Ôn thi vào lớp 10 chủ đề Hình học

ôn thi vào lớp 10 chủ đề hình học Bài1. Cho (O,R) và đường thẳng d cố định không cắt (O).Điểm M di chuyên trên đường thẳng d. Từ M kẻ các tiếp tuyến MD,MC tới đường tròn. kẻ OA vuông góc với đương thẳng d. OA cắt CD tại B, OM cắt CD tại N. a, CM: tứ giác MNBA nội tiếp. b, CM: OA.OB = OM.ON và OB.OA = R2 c, CMR: khi M di chuyển trên d thì CD luôn đi qua một điểm cố định Lời Giải a. Ta có: = 900(gt) =900 (gt) Suy ra + = 1800 do đó tứ giác ABNM nội tiếp. b. OBN ∽ OMA (g-g) suy ra OA.OB =OM.ON Mặt khác ta cũng OC2 = OM.ON( Hệ thức lượng trong tam giác vuông) mà OC=R nên OB.OA=R2 c. Theo câu b ta có OB.OA =R2 suy ra OB =, mà R, OA không đổi nên OB không đổi, O lại cố định nên B cố định.do đó khi M di chuyển trên d thì CD thay đổi luôn đi qua một điểm cố định. Bài2. Cho ba điểm A,B,C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. I là điểm cố định nằm giữa O và B, dây cung EF của đường tròn O luôn đi qua I. Kẻ đường thẳng d vuông góc với AC tại C,AE cắt đường thẳng d tại P, AF cắt d tại Q. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp APQ tại M a, CM: tứ giác PEFQ nội tiếp b, CM: ∽ c, CM: AB.AC = AI.AM d, CMR: Tâm đường tròn ngoại tiếp APQ nằm trên một đường thẳng cố định khi EF thay đổi. LờI GIảI a. Tứ giác BCPE có + =1800 nên tứ giác BCPE nội tiếp, suy ra = Ta lại có. = ( cùng chắn cung AE) suy ra = do đó tứ giác EPQF nội tiếp. b. Ta có = vì cùng bằng = lại có chung nên ∽ c.ta có ∽ AI.AM =AQ.AF ta lại có AB.AC = AQ.AF( ∽ (gg)) suy ra AB.AC = AI.AM. d. ta có AB.AC = AI.AM suy ra AM= mà các đoạn thẳng AB, AC, AI không đổi nên AM không đổi, A lại cố định nên M cố định.AM là dây cung cố định của đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ nên tâm của đường tròn này phải thuộc đường trung trực của AM không đổi. Bài3. Cho cân tại A (Â<900) có đường cao BD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, BM, BD. Tia NI cắt AC tại K. Chứng minh rằng a, ABMD, ABNK nội tiếp b, BC.CN = AC.CK c, BC2 = AC.CK lời giải Ta có.=900(tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến) ta cũng có =900(gt) = cùng nhìn AB do đó ABMD nội tiếp. ta có: NI là đường trung bình của tam giác BDM nên NI//MD = mà = (tứ giác ABMD nội tiếp) = suy ra tứ giác ABNK nội tiếp b. Xét và có chung =(tứ giác ABNK nội tiếp) Do đó ∽ BC.CN = AC.CK c. theo câu b ta có CN.CB =CK.CB mà BN =BC nên BC2 =AC.CK BàI4. Cho nữa đường tròn tâm O,đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm AvàB (H không trùng với O). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt đường tròn trên tại C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ H đến AC và BC. a) Tứ giác HDCE là hình gì? vì sao? b) Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp. c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB.Chứng minh DE = 2KO. lời giải a. Tứ giác CDEF có == =900 nên tứ giác CDEF là hình chử nhật. b. Ta có: = (tính chất hcn) =(cùng phụ với ) = do đó tứ giác ADEB nội tiếp c.cách1 Kẻ đường kính BM của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB ta có: MAAB MA=2KO.