Sáng kiến kinh nghiệm nội dung và phương pháp giảng dạy toán nâng cao phần các bài toán về dãy số cho học sinh lớp 4 - 5

Sáng kiến kinh nghiệm Nội dung và phương pháp giảng dạy toán nâng cao phần các bài toán về Dãy số cho học sinh lớp 4 - 5 I. Phần mở đầu I.1. Lý do chọn đề tài Năm học 2007 – 2008, trường Tiểu học Thị trấn thành lập đội tuyển Toán tuổi thơ, gồm 10 em học sinh giỏi Toán, lớp 4, 5. Nhằm mục đích góp phần nâng cao hiệu quả, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu học. Là một trong ba giáo viên trực tiếp dạy cho đội tuyển, tôi đã lựa chọn đề tài này để nghiên cứu. I.1.1 Cơ sở lý luận Chúng ta đã bước vào thập kỷ đầu của thế kỷ XXI, thế kỷ của nền kinh tế tri thức, phát triển nguồn lực con người đáp ứng yêu cầu đổi mới của thời đại là nhiệm vụ cấp bách của mội Quốc gia. Nghị quyết Trung ương II khoá VIII đã xác định: "Giáo dục là một bộ phận quan trọng của kinh tế xã hội, có vị trí hàng đầu trong chiến lược con người, phục vụ chiến lược kinh tế xã hội và quốc phòng"   Điều này chứng tỏ Giáo dục và Đào tạo có nhiệm vụ cực kỳ quan trọng trong sự nghiệp đổi mới và phát triển của đất nước. Đó là: ‘‘Đào tạo ra hững con người lao động trí tuệ cao, có ý chí vững bền, có khả năng đáp ứng và đón đầu những đòi hỏi của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước”. Trong hệ thống giáo dục quốc dân. Tiểu học là bậc học nền móng. Các môn học ở tiểu học nói chung và môn Toán nói riêng góp phần không nhỏ vào việc hình thành và phát triển của những cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người Việt Nam. Những kiến thức, kỹ năng môn toán có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống, nó làm cơ sở cho việc học tập các môn học khác và học tiếp ở các lớp trên. Môn toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giưói hiện thực; nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giưói và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Môn Toán có tiềm năng giáo dục to lớn, nó gópp phần quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. Nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập linh hoạt, sáng tạo; nó góp phần vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con người như lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nền nếp và có tác phong khoa học. Phát hiện và bồi dưỡng nhân tài là một vấn đề mà đảng và nhà nước ta rất quan tâm; Cố Tổng bí thư Trường Chinh đã nhấn mạnh trong bài phát biểu "Vấn đề phát triển năng khiếu của học sinh rất quan trọng. Học sinh phải có kiền thức phổ thông toàn diện, nhưng đối với các em có năng khiếu càn có kế hoạch hướng dẫn thêm". Xuất phát từ mục tiêu của Đảng là "Phát hiện tài năng bồi dưỡng nhân tài cho đất nước" chúng ta cần phải chăm sóc thế hệ trẻ ngay từ lúc ấu thơ đến lúc trưởng thành. Vì vậy việc phát triển và bồi dưỡng ngay từ bậc tiểu học là công việc hết sức quan trọng đồi hỏi người giáo viên phải không ngừng cải tiến về nội dung, đổi mới về phương pháp để khuyến khích học sinh say mê học tập, nghiên cứu tìm tòi chiếm lĩnh tri thức mới. Việc dạy và giải các bài toán nâng cao trong môn giải toán ở Tiểu học có vị trí đặc biệt quan trọng. Thông qua dạy giải toán nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, rèn kỹ năng giải toán từ đó nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học. Cũng thông qua giải toán nâng cao có tác dụng thúc đấy phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học của học sinh. I.1.2 Cơ sở thực tiễn Muốn nâng cao chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán thì trước hết phải xây dựng được một nội dung hợp lý, khoa học và những phương pháp giảng dạy phù hợp, phát triển được khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh. Qua thực tế tham gia dạy bồi dưỡng học sinh lớp 4, 5 của trường tôi thấy được thực trạng việc dạy học và giải toán nâng cao của giáo viên và học sinh còn nhiều vấn đề phải quan tâm. Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo logic, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân được dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức. Về phương pháp dạy giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của học sinh; về phía chuyên môn chưa có tài liệu chỉ đạo cụ thể về nội dung và phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở. Học sinh chưa có một phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài tập nhất là các bài tập về dãy số... Chính vì vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao. Để từng bước nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã chọn đề tài: Nội dung và phương pháp dạy toán nâng cao phần: các bài Toán về dãy số cho học sinh lớp 4, 5 I.1.3. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm mục đích xây dựng một phương án góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4-5 phần dãy số. I.1.4. Thời gian Từ 15/9/2007 đến 15/3/2008 I.1.5. Đóng góp về mặt lý luận, về mặt thực tiễn Đề tài được nghiên cứu trên đối tượng học sinh khá giỏi lớp 4, 5 với hình thức tổ choc dạy học theo hướng cá biệt hoá; đó là phương án dạy học dựa trên lực học, nhịp độ nhận thức của học sinh thông qua mối quan hệ dạy học và kỹ thuật thao tác dạy học theo nhóm, đội tuyển học sinh giỏi, với hình thức dạy học này sẽ tạo điều kiện cho mỗi học sinh bộc lộ và phát triển tài năng toán học. Trong nội dung chương trình toán tiểu học nói chung, chương trình Toán lớp 4, 5 nói riêng nội dung kiến thức số học là trọng tâm, là hạt nhân của chương trình. Các kiến thức và phép toán số học hỗ trợ cho việc học tập các nội dung khác như đại lượng, phép đo đại lượng, các yếu tố hình học, đồng thời phát triển năng lực tư duy, năng lực thực hành của học sinh và những phẩm chất không thể thiếu được của người lao động giỏi. Thông qua dạy giải toán nâng cao giúp cho đội ngũ giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, rèn kỹ năng giải toán từ đó nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học. Cũng thông qua giải toán nâng cao có tác dụng thúc đấy phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học của học sinh. Những học sinh có năng khiếu về toán học nếu được bồi dưỡng một cách đúng đắn thì các em sẽ phát triển tốt khả năng Toán học và có thể trở thành những nhà toán học, khoa học xuất sắc. II. Phần nội dung II.1. Chương I: Tổng quan II.1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu Về nội dung và phương pháp giải các bài toán về Dãy số cho học sinh lớp 4, 5 đã có nhiều tác giả đề cập đến như tác giả Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn ánh, Hoàng Thị Phước Hảo… ở đây các tác giả chỉ đưa ra những phương pháp giải khác nhau nhưng chưa đưa ra những lý thuyết cơ bản giúp học sinh phân biệt, nhận dạng các dạng bài toán đó. Do đó, việc nghiên cứu phân dạng, loại và các phương pháp giải các bài toán về dãy số là vấn đề cần quan tâm giải quyết. Trong đề tài này, tôi không tham vọng giải quyết tất cả các vấn đề về dãy số ở lớp 4, 5 mà chỉ tập trung đi sâu nghiên cứu hệ thống các bài toán về dãy số và hướng dân học sinh nhận dạng phương pháp giải các bài toán ở 5 dạng cơ bản. + Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số. + Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không? + Tìm số hạng thứ n của dãy. + Tìm tổng các số hạng củ dãy số. + Dãy chữ. II.1.2. Cơ sở lý luận 1. Khái quát về nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học Môn Toán ở Tiểu học là một môn học thống nhất không chia thành phân môn, hạt nhân của môn Toán là số học(bao gồm số học các số tự nhiên, phân số, số thập phân). Các nội dung về đại lượng cơ bản, yêu stố hình học, giảI bài toán có lời văn đã được sắp sếp gắn bó với hạt nhân số học tạo ra sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các nội dung ở môn Toán. Trong chương trình Toán ở tiểu học các tập hợp số và các phép toán số học trên các tập hợp số là nội dung cơ bản(các tập số ở đây gồm tập hợp số tự nhiên và tập hợp các số hữu tỷ không âm); các tập hợp số được chia thành các tập con mà ta thường gọi là các vòng số theo tong lớp học. Mỗi vòng số được sắp xếp xen kẽ với các mạch kiến thức khác như: các kiến thức về đại lượng, phép đo đại lượng, về các yếu tố hình học, về giải toán. Các kiến thức số học được sắp xếp theo nguyên tắc đồng tâm, kế thừa và phát triển liên tục không gián đoạn. Các kiến thức về đại lượng và phép đo đại lượng được trình bày dưới dạng hình thành khái niệm phép đo và khái niệm đại lượng. Các đại lượng không sắp xếp thành chương trình mà sắp xếp xen kẽ với các vòng số và được mở rộng cùng với sự mở rộng các vòng số. Các kiến thức hình học ở tiểu học bao gồm các yếu tố hình học cơ bản và cần thiết như: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, góc, hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật... Cũng các đại lượng các kiến thức hình học không được trình bày tong chương riêng biệt mà được trình bày rải rác suốt từ lớp 1 đến lớp 5 xen kẽ với các vòng số theo nguyên tắc đồng tâm, kế thừa và phát triển. Một số kiên sthức hình học được đưa vào dưới dạng các bài tập tổng hợp coa tác dụng củng cố kiến thức. Tóm lại: Nội dung môn Toán ở Tiểu học đã quán triệt được quan điểm của Toán học hiện đại; phù hợp với lứa tuổi học sinh Tiểu học, các kiến thức và khái niệm được sắp xếp theo các vòng nguyên tắc đồng tâm và phát triển suy luận nâng cao dần ở các lớp cuối cấp. 2. Các quan điểm về xây dung nội dung và phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở Tiểu học. Căn cứ vào mục tiêu của bậc học nói chung, nội dung chương trình Toán ở tiểu học nói riêng, mỗi tác giả có quan điểm xây dựng nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi theo cách cắt ngang mạch kiến thức thep lớp 1, 2, 3, 4, 5 để học sinh vận dụng luôn bài học chính khoá giải các bài toán nâng cao có liên quan; có quan điểm xây dung nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các bài toán số học theo cách cắt dọc các mạch kiến thức đó là: Nội dung phương pháp giải các bài toán số học, giải các bài toán về đại lượng, các bài Toán có nội dung hình học, các bài toán có lời văn điển hình... các mạch kiến thức này xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5. Có quan điểm xây dung nội dung phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi bằng cách chia vùng kiến thức, phân ra thành các chuyên đề. Các bài Toán cùng dạy một vùng kiến thức được sắp xếp vào một chuyên đề, trong mỗi chuyên đề lại được phân chia thành các dạng toán điển hình. Cách chia vùng kiến thức các chuyên đề tạo điều kiện thuận lợi giúp học sinh nhận dạng bài toán và lựa chọn được phương pháp giải thích hợp. Trong các quan điểm trên , tôi thấy mỗi quan điểm đều có những mặt tích cực của nó; với phạm vi đề tài này tôi nghiên cứu xây dung nội dung và phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5 theo quan điểm chia vùng kiến thức, đi sâu vào chuyên đề “Dãy số”. 3. Một số quan điểm về vấn đề các bài toán khó để bồi dưỡng học sinh giỏi toán Tiểu học. Bồi dưỡng học sinh giỏi là một hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học. Xung quanh vần đề này có khá nhiều vấn đề đặt ra như: Bồi dường học sinh giỏi nhằm mục đích gì? Học sinh như thế nào là học sinh giỏi? Làm thế nào để phát hiện và tuyển chọn học sinh giỏi? Bằng cách nào có thể bồi dưỡng học sinh giỏi? Đây là những vấn đề tổng quát về bồi dường học sinh giỏi mà một nội dung được quan tâm khi bồi dưỡng học sinh giỏi đó là nên chọn những bài toán như thế nào để bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán. Có một số quan điểm sau: - Bồi dưỡng cho học