Ôn tâp Toán 7 - Trường THCS An Tiến - Mỹ Đức - Hà Nội

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. Nêu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, hai tam giác vuông? Vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận cho từng trường hợp? Nêu định nghĩa, tính chất của tam giác cân, tam giác đều? Nêu định lý Pytago thuận và đảo, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận của cả hai định lý? Nêu định lý về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận cho từng mối quan hệ. Nêu định lý về bất đẳng thức trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất 3 đường trung tuyến trong tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất đường phân giác của một góc, tính chất 3 đường phân giác của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. Nêu tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất 3 đường trung trực của tam giác, vẽ hình, ghi giả thuyết, kết luận. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau: C1: Chứng minh hai tam giác bằng nhau. C2: Sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau .v. v. Chứng minh tam giác cân: C1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. C2: Chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác đó C3:Chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v. Chứng minh tam giác đều: C1: Chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau. C2: Chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600. Chứng minh tam giác vuông: C1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông. C2: Dùng định lý Pytago đảo. C3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”... Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy: C1: Chứng minh góc xOz bằng góc yOz. C2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy. Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v. v. . . (dựa vào các định lý tương ứng). C. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Bài 1 : Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng? Chứng minh: = Bài 2: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh : ABM = ACM Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh IBM cân. Bài 3 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : AB // HK AKI cân = AIC = AKC Bài 4 : Cho ABC cân tại A ( Â < 90o ), vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh : ABD = ACE Chứng minh AED cân Chứng minh AH là đường trung trực của ED Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh = Bài 5 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : HB = CK = HK // DE AHE = AKD Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI DE. Bài 6: Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ; trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh: MA = MB OM là đường trung trực của AB. Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH? Bài 7: Cho tam giác ABC có B = 900, vẽ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh: a) ABM = ECM b) AC > CE. c) = d) BE //AC e) EC BC Bài 8 : Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 5 cm; kẻ AH ^ BC ( H Î BC) Chứng minh BH = HC và BAH = CAH Tính độ dài BH biết AH = 4 cm. Kẻ HD ^ AB ( d Î AB), kẻ EH ^ AC (E Î AC). Tam giác ADE là tam giác gì? Vì sao? Bài 9 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh: a) ADE cân b) ABD = ACE Bài 10 : Góc ngoài của tam giác bằng: a) Tổng hai góc trong. b) Tổng hai góc trong không kề với nó. c) Tổng 3 góc trong của tam giác. Bài 11 : Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh: a) BE = CD. b) BMD = CME c) AM là tia phân giác của góc BAC. Bài 12 :Cho ∆ ABC có AB <AC.Phân giác AD.Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB a/ Chứng minh : BD = DE b/ Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AB và ED . Chứng minh ∆ DBK = ∆ DEC . c/ ∆ AKC là tam giác gì ? Chứng minh d/ Chứng minh DE KC . Bài 13 : Cho ∆ ABC có = 90° . Đường trung trực của AB cắt AB tại E và BC tại F a/ Chứng minh FA = FB b/ Từ F vẽ FH AC ( HAC ) Chứng minh FHEF c/ Chứng minh FH = AE d/ Chứng minh EH = ; EH // BC Bài 14: Cho tam giác ABC (AB < AC) có AM là phân giác của góc A.(M thuộc BC).Trên AC lấy D sao cho AD = AB. a. Chứng minh: BM = MD b. Gọi K là giao điểm của AB và DM .Chứng minh: DDAK = DBAC c. Chứng minh : DAKC cân d. So sánh : BM và CM. Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ DK vuông góc với AC. a)Chứng minh : ; b)Chứng minh : AD là phân giác của góc HAC c) Chứng minh : AK = AH. d) Chứng minh : AB + AC < BC +AH Bài 16: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 5 cm , BC = 8 cm . Kẻ AH vuông góc với BC (H € BC) a) Chứng minh : HB = HC và = b)Tính độ dài AH ? c)Kẻ HD vuông góc AB ( D€AB), kẻ HE vuông góc với AC(E€AC). Chứng minh : DE//BC Bài 17: Cho tam giác MNP vuông tại M, biết MN = 6cm và NP = 10cm . Tính độ dài cạnh MP Bài 18: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, phân giác AD. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại H, đường thẳng này cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng : a) Tam giác ABC cân b) Vẽ đường thẳng BK//EF, cắt AC tại K. Chứng minh rằng : KF = CF c) AE = Bài 19: Cho tam giác DEF vuông tại D, phân giác EB . Kẻ BI vuông góc với EF tại I . Gọi H là giao điểm của ED và IB .Chứng minh: a) Tam giác EDB = Tam giác EIB b) HB = BF c) DB<BF d) Gọi K là trung điểm của HF. Chứng minh 3 điểm E, B, K thẳng hàng Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác của góc B cắt AC tại H . Kẻ HE vuông góc với BC ( E € BC) . Đường thẳng EH và BA cắt nhau tại I . Chứng minh rẳng : ΔABH = ΔEBH Chứng minh BH là trung trực của AE So sánh HA và HC Chứng minh BH vuông góc với IC . Có nhận xét gì về tam giác IBC. Bài 21: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác của góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống hai cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy). a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. Chứng minh BC ⊥ Ox. c) Khi góc xOy bằng 600, chứng minh OA = 2OD. Bài 22: Cho tam giác ABC có \ = 900 , AB = 8cm, AC = 6cm . a. Tính BC . b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE= 2cm;trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AB. Chứng minh ∆BEC = ∆DEC . c. Chứng minh DE đi qua trung điểm cạnh BC . Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD = AH . Gọi E là trung điểm của HC, F là giao điểm của DE và AC. a/ Chứng minh rằng HF cát CD tại trung điểm của CD. b/ Chứng minh HF = 1/3 CD. c/ Gọi I là trung điểm AH. Chứng minh EI vuông góc với AB. d/ Chứng minh BI vuông góc với AE. Bài 24: Cho tam giác ABC nhọn. Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của BC. Trên tia HI lấy điểm K sao cho HI = IK. Chứng minh: a/ AH = CK. b/ Tam giác AHE bằng tam giác CKE. c/ Tam giác EHK là tam giác đều. Bài 25: Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, vẽ đường cao AH. a. Chứng minh HB > HC b. So sánh góc BAH và góc CAH. c. Vẽ M, N sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HM, HN. Chứng minh tam giác MAN là tam giác cân. Bài 26: Cho ∆ ABC vuông tại A có BD là phân giác, kẻ DE ⊥ BC ( E∈BC ). Gọi F là giao điểm của AB và DE. Chứng minh rằng: a) BD là trung trực của AE b) DF = DC c) AD < DC; d) AE // FC. Bài 27 : Cho ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH AC. Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh : AB // HK AKI cân . AIC = AKC Bài 28: Cho ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh : ABM = ACM Từ M vẽ MH AB và MK AC. Chứng minh BH = CK Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH tại I. Chứng minh IBM cân. Bài 29 : Cho ABC nhọn cân tại A , vẽ BD AC và CE AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh : ABD = ACE Chứng minh AED cân Chứng minh AH là đường trung trực của ED Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB. Chứng minh . Bài 30 : Cho ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC. Chứng minh : a/. HB = CK b/. rAHB = rAKC c/. HK // DE d/. AHE = AKD e/. Gọi I là giao điểm của DK và EH. Chứng minh AI DE. Bài 31 : Cho DABC vuông tại A biết AB = 3cm ; AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC. Trên tia đối của tia Ac lấy điểm D sao cho AD = AB. DABD là tam giác gì ? Lấy trên tia đối của tia AB điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh : DE = BC. Bài 32 : Tam giác có độ dài ba cạnh là 24cm ; 18cm ; 30cm có phải là tam giác vuông không ? So sánh ba góc của tam giác trên. Bài 33 : Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ phân giác BD của góc ABC, kẻ phân giác CE của góc ACB. a) Chứng minh : BD = CE. b) Kẻ DH vuông góc BC ; kẻ EK vuông góc BC. Chứng minh : b1. DH // EK b2. DH = EK Bài 34 : Cho tam giác ABC có góc A = 800 , góc B = 400. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi D là một điểm trên đường thẳng AH. a) So sánh AB và AC. b) So sánh DB và DC. Bài 35 : Cho tam giác ABC vuông tại A có và BC = 15cm. Tính độ dài các cạnh AB, AC. Bài 36: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC, AB. a. Chứng minh BM=CN và b. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh tam giác IBC cân? c. Chứng minh AI là phân giác của góc A? d. Chứng minh AI vuông góc với BC? Bài 37: Cho DABC vuông tại A, các phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E lần lợt là hình chiếu vuông góc của I trên AB, AC. a) Chứng minh AD = AE b) Chứng minh BD + CE = BC c) Cho AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính AD, AE. Bài 38: Cho DABC vuông tại A,(AB < AC) , kẻ AH ^ BC, phân giác của góc HAC cắt BC tại D. a) Chứng minh DABD cân tại B b) Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AC tại E. Chứng minh DE ^ AC c) Cho AB = 15 cm, AH = 12 cm. Tính AD. d) Chứng minh AD > HE.. Bài 39: Cho DABC cân tại A . Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và điểm N trên tia đối của tia CB sao cho BM = CN Chứng minh: Góc ABM = góc CAN b. Chứng minh: DAMN cân So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = AM. Chứng minh rằng nếu MB = BC = CN thì tia AB đi qua trung điểm đoạn thẳng IN . Bài 40: Tam giác ABC có góc B = 900 , góc C = 600, tia phân giác của BCA cắt AB ở E, vẽ ED ^AC (D Î AC), AI ^ CE, I thuộc tia CE a) Chứng minh: CB = CD, CE ^ BD b) Tam giác AEC là tam giác gì? c) Chứng minh EA > BC d) Gọi K là giao điểm của AI và CB. Chứng minh ba điểm K, E, D thẳng hàng. Bài 41: Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 90o ), tia phân giác của góc B cắt AC ở E, từ E kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC) chứng minh rằng: a/. D ABE bằng D HBE. b/. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c/. EC > AE. Bài 42: Cho tam giác ABC vuông ở C, có = 600. Tia phân giác của góc cắt BC ở E. Kẻ EK vuông góc với AB (KAB) . Kẻ BD vuông góc với tia AE (Dtia AE). Chứng minh rằng: a) . b) AE là trung trực của CK. c) KA = KB. d) EB AC. Bài 43: Cho tam giác ABC vuông tại A; đường phân giác BE. Kẻ EH ^ BC (HÎBC). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng: a/. DABE = DHBE. b/. BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH. c/. EK = EC. d/. AE < EC. Bài 44: Cho ABC cân tại A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=6cm. a.Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng? c.Chứng minh: . Bài 45: Cho ABC cân tại A, góc A nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng tỏ BFC bằng CEB. Chứng tỏ AEF cân. Chứng tỏ AH là tia phân giác của góc EAF. Chứng minh EF // BC Bài 46: Cho ABC có = 900, = 600. Lấy E trên BC sao cho EC = AC. Chứng minh ACE đều Chứng minh BE = AE Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại F. Chứng minh F là trung điểm AB Gọi I là trung điểm BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. Chứng minh CH ^ AE