Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

PHEÙP DÔØI HÌNH VAØ PHEÙP ÑOÀNG DAÏNG TRONG MAËT PHAÚNG Vấn đề 1 : Dùng biểu thức tọa độ để tìm ảnh I. Phương pháp : 1. Pheùp tònh tieán : M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 2. Pheùp ñoái xöùng truïc ÑOx: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: ÑOy: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 3. Pheùp ñoái xöùng taâm Cho I(a; b). ÑI: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: Ñaëc bieät: ÑO: M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 4. Pheùp quay Q(O,900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: Q(O,–900): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: 5. Pheùp vò töï Cho I(a; b). V(I,k): M(x; y) M¢(x¢; y¢). Khi ñoù: Chuù yù: Neáu pheùp dôøi hình (pheùp ñoàng daïng) bieán DABC thaønh DA¢B¢C¢ thì noù cuõng bieán troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa DABC töông öùng thaønh troïng taâm, tröïc taâm, taâm caùc ñöôøng troøn noäi tieáp, ngoaïi tieáp cuûa DA¢B¢C¢. II. Bài tập : Bài 1 : Trong mặt phẳng Oxy cho M(2; 1). Tìm ảnh M’ của M qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(-5; 3) d. Quay tâm O 1 góc 900, -900. e. Vị tự tâm B(1; -2) tỉ số k = -2 Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : 2x – 3y +5 = 0. Tìm ảnh d’ của d qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(3; 2) d. Quay tâm O 1 góc 900, -900. e. Vị tự tâm B(-1; 2) tỉ số k = Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng. Tìm ảnh (C’) của (C) qua phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ b. Đối xứng trục Ox, Oy c. Đối xứng tâm A(-4; 2) d. Quay tâm O 1 góc 900, -900. e. Vị tự tâm B(2;-3) tỉ số k = 3 Bài 4 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; -2), đường thẳng d : x – 3y +5 = 0 và đường tròn (C) : ( x – 2 )2 + ( y + 3) = 4. Tìm ảnh M’ của M, d’ của d, (C’) của (C) qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp qua phép vị tự tâm B(-1; 3) tỉ số k = -3 và phép : a. Tịnh tiến theo véc tơ b. Đối xứng trục Ox c. Đối xứng tâm A(4; 2) d. Quay tâm O 1 góc 900, Bài 5 : Một số bài toán ngược a. Cho ñöôøng thaúng d: x + 2y – 1 = 0 vaø vectô = (2; m). Tìm m ñeå pheùp tònh tieán bieán d thaønh chính noù. b. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm phép đối xứng trục biến (C) thành (C’). Viết phương trình trục đối xứng. c. Cho 2 đường thẳng d : x + 3y – 4 = 0 và d’ : 2x – y + 3 = 0. Tìm phép đối xứng trục biế d thành d’ d. Phép đối xứng tâm I biến d : x – y – 2 =0 thành d’ : x – y + 3 = 0, : 2x + y – 1 = 0 thành : 2x + y + 4 = 0. Tìm tâm I Vấn đề 2 : Bài toán vẽ hình - dựng hình e. Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 1)2 = 4 và (C’) : x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự Bài 1 : Cho hình vuông ABCD tâm O . a. Dựng ảnh của ABCD qua phép tịnh tiến theo véc tơ AO . b. Dựng ảnh của qua phép đối xứng trục CD c. Dựng ảnh của qua phép đối xứng A Bài 2 : Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng trục AG, G là trọng tâm tam giác ABC. Bài 3 : Dựng ảnh của Ngũ giác đều ABCDE qua phép đối xứng tâm I là trung điểm cạnh AB. Bài 4 : Dựng ảnh của Tam giác AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết hình vuông ABCD tâm O có M là trung điểm AB, N là trung điểm OA. Bài 5 : Dựng ảnh của Hình lục giác đều ABCDEF qua phép vị tự tâm I là trung điểm BC, tỉ số Bài 6 : Dựng ảnh của Đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số -2 cho trước. Bài 7 : Dựng ảnh của Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; 2R). Tìm các phép vị tự biến (O; R) thành (O’; 2R). Vấn đề 2 : Bài toán vẽ hình - dựng hình Bài 1 : Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Tìm quỷ tích trực tâm H bằng phép : a. Phép tịnh tiến b. Phép đối xứng trục c. phép đối xứng tâm DH : a. Veõ ñöôøng kính BB¢. Xeùt pheùp tònh tieán theo . Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O¢) aûnh cuûa (O) qua pheùp tònh tieán ñoù. b. Goïi H¢ laø giao ñieåm thöù hai cuûa ñöôøng thaúng AH vôùi (O). Xeùt pheùp ñoái xöùng truïc BC. Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O¢) aûnh cuûa (O) qua pheùp ÑBC. c. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC. ÑI(H¢) = H Þ Quó tích ñieåm H laø ñöôøng troøn (O¢) aûnh cuûa (O) qua pheùp ÑI. Bài 2 : Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng kính AB coá ñònh vaø ñöôøng kính CD thay ñoåi. Tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn (O) taïi B caét AC taïi E, AD taïi F. Tìm taäp hôïp tröïc taâm caùc tam giaùc CEF vaø DEF. HD : Goïi H laø tröïc taâm DCEF, K laø tröïc taâm DDEF. Xeùt pheùp tònh tieán theo vectô . Taäp hôïp caùc ñieåm H vaøK laø ñöôøng troøn (O¢) aûnh cuûa (O) qua pheùp tònh tieán ñoù (tröø hai ñieåm A vaø A' vôùi ). Bài 3 : Cho goùc nhoïn xOy vaø moät ñieåm A thuoäc mieàn trong goùc naøy. Tìm ñieåm B Î Ox, C Î Oy sao cho chu vi DABC laø beù nhaát. HD: Xeùt caùc pheùp ñoái xöùng truïc: ÑOx(A) = A1; ÑOy(A) = A2. B, C laø caùc giao ñieåm cuûa A1A2 vôùi caùc caïnh Ox, Oy. Bài 4 : Cho ñöôøng troøn (O, R) vaø moät daây coá ñònh AB = R. Ñieåm M chaïy treân cung lôùn thoaû maõn DMAB coù caùc goùc ñeàu nhoïn, coù H laø tröïc taâm. AH vaø BH caét (O) theo thöù töï taïi A¢ vaø B¢. A¢B caét AB¢ taïi N. a) Chöùng minh A¢B¢ cuõng laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn (O, R). b) Töù giaùc AMBN laø hình bình haønh. c) HN coù ñoä daøi khoâng ñoåi khi M chaïy nhö treân. d) HN caét A¢B¢ taïi I. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm I khi M chaïy nhö treân. HD: a) = 1v b) AM //A¢N, BM // AN c) HN = B¢A¢ = 2R d) Goïi J laø trung ñieåm AB. ÑJ(M) = N, ÑJ(O) = O¢. = 1v Þ Taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn ñöôøng kính OO¢. Bài 5 : Cho DABC. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ñoù caùc tam giaùc BAE vaø CAF vuoâng caân taïi A. Goïi I, M, J theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa EB, BC, CF. Chöùng minh DIMJ vuoâng caân. HD: Xeùt pheùp quay Q(A,900). Bài 6 : Cho 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng theo thöù töï. Laáy caùc ñoaïn thaúng AB, BC laøm caïnh, döïng caùc tam giaùc ñeàu ABE vaø BCF naèm cuøng veà moät phía so vôùi ñöôøng thaúng AB. Goïi M, N laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn thaúng AF, CE. Chöùng minh DBMN ñeàu. HD: Xeùt pheùp quay Q(B,600). Bài 7 : Cho ñöôøng troøn (O, R) vaø ñöôøng thaúng d khoâng coù ñieåm chung vôùi ñöôøng troøn. Töø moät ñieåm M baát kì treân d, keû caùc tieáp tuyeán MP, MQ vôùi ñöôøng troøn (O). a) Chöùng minh PQ luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. b) Tìm taäp hôïp trung ñieåm K cuûa PQ, taâm O¢ cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DMPQ, tröïc taâm H cuûa DMPQ. HD: a) Keû OI ^ d, OI caét PQ taïi N. Þ N coá ñònh. b) Taäp hôïp caùc ñieåm K laø ñöôøng troøn (O1) ñöôøng kính NO. Taäp hôïp caùc ñieåm O¢ ñöôøng trung tröïc ñoaïn OI. Taäp hôïp caùc ñieåm H laø ñöôøng troøn (O2) = V(O,2). OÂN TAÄP CHÖÔNG I Cho hình bình haønh ABCD coù CD coá ñònh, ñöôøng cheùo AC = a khoâng ñoåi. Chöùng minh raèng khi A di ñoäng thì ñieåm B di ñoäng treân moät ñöôøng troøn xaùc ñònh. Cho 2 ñieåm A, B coá ñònh thuoäc ñöôøng troøn (C) cho tröôùc. M laø moät ñieåm di ñoäng treân (C) nhöng khoâng truøng vôùi A vaø B. Döïng hình bình haønh AMBN. Chöùng minh raèng taäp hôïp caùc ñieåm N laø moät ñöôøng troøn. Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Moät ñieåm C chaïy treân nöûa ñöôøng troøn ñoù. Döïng veà phía ngoaøi tam giaùc ABC hình vuoâng CBEF. Chöùng minh ñieåm E chaïy treân moät nöûa ñöôøng troøn coá ñònh. Cho hình vuoâng ABCD coù taâm I. Treân tia BC laáy ñieåm E sao cho BE = AI. a) Xaùc ñònh moät pheùp dôøi hình bieán A thaønh B, I thaønh E. b) Döïng aûnh cuûa hình vuoâng ABCD qua pheùp dôøi hình aáy. Cho hai ñöôøng troøn (O; R) vaø (O¢; R¢). Xaùc ñònh caùc taâm vò töï cuûa hai ñöôøng troøn neáu R¢ = 2R vaø OO¢ = R. Cho ñöôøng troøn (O, R), ñöôøng kính AB. Moät ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi AB taïi moät ñieåm C ôû ngoaøi ñöôøng troøn. Moät ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn. AM caét d taïi D, CM caét (O) taïi N, BD caét (O) taïi E. a) Chöùng minh AM.AD khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M. b) Töù giaùc CDNE laø hình gì? c) Tìm taäp hôïp troïng taâm G cuûa DMAC. HD: a) AM.AD = AB.AC (khoâng ñoåi) b) NE // CD Þ CDNE laø hình thang. c) Goïi I laø trung ñieåm AC. Keû GK // MO. Taäp hôïp caùc ñieåm G laø ñöôøng troøn (K, ) aûnh cuûa ñöôøng troøn (O, R) qua pheùp . Cho hình vuoâng ABCD vaø ñieåm M treân caïnh AB. Ñöôøng thaúng qua C vuoâng goùc vôùi CM, caét AB vaø AD taïi E vaø F. CM caét AD taïi N. Chöùng minh raèng: a) CM + CN = EF b) HD: Xeùt pheùp quay Q(C,900). Cho = (–2; 1), caùc ñöôøng thaúng d: 2x – 3y + 3 = 0, d1: 2x – 3y – 5 = 0. a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d¢ = (d). b) Tìm toaï ñoä vectô vuoâng goùc vôùi phöông cuûa d sao cho d1 = (d). Cho ñöôøng troøn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm (C¢) = (C) vôùi = (–2; 5). Cho M(3; –5), ñöôøng thaúng d: 3x + 2y – 6 = 0 vaø ñöôøng troøn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. a) Tìm aûnh cuûa M, d, (C) qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox. b) Tìm aûnh cuûa d vaø (C) qua pheùp ñoái xöùng taâm M. Tìm ñieåm M treân ñöôøng thaúng d: x – y + 1 = 0 sao cho MA + MB laø ngaén nhaát vôùi A(0; –2), B(1; –1). Vieát phöông trình ñöôøng troøn laø aûnh cuûa ñöôøng troøn taâm A(–2; 3) baùn kính 4 qua pheùp ñoái xöùng taâm, bieát: a) Taâm ñoái xöùng laø goác toaï ñoä O b) Taâm ñoái xöùng laø ñieåm I(–4; 2) Cho ñöôøng thaúng d: x + y – 2 = 0. Vieát phöông trình cuûa ñöôøng thaúng d¢ laø aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp quay taâm O goùc quay a, vôùi: a) a = 900 b) a = 400. Cho = (3; 1) vaø ñöôøng thaúng d: y = 2x. Tìm aûnh cuûa d qua pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp quay taâm O goùc 900 vaø pheùp tònh tieán theo vectô . Cho ñöôøng thaúng d: y = . Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d¢ laø aûnh cuûa d qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = vaø pheùp quay taâm O goùc 450. Cho ñöôøng troøn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4. Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C¢) laø aûnh cuûa (C) qua pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k = – 2 vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc Oy. Xeùt pheùp bieán hình F bieán moãi ñieåm M(x; y) thaønh ñieåm M¢(–2x + 3; 2y – 1). Chöùng minh F laø moät pheùp ñoàng daïng.