BC là điều kiện cần để ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD” Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề bài 5. a) “Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng là hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3” “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chúng bằng nhau” c)“Nếu AB//CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành” “Nếu ABCD có hai cạnh bên AD=BC thì nó là hình thang cân có hai đáy là AB và CD” Phát biểu dưới dạng điều kiện đủ các mệnh đề bài số 5. a) “Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng ấy song song với nhau”. b)“Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để chúng có diện tích bằng nhau” c) “Tứ giácABCD là hình bình hành là điều kiện đủ để AB// CD”. d) “ABCD là hình thang cân có hai đáy là AB và CD là điều kiện đủ để hai cạnh bên AD = BC”. Phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ các mệnh đề sau a) A: “Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức ”. A: “Phương trình bậc hai có nghiệm là điều kiện cần và đủ để biệt thức ”. b) B: “Hai vectơ bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài”. B: “Hai vectơ bằng nhau là điều kiện cần và đủ chúng cùng hướng và cùng độ dài”. Chứng minh với Ta chứng minh bằng hai cách trực tiếp và gián tiếp C1:( Trực tiếp) n chia hết cho ước nguyên dương khác 1 của 3. Vì 3 là số nguyên tố nên 3 chỉ có 1 ước nguyên dương khác 1 là 3. Hay nói cách khác C2: (Gián tiếp) Ta giả sử khi đó không chia hết cho 3, điều này trái với giả thiết bài toán là . Kết luận: Vậy với B. Tập hợp Liệt kê các phần tử của các tập hợp a) là ước nguyên dương của 12 b) c) d) Viết các tập sau dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng Cho . ; ; ; Cho ; . Chứng minh : a) vì ta có và b) vì ta có và Cho ; ;. Ta có a) b) Cho . Hãy xác định a, b sao cho và Để thì ta cần có Xác định và biểu diễn kết quả trên trục số a) ; ; b) ; . c) d) Một trường học có 1500 học sinh trong đó có 860 em biết bơi, 985 em biết chơi bóng bàn và có 68 em vừa không biết bơi vừa không biết chơi bóng bàn. Hỏi có bao nhiêu em vừa biết bơi vừa biết chơi bóng bàn? Giải: Gọi A là tập hợp các học sinh biết bơi. Gọi B là tập hợp các học sinh biết chơi bóng bàn. Theo giả thiết bài toán ta có học sinh biết ít nhất một môn (bơi hoặc bóng bàn). Nghĩa là có 1432 phần tử. - Có học sinh chỉ biết chơi bóng bàn không biết bơi A B - Có học sinh chỉ biết bơi không biết chơi bóng bàn - Suy ra có học sinh biết cả hai (Đây cũng là số phần tử của tập hợp ) Cho ba tập hợp A, B, C chứng minh rằng: a) Nếu thì . Ta cần chứng minh Ta có (đpcm) b) Nếu và thì . Ta cần chứng minh Ta có (đpcm) c) Nếu thì A = B. Ta cần chứng minh Ta có Vậy (đpcm) d) Ta cần chứng minh Ta có (đpcm) Bài tập về các phép toán trên tập hợp Chứng minh: Giải: 1. Giả sử: giả sử: Từ (1) và (2) 2. * giả sử: 3. * Giả sử: 4. * Giả sử: