Rèn luyện kĩ năng nhận biết dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên

céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam §éc lËp - Tù do - H¹nh phĩc s¸ng kiÕn kinh nghiƯm RÈN LUYỆN KỸ NĂNG NHẬN BIẾT DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO MỘT SỐ TỰ NHIÊN - TOÁN 6 BẬC THCS -------- – & — -------- A. ĐẶT VẤN ĐỀ. I. LÝ do chän ®Ị tµi - Số học là một môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn. Thế giới những con số cũng thật gần gũi nhưng cũng đầy bí ẩn. - Ở trường THCS phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6 nhưng nó xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp - Toán học ngày một phát triển không ngừng, trong đó một bộ môn toán được mệnh danh là “Bà chúa của toán học” đó là môn Số học - môn học mà chỉ được gọi tên chính thức ở lớp 6, nhưng kiến thức cơ bản của nó thì xuyên suốt quá trình học toán ở bậc phổ thông. - Đối với học sinh THCS, Số học là một mảng khó trong chương trình toán THCS. Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học chính là ở chỗ: lúc đầu giải bài tập mới - học sinh thấy có sự đứt quãng giữa cụ thể của những điều kiện bài toán và sự phụ thuộc toán học trừu tượng diễn ra trong những điều kiện đó hoặc học sinh chØ thu nhận kiến thức về cách giải một bài tập cụ thể nào đó nhưng kỹ năng chung về việc giải toán khác thì yếu. Trong đó ý muốn cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán phải là d¹y cho học sinh tự giải những bài tập tương đối míi, những bài học ®ßi hỏi sự tìm tòi sáng tạo trong các cách giải. - Việc học môn toán ( với mức độ SGK) không ®ßi hỏi học sinh phải có trí thông minh đặc biệt nào. Tuy nhiên không thể suy rằng mọi học sinh đều học tập dễ dàng như nhau, có học sinh tiếp thu tri thức toán học rất nhanh chóng và sâu sắc mà không cần sự cố gắng đặc biệt trong khi đó một số em khác có cố gắng nhiều nhưng không đạt được kết quả như vậy. - Nhiệm vụ của giáo viên dạy toán là tìm hiểu, nghiên cứu những mặt mạnh và khắc phục mặt yếu, có như vậy mới giúp được tất cả học sinh phát triển và làm cho mọi học sinh nắm được những kiến thức cơ bản, đồng thời góp phần phát hiện, đào tạo nhân tài ngay từ những năm đầu ở bậc THCS. - Trong quá trình học tập môn toán, nhiều khi ta cần biết một số có chia hết hay không chia hết cho một số nào đó mà không cần thực hiện phép chia. Muốn vậy ta cần biết các dấu hiện chia hết cho một số tự nhiên. Ở chương trình Toán tiểu học, việc thực hiện “Rút gọn phân số” dựa trên tính chất cơ bản của phân số là: “Cùng chia tử số và mẫu số cho cùng một số tự nhiên khác không” việc xác định số tự nhiên này cũng được tiến hành trên cơ sở dấu hiệu chia hết mà không dùng tới khái niệm ước chung hoặc ước chung lớn nhất. - Với những lý do trên tôi đã áp dụng một số biện pháp rèn luyện kỹ năng cho học sinh lớp 6 nhận biết nhanh dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên nhằm giúp học sinh thuận lợi khi vận dụng làm một số bài tập có liên quan. II.®èi t­ỵng nghiªn cøu : §èi t­ỵng häc sinh líp 6 ë bËc trung häc c¬ së. III.ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu : Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu b¶n th©n t«i ®· vËn dơng ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu ®· häc nh­: Ph­¬ng ph¸p ®ỉi míi “LÊy häc sinh lµm trung t©m”, ®ã lµ ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch tỉng hỵp, ®¸nh gi¸. HƯ thèng ho¸ tµi liƯu, ®èi chiÕu, nghiªn cøu thªm nhiỊu c¸c tµi liƯu cã liªn quan ®Ĩ chän läc nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n, träng t©m, lµm t­ liƯu míi, chÝnh x¸c nhÊt, häc hái thªm nh÷ng kinh nghiƯm cđa nh÷ng ng­êi ®i tr­íc ®Ĩ lµm kinh nghiƯm cho b¶n th©n. IV.kÕt cÊu s¸ng kiÕn kinh nghiƯm : KÕt cÊu gåm bèn phÇn : * PhÇn ®Ỉt vÊn ®Ị * Gi¶i quyÕt vÊn ®Ị * KÕt qu¶ nghiªn cøu * Bµi häc kinh nghiƯm B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. B1). BIỆN PHÁP THỰC HIỆN. Trong chương trình Toán ở tiểu học, học sinh đã được học các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 3 và cho 9 theo 2 nhóm số. - Nhóm số được xét xem chữ số tận cùng của các số tự nhiên: “chia hết cho 2, cho 5”. - Nhóm số được xem tổng các chữ số của số tự nhiên: “ chia hết cho 3, cho 9”. I). PHƯƠNG PHÁP. Trong chương trình giảng dạy về phần này của sách lớp 6 cải cách, tôi đã khắc sâu lại các kiến thức trong bài học dựa vào tính chất “chia hết của một tổng” nên học sinh đã nắm được các dấu hiệu chia hết một cách chặt chẽ hơn và cung cấp thêm một số dấu hiệu chia hết dựa trên kiến thức chia theo 2 nhóm số. 1). Những số được xét chữ số tận cùng của các số tự nhiên. Số tự nhiên A bất kỳ có thể viết được dưới dạng: A = = Thì: * A 2 2 * A 5 5 Ta có thể mở rộng thêm cho học sinh: * A 4 4 * A 25 25 * A 8 8 * A 125 125 2). Nhóm số được xét xem tổng các chữ số của số tự nhiên. A = Vậy: * A 9 9 * A 3 3 Giáo viên cung cấp và mở rộng thêm cho học sinh: Nếu n là số chẵn thì: A11 () - () 11 NÕu n là số lẻ thì: A 11 () - () 11 Lưu ý: Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3 nhưng số chia hết cho 3 thì có thể chưa hết cho 9. Ví dụ: * Xét số 3291 + Số 3291 có tổng các chữ số là 3 + 2 + 9 + 1 = 15 và 15 3 nhưng 15 9 số này chia hết cho 3 nhưng không thể chia hết cho 9. * Xét số 4653 + Số 4653 có tổng các chữ số là 4 + 6 + 5 + 3 = 18 và 18 3; 18 9 nên số này chia hết cho cả 3 và 9. 3). Kết hợp với các dấu hiệu chia hết. Cách 1: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5. - Những số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho cả 5 và 2. Ví dụ: Các số 80; 100; 370; 190; …….. Các số này chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là số 0 Cách 2: Dấu hiệu chia hết cho 6. Những số chia hết cho 2 và 3 thì đều chia hết cho 6. Ví dụ: * Xét số 390 Ta có : 390 2 vì có chữ số tận cùng là 0 390 3 vì có 3 + 9 + 0 = 12 3. Vậy 390 chia hết cho cả 2 và 2 nên chia hết cho 6. II). HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÁP DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT ĐỂ LÀM BÀI TẬP. 1). Loại bài tập điền chữ số thích hợp vào dấu * để được các số chia hết. Ví dụ: Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 2 Hướng dẫn học sinh: Số = 540 + * Để chia hết cho 2 thì * Vậy các số tìm được là: 540; 542; 546; 548. Ví dụ: Điền chữ số vào dấu * để được số thoả mãn: a). Chia hết cho 2. b). Chia hết cho 5 Hướng dẫn học sinh: a). Số có chữ số tận cùng là 5 => số 2 Vậy ta không tìm được * để chia hết cho 2. b). Số = + 5 có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số đều chia hết cho 5. Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985. Ví dụ 3: Điền chữ số vào dấu * để chia hết cho 9. Hướng dẫn học sinh. Ta có chia hết cho 9 thì ( 3 + * + 2 ) phải chia hết cho 9 ( 3 + * + 2 ) = ( 5 + * ) 9 Vậy * = 4 Ta có số cần tìm là 342 Ví dụ 4: Điền chữ số vào dấu * để chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 ( trong một số có nhiều dấu * các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các số giống nhau). Hướng dẫn học sinh. Vì chia hết cho 2 và 5 nên có * tận cùng là 0, ta có số Mặt khác ta có chia hết cho 3 và 9 nên ( * + 8 + 1 + 0 ) 9 (* + 9 ) 9 Vây * = 9 ( Vì là * đầu tiên của một số nên không thể bằng 0 ) Nên ta được số : 9810 2). Dạng bài tập tìm một số có thể chia hết cho nhiỊu số tự nhiên: Ví dụ 1: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 sao cho được một số míi chia hết cho 2, cho 3, và cho 5. Hướng dẫn học sinh. - Một số chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng ( chữ số hàng đơn vị ) bằng 0. - Vậy ta cần tìm chữ số hàng chục. - Gọi chữ số hàng chục là x; ta có số cần tìm . Tổng các chữ số của nó là: ( 2+ 8 + 3 + x + 0 ) = 13 + x = 12 + 1 + x Vì 12 3 nên muốn số đó chia hết cho 3 thì ( 1 + x ) 3 Vậy : * ( 1 + x ) = 3 => x = 2 * ( 1 + x ) = 6 => x = 5 * ( 1 + x ) = 9 => x = 8 Vậy số cần tìm là: 28320; 28350; 28380. Ví dụ 2: Tìm số có 4 chữ số chia hết cho 3 và 5 biết rằng khi đọc xuôi hay đọc ngược, số đó đều không thay đổi giá trị. Hướng dẫn học sinh. - Số đó chia hết cho 5 mà khi đọc ngược lại giá trị vẫn không thay đổi nên chữ số hàng nghìn và chữ số hàng đơn vị phải bằng 5, còn các chữ số hàng trăm và hàng chục phải giống nhau. - Vậy số đó có dạng . - Để số 3 thì: ( 5 + x + x + 5 ) 3 ( 10 + 2x ) 3 Do đó a Vậy ta có số phải tìm là: 5115; 5445; 5775. Giáo viên: đối với những bài toán như thế này ta có thể phát triển bài toán theo nhiều cách khác nhau( ví dụ thay 5 bằng 2) 3). Dạng bài tập dựa vào dấu hiệu nhận biết để phân tích một số ra thừa số nguyên tố một cách nhanh chóng. Ví dụ: Phân tích số 450 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết số đó chia hết cho các ước nguyên tố nào. Hướng dẫn học sinh. Vì số 450 có tận cùng là 0 nên 450 chia hết cho cả 2 và 5 ta viết. 450 = 45.10 = 45.2.5 vì 45 3 do ( 4 + 5 ) chia hết cho 3 nên ta viết 450 = 15.3.2.5 vì 15 3 nên ta viết 450 = 3.3.5.2.5 Cách làm nhanh như sau: 450 = 45.10 = 3.15.2.5 = 3.3.5.2.5 = 2.32.52 vậy số 450 chia hết cho các ước nguyen tố là: 2, 3, 5 4). Dạng bài tập không cần thực hiện phép tính hãy xét xem một tổng đại số có chia hết cho số nào đó không? Ví dụ: Cho tổng A = 270 + 3105 + 150. Không thực hiện phép tính hãy xem xét tổng A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không? Tại sao? Hướng dẫn học sinh: (GV ta dựa vào dấu chia hết và tính chất chia hết của 1 tổng) Ta có A = 270 + 3105 + 150 Vì: Và: Mặt khác: Và: Vậy số A Không chia hết cho 2, không chia hết cho 9 và A chia hết cho 3 và chia hết cho 5. Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi m, n N ta có: a). 105m + 30n 5 b). 261m + 3204n 9 Hướng dẫn học sinh: a). Ta có: b). Ta có: 5. Loại bài tập nhận biết phân số tối giản và rút gọn phân số. Ví dụ: Trong các phân số sau: a). Phân số nào là phân số tối giản? b). hãy rút gọn những phân số không phải là phân số tối giản? Hướng dẫn học sinh. a). Các Phân số tối giản là: (Học sinh dễ dàng nhận biết được các phân số tối giản vì cả tử số và mẫu số của mỗi phân số tối giản đó không chia hết được cho cùng một số tự nhiên nào khác 1) b). Rút gọn các phân số còn lại: Ta có: * ( chia cả tử số và mẫu số cho 6 vì: 6 ƯCLN(12;18)). * ( chia cả tử số và mẫu số cho 5 vì: 5 ƯCLN(10;15)). *(chia cả tử số và mẫu số cho 25 vì: 25 ƯCLN(75;100)). 6). Loại bài tập tổng hợp. Giải các bài toán chia hết: (Dành cho học sinh khá giỏi) Có thể vận dụng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố, số nguyên tố cùng nhau hoặc xét đến các dấu hiệu chia hết cho 2, cho3, cho 5, cho 9, cho 11, … Ví dụ: Chứng minh rằng với n N thì số: A = n ( n + 1 ) ( 2n + 1 ) 6 Hướng dẫn học sinh. Nếu n = 3k ( kN ) thì A 3 Nếu n = 3k + 1 ( kN) thì 2n + 1 = (6k + 3 ) 3 Nếu n = 3k + 2 ( kN) thì n + 1 = (3k + 3 ) 3 Ngoài ra tích n ( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên n ( n + 1 ) 2 => A 2 Vì : Nên A 2.3 hay A 6 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n N thì: A = ( 10n +18n –1 ) 27 Hướng dẫn học sinh. Ta có: A = ( 10n +18n – 1 ) = 10n – 1 +18n = = Vậy A 9 Mà: Vì = Ta có: có tổng các chữ số là n => Vậy: Vì A 9 và nên A 9.3 hay A 27 Vậy : A = ( 10n +18n –1 ) 27 B2). BIỆN PHÁP PHỐI HỢP. Sử dụng một số trò chơi giúp học sinh rèn luyện kỹ năng như sau: Trò chơi: “ Tìm nhanh số chia hết”. Ví dụ: Cho số : 21780; 325; 1980; 176. Hãy cho biết các số trên chia hết cho những số nào trong các số sau ( 2; 3; 5; 9 )? Hướng dẫn học sinh. a). Số 21780 chia hết cho 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là 0. Chia hết cho 3 và 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9. b). 325 chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 5. c). 176 chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 6(chữ số chẵn). d). 1980 chia hết cho 2, cho 5, cho 3, cho 9 ( vì có chữ số tận cùng là 0 và có tổng các chữ số chia hết cho 9). 2. Trò chơi: “ghép số” tạo thành số chia hết. Yêu cầu học sinh chơi theo nhóm, mỗi số sẽ được phát cho một trong các số cần ghép. Khi quản trò ra hiệu lệnh các nhóm sẽ ghép các số mình có lại để tạo ra được những số chia hết theo yêu cầu Ví dụ: Dùng ba trong bốn chữ số: 8; 3; 1; 0. hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó: a). Chia hết cho 9. b). Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 Hướng dẫn: Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết cho 9 là 8; 1; 0. Vậy các số lập được là: 810; 180; 108; 801 Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là 8; 3; 1. Vậy các số lập được là: 813; 831; 381; 318; 183; 138 3. Trò chơi: “Tìm số dư” Yêu cầu: Giáo viên cho một số số trên bảng yêu cầu học sinh ở các nhãm quan sát nhanh và cho nhận xét khi yêu cầu tìm các số chia cho 9 dư 1; chia 9 dư 2; vv… học sinh quan sát nhanh và đọc các số đó, đại diện nhóm ghi lên bảng phần phụ đánh dấu kết quả của mình. Kết thúc trò chơi nhãm nào ghi được nhiều số sẽ thắng. Ví dụ: Cho các số 213; 1543; 827; 1546; 468; 1527; 2468; 3666; 1011. Hãy tìm số dư khi chia mỗi số trên cho 9 Hướng dẫn: Số chia cho 9 dư 1 là 1011. Số chia cho 9 dư 2 là 2468. Số chia cho 9 dư 3 là 3666. Số chia cho 9 dư 6 là 213; 1527. Số chia cho 9 dư 7 là 1548. Số chia cho 9 dư 8 là 827. Số chia cho 9 dư 0 là 468. 