sinh giỏi cần được tiến hành liên tục, đồng thời với việc dạy học sinh mỗi đơn vị kiến thức. - Bồi dưỡng học sinh giỏi Tiểu học không phải là dạy trước cho học sinh Tiểu học những kiến thức của các bậc học trên. - Bồi dưỡng học sinh giỏi trước hết để các em phát triển những phương pháp tư duy đặc trưng của toán học chư không phải chỉ để các em tích luỹ được một “Kho kiến thức Toán” hay biến các em thành những “Thợ giải toán”. Theo các nguyên tắc này các bài toán được lựa chọn để bòi dưỡng học sinh giỏi phải là những bài toán thuộc nội dung kiến thức cơ bản trong chương trình toán Tiểu học và có khả năng góp phần vào nâng cao năng lực tư duy Toán học của học sinh. Năng lực tư duy này có thể là trừu tượng hoá, khái quát hoá, suy luận, diễn đạt suy luận vận dụng Toán học… Hiện nay, có rất nhiều sách tham khảo về bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tiểu học, khi bồi dưỡng học sinh giỏi Toán từ mỗi cuốn sách chúng tôi có thể tham khảo, lựa chọn các bài toán phù hợp với trình độ học sinh của trường mình, lớp mình. Bồi dường học sinh giỏi chỉ đạt hiệu quả cao nhất khi giáo viên lựa chọn được cho mình một hệ thống bài tập phù hợp vớ điều kiện cụ thể về điều kiện dạy học trình độ học sinh, chính vì thế phải thường xuyên tích luỹ và phân loại các bài toàn bồi dưỡng học sinh giỏi theo ý của riêng mình để chủ động sử dụng trong quá trình dạy học. Đặc biệt chú ý khai thác các bài toán trong sách giáo khoa, phát triển thành các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi . Như đã nói ở trên, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu về mảng số học( trong đó có phần dãy số) phần số học ở Tiểu học xét tập hợp 3 số; số tự nhiên, phân số, số thập phân. Nội dung kiến thức trọng tâm về mỗi tập hợp số gồm có: Khái niệm ban đầu về số. Các phép tính. Quan hệ thứ tự. Các bài Toán bồi dưỡng hcọ sinh giỏi phải thể hiện nội dung trọng tâm này. Đối với học sinh giỏi phải đặt mức yêu cầu cao hơn: cần nắm chắc đươcj kiến thức một cách tổng hợp. Vì vậy, các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi thường tổng hợp tất cả các nội dung kiến thức kể trên. Các bài toán về “Dãy số” nó còn liên quan đến các bài toán về tính chất của phép tính. II.2. Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ về lý luận: Để xây dựng được nội dung và phương pháo giải các dạng toán cơ bản trên tôi đã nghiên cứu lý luận dạy học, giáo trình thuyết số, giải tích tổ hợp và các loại sách tham khảo, phương pháp giảng dạy bộ môn, đề thi học sinh giỏi các cấp qua đó: + Hệ thống hoá các bài toán phân dạng. + Nêu kiến thức then chốt của các dạng bài. + Hướng dẫn học sinh nhận dạng phân tích, trình bày một số lời giải các dạng bài. + Rút ra những bài học kinh nghiệp và đề xuất một số bài tập tự luyện. Nhiệm vụ về thực tiễn: Tìm hiểu thực tiễn bằng cách khảo sát tình hình thực tế địa phương, nhà trường, xử lý số liệu thông tin, thu thập số liệu, đề xuất vấn đề, khảo nghiệm tính khả thi của vấn đề quản lý… II.2.2. Các nội dung cụ thể trong đề tài II.2.2.1. Những vấn đề chung về dạy các số tự nhiên Dạy học số tự nhiên ở bậc Tiểu học nhằm giới thiệu cho học sinh khái niệm về số tự nhiên và 10 ký hiệu (tức là chữ số) để viết số, về các đơn vị đếm của hệ thập phân, về sự sắp thứ tự và so sánh các số tự nhiên. Dạy học số tự nhiên giúp học sinh Tiểu học nhận biết được quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và quan hệ giữa các phép tính đó, biết vận dụng các bảng tính và các tính chất của các phép tính để tính nhẩm, tính nhanh và tính đúng, biết thử lại các phép tính khi cần thiết, biết giải các bài toán có lời văn và trình bày bài giải. Đồng thời dạy học số tự nhiệm nhằm củng cố các kiến thức có liên quan trong môn toán như đại lượng và phép đo đại lượng, các yếu tố hình học đồng thời phát triển năng lực tư duy, năng lực thực hành của học