Phương pháp luyện tập Hình học không gian 12

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h với Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: V=Bh với 3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có: 4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: với II/ Bài tập: LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: Ta có vuông cân tại A nên AB = AC = a ABC A'B'C' là lăng trụ đứng Vậy V = B.h = SABC .AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. Lời giải: ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 ABCD là hình vuông Suy ra B = SABCD = Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải: Gọi I là trung điểm BC .Ta có ABC đều nên . Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. Giải Theo đề bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm và chiều cao hộp h = 12 cm Vậy thể tích hộp là V = SABCD.h = 4800cm3 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp . Lời giải: Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và SABCD = 2SABD = Theo đề bài BD' = AC = Vậy V = SABCD.DD' = 2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Ta có là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ. Lời giải: . Ta có: nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o V =B.h = SABC.AA' là nửa tam giác đều nên Vậy V = Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . Giải: Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD . Vậy góc [BD';(ABCD)] = Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp. Giải đều cạnh a vuông tạiB Vậy 3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Ta có Vậy SABC = Vậy V = SABC.AA' = Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Giải: đều mà AA' nên A'I(đl 3). Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o Giả sử BI = x .Ta có A’A = AI.tan 300 = Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 Do đó VABC.A’B’C’ = 8 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Gọi O là tâm của ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = = 60o Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 vuông nên CC' = OC.tan60o = Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật. Ta có AA' AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) . Vậy góc[A'C,(ABCD)] = BC AB BC A'B (đl 3) . Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = AC = AA'.cot30o = AB = AA'.cot60o = Vậy V = AB.BC.AA' = 4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là và hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải: Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC) Vậy SABC = .Vậy V = SABC.C'H = Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 . 1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích lăng trụ . Lời giải: 1) Ta có là hình chiếu của AA' trên (ABC) Vậy Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ) tại trung điểm H của BC nên (đl 3 ) mà AA'//BB' nên .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật. 2) đều nên Vậy V = SABC.A'O = Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = AD =.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1. Lời giải: Kẻ A’H ,HM (đl 3) Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 = AN = Mà HM = x.cot 450 = x Nghĩa là x = Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp . Lời giải: Ta có Do đó Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. 1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 2)Tính thể tích hình chóp . Lời giải: 1) mà ( đl 3 ). Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có là hình chiếu của SB trên (ABC). Vậy góc[SB,(ABC)] = . vuông cân nên BA = BC = SABC = Vậy Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp . Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM BCSABC (đl3) . Vậy góc[(SBC);(ABC)] = . Ta có V = Vậy V = Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o. 1) Tính thể tích hình chóp SABCD. 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: 1)Ta có và ( đl 3 ).(1) Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o . vuông nên SA = AD.tan60o = Vậy 2) Ta dựng AH ,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD). Vậy AH = 2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB. đều mà Vậy H là chân đường cao của khối chóp. Ta có tam giác SAB đều nên SA = suy ra Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD. Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC) (BCD) AH . Ta có AHHDAH = AD.tan60o = & HD = AD.cot60o = BC = 2HD = suy ra V = Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC. Tính thể tích khối chóp SABC. Lời giải: a) Kẽ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết Ta có: nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC. b) HI = HJ = SH =VSABC= 3) Dạng 3 : Khối chóp đều Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC . Lời giải: Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC Vậy O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có tam giác ABC đều nên AO = .Vậy Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều. 2) Tính thể tích khối chóp SABCD. Lời giải: Dựng SO (ABCD) Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn gnoại tiếp nên ABCD là hình vuông . Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S Vậy Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD. b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC. Lời giải: a) Gọi O là tâm của , b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH Vậy Bài tập tương tự: Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o. 1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC . Đs: SH = 2) Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp SABC. Đs: Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. Đs: 2) Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. Đs: Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp . Đs: Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o. Tính thề tích hình chóp. Đs: Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng . Đs: AB = 3a 4) Dạng 4 : Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC , 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC. 2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng () qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN Lời giải: a)Ta có: và + Vậy: b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm,ta có : // BC MN// BC Vậy: Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Chứng minh Tính thể tích khối tứ diện CDEF. Lời giải: a)Tính : b)Tacó: Ta có: c) Tính :Ta có: Mà , chia cho Tương tự: Từ(*) .Vậy Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó. Lời giải: Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM). + Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . Suy ra VABMN.ABCD = Do đó : Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Hảy xác định mp(AEMF) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi . Ta có (AEMF) //BD EF // BD b) với + có : Vậy : c) Phân chia chóp tứ giác ta có = VSAMF + VSAME =2VSAMF = 2VSACD = 2 VSABC Xét khối chóp S.AMF và S.ACD  Ta có : có trọng tâm I, EF // BD nên: Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Chứng minh Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: a) Ta có: b) Ta có & Suy ra: nên AB'SC .Tương tự AD'SC. Vậy SC (AB'D') c) Tính +Tính : Ta có: vuông cân nên Ta có: Từ + 5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng và M là trung điểm của SB. 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 2) Tính thể tích của khối chóp MBCD. . Lời giải: a)Ta có + + b) Kẻ Ta có: , Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp. Lời giải: Hạ SH, kẽ HEAB, HFBC, HJAC suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có nên HE =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ) Ta có SABC = với p = Nên SABC = Mặt khác SABC = p.r Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 = Vậy VSABC = . Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ Tính thể tích khối OBB’C’. Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có : * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: b) M là trung điểm BC c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. Lời giải: Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích. Khối CB’D’C’ có +Khối lập phương có thể tích: Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE. Lời giải: a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’. +Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên +Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên + Vậy :