Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11

Phương pháp giải phương trình lượng giác lớp 11 Dang1: Phương trinh lượng giác cơ bản Phương trình sinx = m Nếu >1 thì phương trình vô nghiệm Nếu chọn được góc sao cho sin = m. Khi đó X = +k2 ; x= - + k2 X= (-1)k + k2 Hay Với K Đặc biệt: sin x= 0 x= k Sin x = 1 Sin x= -1 Phương trình cos x = m -Nếu phương trình vô nghiệm - Nếu chọn góc sao cho cos = m. Khi đó Đặc biệt: Cosx= 0 Cosx = 1 Cosx =-1 *) Chú ý. Cosx= - cos cosx = cos( Phương trình tan x = m X=+ Chọn góc sao cho tan = m thì Phương trình luôn có nghiệm với mọi m Phương trình cot x = m X= + Nếu là góc sao cho cot= m thì Ví dụ về các dạng toán Có hai phương pháp chung nhất để đưa một phương trình lượng giác nào đó về phương trình lượng giác cơ bản: Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số. Đưa phương trình đã cho về dạng tích các phương trình lượng giác cơ bản : Ta sẽ lần lượt nêu các ví dụ minh họa cho từng phương pháp 1.1 Phương trình đưa được về phương trình đại số nhờ công thức cơ bản Bài toán 4.1. (Đại học bách khoa Hà Nội - 1996). Giải phương trình Lời giải: Ta áp dụng hằng đẳng thức: Ta có: Bởi vậy phương trình đã cho có dạng: Bài toán 4.2. Giải phương trình. Lời giải: Thay bởi 1- sin2x ta được 8(1- sin2x) + 6 sinx -3 = 0 8 sin2x- 6 sinx – 5 =0 Hay 8t2 – 6t -5 = 0 với t = sinx Phương trình có nghiệm (loại) sin x == sin x = , phương trình vô nghiệm do sin x vậy nghiệm của phương trình là: Bài 4.3: Tìm nghiệm trong khoảng từ (0;) của phương trình Lời giải: Thay bởi ta được Hay 3t2-4t+1 =0 với t= cot2x= t với t>0 Suy ra t=1 và t= cot2x= 1 suy ra cotx=1 suy ra x= cot2x = suy ra cotx = suy ra x= bằng cách biểu diễn các họ nghiệm (1) và (2) trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm trong khoảng từ (0,) là; Bài 4.4 (Đại học bách khoa 1994).Giải phương trình Lời giải: Cosx khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình. (1) Đặt u = cos 2x thay vào phương trình (1) và rút gọn ta được. 2u2+ 3u +1= 0 cos 2x =-1 (loại) cos 2x =-= cos Đáp số : Bài toán 4.5. ( Học viện kĩ thuật quân sự - 1997) Giải phương trình. Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với Do cos x = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta có thể chia cả hai vế cho cos3x ≠ 0 Phương trình đưa về dạng tích các phương trình cơ bản Bài toán 4.6.( Đề thi đại học – 1980). Giải phương trình Lời giải: Khi đó phương trình đã cho tương đương với: Từ (1) và (2) ta có x= Bài toán 4.7.Giải phương trình Lời giải: Do Nên phương trình đã cho tương đương với Vậy nghiệm của phương trình cho là; Bài toán. 4.8 (Đại học mở chất – 1997).Giải phương trình. Lời giải. Điều kiện sinx . Khi đó phương trình đã cho tương đương với. Do nên Do sinx nên Bởi vậy hệ trên vô nghiệm Bài toán: 4.9.(Đại học ngoại thương - 1996) .Giải phương trình Lời giải: Biến đổi vế trái thành tích ta có: Phương trình này có nhiều cách giải,chẳng hạn thay. Hoặc sử dụng công thức Hoặc có thể giải như sau; Hoặc dùng công thức hạ bậc ta có; Đáp số: Bài 4.10.(Đề thi đại học - 1986). Giải phương trình Lời giải. Trước hết ta xét điều kiện mẫu số khác không. Khi đó phương trình đã cho tưng đương với. Do điều kiện ta chỉ lấy giá trị của x,ứng với m=2k, Đáp số: Bài tập thực hành. Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình đại số Bài 1. Bài 2. Bài 3. Giải các phương trình sau bằng cách đừa về phương trình tích Bài 4. (Đại học quốc gia khối B - 1997) Bài 5.(Đại học sư phạm - 1991) Bài 6. Bài 7. (Đại học bách khoa- 1993) Bài 8. Bài 9. (Đại học luật - 1996) Một số dạng phương trình thường gặp ở mục trước chúng ta đã xét một số ví dụ minh họa cho hai phương pháp chung nhất đẻ một giải phương trình lượng giác;một là đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số, hai là đưa về dạng tích các phuong trình lượng giác cơ bản. Những chỉ dẫn tổng quát về các phương pháp đó là không có, mà tuy theo từng bài cụ thể đẻ đưa ra những biến đổi thích hợp. Tuy nhiên chúng ta có thể nêu ra một số phương trình thường gặp và những kĩ năng cơ bản để áp dụng cho những dạng đó 1. Phương trình dạng ( ) Cách giải 1:Đồng thời đưa sinx và cosx về .Khi đó ta được một phương trình bậc hai đối vói t=.Cách này thường sử dụng trong một số bài toán biện luận Cách giải 2: Đưa asinx +bcosx về sin hoặc cosin của góc phụ. Cụ thể chia cả hai vế của phương trình cho Tiếp đó đặt ta được Cũng có thể đặt khi đó ta được Cách giải 3. Nếu ,chia cả hai vế cho a rồi đặt ta được Bài toán 5.1 . Giải phương trình Lời giải: Cách 1: chỉa cả hai vế cho 2 Cách 2; Thay vào phương trình ta được Bài toán 5.2 : (Đại học kinh tế quốc dân - 1997).Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện Lời giải: Chia cả hai vế cho 2 ta được Để lấy nghiệm trong khoảng ta xét. Đáp số: Nhận xét: do phép biến đổi đã nêu nên phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Bài toán:5.3 với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2.Phương trình dạng Cách giải 1. Xét trường hợp cosx =0 bằng cách thay trực tiếp vào phương trình. Với trường hợp cosx ta chia cả hai vế cho cos2x và ta thu được phương trình bậc hai đối với t= tan2x lưu ý rằng: Cách giải 2. Dùng công thức hạ bậc Và công thức 2.sinx.cosx= sin2x để đưa phương trình đã cho về dạng Bài toán:5.4. Giải phương trình lời giải: Cách 1:khi cosx =0 thì sin2x=1, do đó cosx=0 không thỏa mãn phương trình Với cosx ta chia cả hai vế cho  : Do tổng các hệ số bằng không nên phương trình đã cho có hai nghiệm Tuy nhiên phương trình phải qua một số phép biến đổi lượng giác mới có thể lấy được nghiệm. Bây giờ ta xét cách giải thứ hai ; Cách 2 : Biến đổi tương đương phương trình đã cho như sau ; Phương trình giải được nhờ công thức cộng cung và các hệ quả của chúng (công thức nhân đôi,công thức hạ bậc…) Bài toán 5.5. Giải phương trình sau. Lời giải : Theo công thức hạ bậc ta có : Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : Bài toán : 5.6. (Đại học nông nghiệp – 1996 ).Giải phương trình Lời giải : Ta có Bởi vậy phương trình đã cho có dạng Với điều kiện cos2x ta có Do cos2x nên k= 2n+1. Vậy Phương trình giải được nhờ sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng Bài toán: 5.7 . Tìm nghiệm trong khoảng của phương trình sau. Lời giải: Điều kiện cos2x. Theo công thức biến đổi tổng thành tích ta có. Với 00, do đó Để lấy nghiệm trong khoảng ta xét Từ đó ta thấy k= 0 ,k = 1 và Với ta có sinx<0, do đó Xét điều kiện : ta được k = 2 và k = 3. Do đó Vậy nghiệm của phương trình trong khoảng là ; Bài toán : 5.8 Giải phương trình Lời giải : Khi đó phuingw trình đã cho tương đương với. Do Đáp số : Chú ý :qua một số ví dụ vừa xét ta thấy rằng khi giải phương trình cần phải đặt điều kiện và cần phải kiểm tra lại các điều kiện này đối với các giá trị tìm được đẻ loại bớt nghiệm ngoại lai (nếu có). Phương trình giải được nhờ đưa vào hàm số lượng giác của các góc phụ. Bài toán. 5.9 Giải phương trình Lời giải : Biến đổi phương trình như sau Từ đó suy ra các nghiệm Bài 5.10 (Đại học quốc gia – Khối A – 1997 ). Giải phương trình Lời giải: Ta biến đổi phương trình như sau: Chia cả hai vế cho Vô nghiệm vì sinx Vậy nghiệm của phương trình là x= Phương trình có chứa và Nếu phương trình có chứa các số hạng dạng và thì luôn đặt làm ẩn phụ Bài toán.5.11. Giải phương trình Lời giải: Đặt t= sinx- cosx = khi đó và Bởi phương trình có dạng. Do đó 1- sin2x = 1 Nhận xét : Nếu không sử dụng các biến đổi như trên ta sẽ giải các phương trình và việc lấy nghiệm sẽ dài dòng hơn nhiều Bài toán : 5.12 .Giải phương trình Lời giải : Lưu ý rằng ; phương trình đã cho được viết dưới dạng. đặt ta được Do đó phương trình vô nghiệm Đáp số : Bài 5.12 .Giải phương trình Lời giải : Đặt khi đó Cos2x,sin2x= và Bởi phương trình đã cho có dạng Cả hai giá trị này đều bị loại do Đáp số : 7.Phương pháp đánh giá từng vế Bài toán :5.14. ( Đại học kiến trúc – 1997).Giải phương trình sau. Lời giải : Phương trình đưa được về dạng. Ta cần tìm các số nguyên k và m thỏa mãn hệ trên Phương trình nay vô nghiệm do vế trái lẻ còn vế phải chẫn Vậy phương trình đã cho là vô nghiệm Bài tập thực hành 5