4. Trò chơi “thay chữ bằng số” Thay dấu * và các chữ bằng các chữ số thích hợp để phép tính sau là đúng. Giáo viên yêu cầu học sinh chơi theo nhóm khi phát động trò chơi các nhóm tiến hành làm bài. Sau khoảng thời gian nhất định giáo viên cho các nhóm trình bày quan điểm của mình -> nhận xét đánh giá. Hướng dẫn: GV: Xét cột hàng triệu ta có T = 9, H = 1. Số và có tổng các chữ số bằng nhau nên: - 9 Ta dễ thấy dấu * ở cột trăm nghìn là 0 do đó dấu * ở hàng trăm là 6. Từ cột hàng trăm và cột hàng nghìn ta có N = 2. Cột hàng đơn vị có C = 7 ( vì C – 2 = 5 ) Cột hàng vạn có A = 8 ( vì A – 1 – 7 = 0 ) Cột hàng chục có O = 4 ( vì O – 8 tận cùng là 6 ). Vậy ta có phép tính: C. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. Qua thời gian tổ chức thực hiện, chịu khó trong tiết làm có sửa bổ sung sau mỗi tiết dạy, bản thân tôi tự nhận xét, rút kinh nghiệm về cách tiến hành. Nhìn chung học sinh tiến bộ trong học tập có phần hăng say và sôi nổi. Kết quả đạt được như sau: - Sau khi học xong phần “Dấu hiệu chia hết” học sinh nắm được các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 và hiểu được cơ sở lý luận của các dấu hiệu đó dựa trên tính chất chia hết của một tổng. - Học sinh biết vận dụng các dấu hiệu đó để nhận ra một số, một tổng, một hiệu có chia hết hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9. - Rèn luyện cho học sinh tính chính xác khi phát biểu và vận dụng các dấu hiệu chia hết vào làm bài tập. - Rèn luyện cho học sinh tính ham học hỏi, tư duy khoa học, yêu thích môn toán học, tạo cảm giác hứng thú trong học tập. - Sau khi làm bài kiểm tra đánh giá kết quả sự tiếp thu kiến thức của học sinh thì kết quả đạt được như sau: SỐ BÀI ĐIỂM DƯỚI TB ĐIỂM 5 – 6 ĐIỂM 7 – 8 ĐIỂM 9 - 10 33 TS % TS % TS % TS % 0 13 39 14 42 6 18 D. BÀI HỌC KINH NGHIỆM. Phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6 với nội dung bài học tương đối đơn giản . Song làm thế nào để phát huy tính tư duy tích cực, sự sáng tạo cho học sinh là một vấn đề không đơn giản. Để đạt được điều này đòi hỏi người giáo viên không những nắm vững các tri thức tương ứng mà còn phải nắm được các kỹ năng kỹ xảo, kỹ năng truyền thụ của các tri thức này. Giáo viên phải biết kích thích sự chú ý của học sinh, phát huy tính tự lập và tích cực sáng tạo của học sinh. Trên đây mới chỉ là bước đầu tự mày mò nghiên cứu và thử nghiệm, chắc chắn vẫn còn thiếu sót và một số hạn chế nhất định, cần phải rút kinh nghiệm bổ sung dần để giúp đỡ học sinh ngày càng nắm vững kiến thức cơ bản một cách sâu sát và toàn diện hơn. - Kỹ năng nhận biết nhanh, chính xác dấu hiệu chia hết cho một số tự nhiên thường gặp trong tính toán. Để làm tốt các biện pháp trong việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh theo ý chủ quan của tôi, tôi cần chú ý những quan điểm sau: 1. Giáo dục được ý thức ham học tập cho học sinh ngay từ đầu vì ấn tượng đầu tiên rất quan trọng. 2. Yêu cầu bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng bảng nhân chia, rèn kỹ năng tính nhẩm nhanh. 