(1) MEBC, HEBCH, E, M thẳng hàng xét tứ giác ACHM có AM//CH(cùng vuông góc AB) MH//AC(cùng vuông góc BC) Do đó tứ giác ACHM là hình bình hành AM=CH (2) Từ (1) và(2) CH=2KO mà CH=DE (CDHE là hcn) DE = 2KO Cách2 Gọi giao của DE và CH là N. nối K với N, C với O ta có NKDE(1) Ta cũng có:=(tam giác BCO cân tại O) =(tứ giác ADEB nội tiếp) Mà + = 900 + =900 CODE (2) Từ (1) và (2)tứ giác COKN là hình bình hành KO=NC mà DE=CH=2CN DE = 2KO. Bài5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB =2R cố định.Đường kính CD thay đổi không trùng với AB.Tiếp tuyến tại B của đường tròn , cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F. a) Chứng minh rằng: BE.BF = 4R2 b) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE.Chứng minh rằng tâm I luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định Lời giải a. Ta có: =900(góc nt chắn nửa đt) xét tam giác AEF vuông tại A có AB là đường cao suy ra BE.BF = AB2Mà AB =2R nên BE.BF =4R2 .ta có: =(tam giác AOC cân tại O) =(cùng phụ) Suy ra = Do đó tứ giác CEFD nội tiếp c. ngoài 2 cách ở bài 4 ta còn có 2 cách sau. cách1. Kẻ các đường trung trực của CE và DF cắt EF lần lượt tại P và Q dễ dàng cm được P, Q là trung điểm của BE và BF, tam giác IQP vuông tại I. Ta có AEF ∽ IQP(gg) theo tỉ số đồng dạng =2.do đó tỉ số đường cao: =2 KI=R. Do AB cố định nên đường thẳng EF vuông góc với AB cũng cố định. Khoảng cách từ tâm I đến đt EF không đổi nên tâm I luôn nằm trên đt song song với EF khác phía A đối với EF và cách EF một khoảng bằng R. Cách2. Gọi giao của AB và đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD lần lượt là N và M. Ta có: AM.AN =AD.AF (tứ giác DNMF nội tiếp) mà AD.AF =4R2 AM.AN =4R2 (R-NO)(R+OM) =4R2 OM - ON =4R. (1) Ta cũng có:ON.OM =OD.OC (do 4 điểm N, M, C, D cùng thuộc một đường tròn) ON.OM = R2 (2) Từ (1)và(2) ta có hệ M, N cố định dây MN cố định.vì M và N thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên tâm I của đường tròn này luôn nằm trên trung trực của MN cố định bài6. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB =2R,M là điểm nằm trên nữa đường tròn đó sao cho cung AM lớn hơn cung BM (M khác B). Đường thẳng d là tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn (O;R). Kẻ AD, BC vuông góc với d (D, C thuộc đường thẳng d). a. Chứng minh M là trung điểm của CD. b. Chứng minh AD.BC = CM2. c. Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB. d. Kẻ MH vuông góc đường thẳng AB( H đt AB). Hãy xác định vị trí của M để diện tích tam giác DHC bằng diện tích tam giác AMB. Lời giải a. Ta có = = 900 nên tứ giác ABCD la hình thang vuông ta cũng có OMDC MO là đường trung bình của ABCD mà O là trung điểm của AB M là trung điểm của DC b. xét tam giác ADM và tam giác MCB có: = = (cùng phụ) do đó DAMCMB(gg) AD.BC=CM2 c. theo câu b ta suy ra: = mà=( =sđ) = ADM = AHM DM = MH AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD d.Dễ cm được ABM ∽ DCH do đó ta có MH == Cách xác định M: M là giao của đường tròn tâm O và đường thẳng song song với AB cách AM một khoảng Bài7.Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M. Trên cung nhỏ AM lấy điểm E (E khác A; M). kéo dài BE cắt AC tại F. a. Chứng minh = , từ đó suy ra MEFC là một tứ giác nội tiếp. b. Gọi K là giao điểm của ME và AC. Chứng minh AK2 = KE.KM c. Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB.Chứng minh rằng giao điểm của các đường phân giác của và thuộc đoạn thẳng AB. Lời giải a.Ta có:=(=sđ) =(cùng phụ) = mà + =1800 + =1800 Tứ giác MEFC nội tiếp. b.xét tam giác KAM và tam giác KEA có: chung. =(=sđ) Do đó KAM∽KEA(gg) AK2 =KE.KM c.trường hợp 1.nếu điểm E ở vị trí sao cho ME//AB khi đó tứ giác ABME là hình thang cân Nên BM=AE mà AE+BM =AB=OA+OB BM=AE=OA=OB do đó giao điểm các đường phân giác của các góc AEM và BME nằm trên đoạn AB. Trường hợp2. E ở vị trí sao cho AE không song song với AB. giả sử BM>AE (1) Lấy N trên AB sao cho AE = AN BN =BM = 900- (2) kẻ phân giác góc BME cắt AB tại I ta có: ==900- (3) Từ (1),(2)và (3) do đó I nằm giữa N và B Ta có: = 900- (4) Từ (3)và(4) tứ giác MENI nội tiếp. = Và= (5) Ta lại có: =+ =+= = (6) Từ (5) và(6)= vậy EI là phân giác của (đpcm) Bài8. Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, đường kính BC quay quanh O sao cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai là I. Đường thẳng AB, AC lại cắt (O;R) lần lượt tại D, E với D khác B, C khác E. Nối DE cắt đường thẳng OA tại K. a. Chứng minh rằng: OI.OA = OB.OC b. Chứng minh tứ giác CIKE nội tiếp và AI.AK = AE.AC c. Tính độ dài các đoạn thẳng OI và AK theo R d. Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định và tâm của đường tròn đó cũng thuộc một đường thẳng cố định khi BC quay quanh O. lời giải a.Xét COI và AOB có = (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) = (góc đối đỉnh) Do đó COI ∽AOB(gg) OI.OA = OB.0C b. Ta có =(góc nội tiếp cùng chắn cung AC) = (cùng phụ ) = Tứ giác CEKI nội tiếp. AKE∽ACI(gg) Vì có chung, = (cmt) AK.AI = AE.AC c. Theo câu a ta có: OI.OA = OB.OC OI = = Theo câu b ta cũng có:AI.AK=AE.AC AK= Mà AI =OI +OA= AE.AC = AT2=OA2 - OT2 =3R2 Do đó AK = d. gọi F là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và AB; M, N làn lượt là giao của đường tròn O với AB. Ta có: DK.KE = AK.FK (do tứ giác ADFE nội tiếp ) DK.KE = KN.KM (do tứ giác DMEN nội tiếp) AK.FK =KN.KM Mà KN =AK - AN = - R = ; KM = NM - KN =. FK = =. AF = mà A cố định nên F cố định. Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua điểm cố định F. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE vì F thuộc đường tròn này nên JA=JF do AF cố định nên J nằm trên một đường thẳng cố định(đó là đường trung trực của AF) Bài9. Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây AB cố định không đi qua tâm O. Lấy C là điểm bất kỳ trên cung lớn AB sao cho có 3 góc nhọn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đường thẳng OM cắt CB tại E. a, Chứng minh: b, Gọi K là điểm đối xứng với M qua trung điểm I của OB, H là hình chiếu vuông góc của N lên AC. Chứng minh K, H, N thẳng hàng. c, Tính độ dài dây cung BC, biết R=4cm, d, Tìm vị trí của C để tích CA.CB có giá trị lớn nhất(đề thi vào lớp chọn DC3) lời giải a, Tứ giác MONB có do đó tứ giác MONB nội tiếp. (góc nội tiếp cùng chắn cung MB) lại có chung ∽(gg) b, Ta có MN//AC(MN là đường trung bình của ) và NHAC vuông tại M có I là trung điểm của BO vuông tại N có I là trung điểm của BO mà IM=IK IM=IK=IN vuông tại N hay Từ (1)và (2) H, N, K thẳng hàng c, Ta có =600BC=R=4cm d, Ta có Do AB không đổi, không đổi nên AC.BC lớn nhất khi CF lớn nhất. Ta có CFMP(P là điểm chính giữa của cung lớn AB) do đó CF lớn nhất =MP khi và chỉ khi CP Vậy C là điểm chính giữa của cung lớn AB thì tích AC.BC lớn nhất.