3. Trên cơ sở nội dung chương trình toán ở các lớp dưới bậc tiểu học, giáo viên phải hệ thống hoá kiến thức và kỹ năng tính toán, tính nhẩm, chủ yếu là cộng, nhân, chia có biện pháp lồng ghép phù hợp với giảng dạy, ôn, luyện tập trong từng bài học cụ thể. 4. H­íng dẫn phương pháp học tập đặc trưng cho học sinh giúp các em tốn ít thời gian nhất mà thuộc bài mau, nhớ lâu, vận dụng tốt. 5. Phải tạo được tình huống có vấn đề buộc các em phải tự tìm cách tháo gỡ có như vậy mới phát triển được năng lực tư duy sáng tạo của học sinh. 6. Rèn cho học sinh kỹ năng phân tích những điều kiện của bài tập để nhìn thấy cái chung, cái trừu tượng trong cái riêng, phát triển khả năng khái quát. 7. Phải dạy cho học sinh tự giải các bài tập tương đối míi, những bài đồi hỏi có những tìm tòi sáng tạo trong cách giải. 8. Rèn luyện cho học sinh giải bài tập có kết quả hơn khi dựa vào những suy luận trừu tượng. 9. Trong mọi phương pháp thì cách diễn đạt và sức truyền cảm của giáo viên qua lời giảng là rất quan trọng, nó giúp học sinh dễ dàng tiếp thu hay khó tiếp thu, thích hay không thích. Cho nên bản thân giáo viên phải nghiên cứu kỹ bài trước khi lên lớp, trao dồi kiến thức, rèn luyện cho mình một phong thái tự tin, giọng nói dễ nghe dễ lôi cuốn sự chú ý của học sinh. Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân được rút ra từ thực tế giảng dạy. Với sự cố gắng của bản thân song không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp, để bản thân ngày càng tiến bộ hơn. TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LUỸ THỪA ĐẶT VẤN ĐỀ Các dạng tốn liên quan đến luỹ thừa trong chương trình số học 6 cĩ thể khai thác ở nhiều khía cạnh. Ngồi những dạng tốn như so sánh luỹ thừa, tính giá trị các biểu thức luỹ thừa, tìm x thoả mãn một đẳng thức luỹ thừa, chứng minh tính chia hết,… thì tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa cũng là một trong những dạng tốn hay cĩ thể khai thác để giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu hơn các cơng thức liên quan đến luỹ thừa, một mặt vừa luyện được kỹ năng biến đổi biểu thức hợp lý, vừa vận dụng được những kiến thức các em được học ở tiểu học biết xác định chữ số tận cùng của một tổng , một tích, vừa cĩ thể liên hệ với việc xác định quan hệ chia hết hay chia cĩ dư với các số đặc biệt như 5, 10, 25, 100,.. Khai thác được các kỹ năng đĩ gĩp phần bồi dưỡng năng lực tốn học cho học sinh, rèn luyện tư duy linh hoạt, sáng tạo. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Nội dung chuyên đề Dạng 1 :Tìm chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: “Nếu chữ số tận cùng của A là a, thì chữ số tận cùng của An cũng là chữ số tận cùng của an”. Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A cĩ chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì An cĩ chữ số tận cùng tương ứng là 0, 1, 5, 6 2)Nếu A cĩ chữ số tận cùng là 4, 9 thì A2k cĩ chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1 3)Nếu A cĩ chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 thì A4k cĩ chữ số tận cùng tương ứng là 6, 1, 1, 6 *Áp dụng: VD1: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 192008; 12100; 12103 Lời giải: a) 192008 =192.1004 =(192)1004 =3611004 3611004cĩ tận cùng là 1 192008 cĩ tận cùng là 1 b) 12100=124.25=(124)25 124 cĩ tận cùng là 6 (124)25 cĩ tận cùng là 6 Vậy 12100 cĩ tận cùng là 6 c) 12103=123. 12102 cĩ tận cùng là 8. VD2: Tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa sau: 172007, 1921; 131003 Lời giải: Ta sẽ tìm cách liên hệ các luỹ thừa trên với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng các ý trong nhận xét ở trên đ ây. Thật vậy, 172007=17. 172006=17. 174.501 =17.(174)501 174 cĩ tận cùng là 1 (174)501 cĩ tận cùng là 1 17.(174)501 cĩ tận cùng là 7 Vậy 172007cĩ tận cùng là 7. Tương tự 1921=19. 192.10 suy ra 1921 cĩ tận cùng là 9. 131003=133. 134.250 suy ra 131001 cĩ tận cùng là 7. VD3: Chứng minh rằng 3366 +7755 – 2 chia hết cho 5 Lời giải: Ta chứng minh 3366 +7755 -2 cĩ tận cùng là 0 sau đĩ vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 Thật vậy, 3366 cĩ cùng chữ số tận cùng với 366, mà 366=933=9.92.16 suy ra 366 cĩ tận cùng là 9, 7755cĩ cùng chữ số tận cùng với 755, vì 755=73.74.13 nên 755 cĩ tận cùng là 3. Do đĩ 3366, 7755 cĩ chữ số tận cùng lần lượt là 9, 3 suy ra 3366 +7755 – 2 tận cùng là 0 (đpcm) Dạng 2:Tìm hai chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: 1) Giả sử A cĩ hai chữ số tận cùng là , B cĩ hai chữ số tận cùng là Khi đĩ A.B và .cĩ cùng hai chữ số tận cùng. 2) “Nếu hai chữ số tận cùng của A là , thì hai chữ số tận cùng của An cũng là hai chữ số tận cùng của ” Đặc biệt các số cĩ tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng cĩ tận cùng lần lượt bằng 01, 25,76. *Áp dụng: VD1:Tìm hai chữ số tận cùng của Lời giải: Ta cĩ ==cĩ hai chữ số tận cùng là 01 VD2: Chứng minh rằng +- 65 chia hết cho 100 Lời giải: Ta sẽ chứng minh hai chữ số cuối cùng của +- 65 sẽ là 00. Thật vậy, ====cĩ hai chữ số tận cùng là 01 Mặt khác ===43. = 64. , =,=, mà cĩ hai chữ số tận cùng là 76, do đĩ = 64. và 64.76 cĩ cùng hai chữ số tận cùng suy ra cĩ hai chữ số tận cùng là 64. Vì vậy +- 65 cĩ hai chữ số tận cùng là 00 Dạng 3: Tìm ba chữ số tận cùng của An, n0 *Nhận xét: “Nếu 3 chữ số tận cùng của A là , thì ba chữ số tận cùng của An cũng là ba chữ số tận cùng của ” Đặc biệt các số cĩ tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào khác 0 cũng cĩ tận cùng lần lượt bằng 001, 376, 625 *Áp dụng: VD: Tìm 3 chữ số tận cùng của 52008 Lời giải: 52008 =54.502=(54)502 54 cĩ tận cùng là 625 suy ra (54)502 cĩ tận cùng là 625 Vậy 52008 cĩ 3 chữ số tận cùng là 625 2. Giáo án thực hiện tiết 1 Hoạt động của thày Hoạt động của trị Nội dung Treo bảng phụ Y/c HS điền thơng tin cịn thiếu trong bảng phụ Gv nx chốt lại, bước đầu gợi mở pp tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa Y/c HS làm VD1 Gọi một HS nêu cách làm, GV HD trình bày mẫu một ý Gọi tiếp 3 HS lên bảng trình bày các ý cịn lại Cho HS nx, chữa bài GV chốt lại *Khai thác: 24k+3 cĩ tận cùng là gì? *Gv định hướng cách tìm cstc của luỹ thừa Ra VD2 Y/c HS nêu phương pháp giải Gv chốt lại PP Yêu cầu HS trình bày từng phần lời gải a) HS1: tìm cstc của 12100 HS2: tìm cstc của 1921 và KL Gọi một HS trình bày b) Ra VD3 Y/c HS nêu phương pháp giải ( hoặc GV gợi mở) Gv dẫn dắt HS phân chia TH và trình bày lời giải Học sinh quan sát bảng phụ, suy nghĩ, phát biểu Hs trình bày theo mẫu: 42k = (42)k = 16k 16k cĩ tận cùng là 6 42k cĩ tận cùng là 6 Các ý khác học sinh trình bày tương tự Trả lời: 24k+3 = 24k.23 = 24k.8 24k cĩ tận cùng là 6 24k+3cĩ tận cùng là 6 PP:Tìm chữ số tận cùng của biểu thức cần c/m chia hết 2HS lần lượt lên hồn thiện a) * 12100 =124.25 = (124)25 124 cĩ tận cùng là 6 (124)25 cĩ tận cùng là 6 12100 cĩ tận cùng là 6 * 1921 = 19.(192)10 192 cĩ tận cùng là 1 (192)10 cĩ tận cùng là 1 19.(192)10 cĩ tận cùng là 9 1921 cĩ tận cùng là 9 * Vậy 12100 + 1921