sinh và những phẩm chất không thể thiếu được của người lao động mới. II.2.2.2. Dạy học hình thành khái niệm số tự nhiên - Số tự nhiên: Là một khái niệm trừu tượng, đó là thuộc tính chung nhất của các tập hợp tương đương nghĩa là những tập hợp thiết lập được tương ứng một đối một. Do đó để nhận thức được khái niệm một số tự nhiên đòi hỏi học sinh phảI có khả năng trìu tượng hoá, khái quát hoá cao, nhưng học sinh Tiểu học có những hạn chế trong nhận thức. Tri giác còn gắn liền với hành động trên đồ vật; khó nhận biết được tính chất chung của các tập hợp khi thay đổi một vài đặc điểm bên ngoài của các phần tử như hình dạng, màu sắc; chú ý của học sinh Tiểu học chủ yếu là chú ý không chủ định, hay chú ý đến cái mới lạ, hấp dẫn, cái đập vào trước mắt hơn là cái cần quan sát, đối với học sinh Tiểu học trí nhớ trực quan hình tượng phát triển mạnh hơn trí nhớ câu chữ, trừu tượng, trí tưởng tượng phụ thuộc vào hình mẫu có thực, tư duy cụ thể là chủ yếu, còn tư duy trừu tượng dần dần hình thành. Vì thế, để học sinh Tiểu học hiểu được bản chất của số tự nhiên cần phải qua một quá trình với các mức độ khác nhau bằng nhiều cách khác nhau kết hợp với cơ chế logic hình thành khái niệm kinh nghiệm sống của học sinh. Giai đoạn 1: Hình thành khái niệm tập hợp lực lượng. Giai đoạn 2: Giới thiệu các ký hiệu số, cách viết và đọc số. Giai đoạn 3: Hình thành khái niệm dãy số. Sau khi học sinh đã nắm được các chữ số, cách đọc và cách viết số, xếp các tập hợp thành một dãy theo quan hệ “nhiều hơn”, “ít hơn” giáo viên giúp học sinh viết các “chữ số” tương ứng với “số phần tử” của từng tập hợp thành một hàng, học sinh nhận được một dãy số. Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất quan trọng của dãy số là quan hệ “liền trước”; “liền sau” để củng cố khái niệm dãy số, giáo viên yêu cầu học sinh tập đếm xuôi, đếm ngược, đếm liên tục, đếm nhảy và định vị các số trong dãy. II.2.2.3. Các dạng toán điển hình và phương pháp giải về dãy số 1. Muốn làm được các bài toán về dãy số ta càn phải nắm được các kiến thức sau: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn… Vì vậy, nếu: Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn. Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ. Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số. Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số. a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy. b. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. 2. Các bài toán về dãy số có thể phân ra các loại toán sau: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên. - Dãy số chẵn, lẻ. - Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số nào đó. + Dãy số không cách đều. - Dãy Phi bo na xi - Dãy có tổng(hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. + Dãy số thập phân, phân số: 3. Cách giải các dạng toán về dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng(hoặc trừ) với một số tự nhiên a. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước trừ đi 1. Ví dụ 1: 1. Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…… Muốn giải được bài toán trên trước hết phảI xác định quy luật của dãy số như sau: Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13 Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở dmỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng liền trước nó. Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144… 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27 Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15 15 = 3 + 4 + 8 Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng tổng của ba số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169. 3. Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau : a…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. b..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 : biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. *) Giải: a. Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2 Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2 Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2 Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2 …………………………….. Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số đầu tiên là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng liền trước đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2. b. Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9 Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8 Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7 ………………………….. Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số trên là: Mỗi số hạng bằng 11 nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11. 4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau : a. 3, 9, 27, ......., 729, ..... b. 3, 8, 32, ......, 608,..... Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của mỗi dãy số đó. a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số liền sau bằng 3 lần số liền trước. Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: 27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng). Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243. b. Ta nhận xét: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23. .......................................... Quy luật của dãy số là: Kể từ số thứ 2 trở đi, số hạng sau bằng 3 lần số hạng trước trừ đi 1, vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: 23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng). Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203. 5. Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đI được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB. *) Giải: 2 giờ chiều là 14h trong ngày. 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: 14 – 7 = 7 giờ. Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 (đáp số 84km). 6. Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2002 783 998 *) Giải: Ta đánh số thứ tự các ô như sau: 783 998 ô1 ô2 ô3 ô4 ô5 ô6 ô7 ô8 ô9 ô10 Theo điều kiện của đề bài ta có: 783 + Ô7 + Ô8 = 2002. Ô7 + Ô8 + Ô9 = 2002. Vậy Ô9 + 783; từ đó ta tính được: Ô8 = Ô5 = Ô2= 2002 - (783 + 998) = 2002 Ô7 = Ô4 = Ô1 = 998 Ô3 = Ô6 = 783. Điền các số vào ta được dãy số: 998 221 783 998 221 783 998 221 783 998 Một số lưu ý khi giảng dạy Toán dạng này là: Trước hết phải xác định được quy luật của dãy là dãy tiến, dãy lùi hay dãy số theo chu kỳ (ví dụ: 6). Từ đó mà học sinh có thể điền được các số vào dãy đã cho. * Bài tập tự luyện: 13, 19, 25,……, Dãy số kể tiếp thêm 5 số nào? Số nào suy nghĩ thấp cao? Đố em đố bạn làm sao kể liền? Viết số hạng còn thiếu trong dãy số sau: a. 7, 10, 13,……, 22, 25. b. 103, 95, 87,……, 55, 47. Là số hạng cuối đây mà Dãy số: 9 số hạng nha Số hạng đứng trước gấp 3 sau liền Đố em tôi, đố bạn hiền Dãy số có số đầu tiên là gì? Là gì nhanh đáp khó chi! Đố anh, đố chị cung nhau thi tài. Điền số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liền nhau bằng: a. n = 14,2 2,7 8,5 b. n = 14,3 2,7 7,5 Dạng 2: Xác định số A có thuộc dãy đã cho hay không? Cách giải của dạng toán này: - Xác định quy luật của dãy; - Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không? Ví dụ: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8,…… a. Nêu quy tắc viết dãy số? b. Số 93 có phải là số hạng của dãy không? Vì sao? *) Giải: a. Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2 = 2 x 1 Số hạng thứ 2: 4 = 2 x 2 Số hạng thứ 3: 6 = 2 x 3 …......... Số hạng thứ n: ? = 2 x n Quy luật của dãy số là: Một số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự của số hạng ấy. b. Ta nhận thấy các số hạng của dãy là số chẵn, mà số 93 là số lẻ, nên số 93 không phải là số hạng của dãy. Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số trên? - Số 2000 có thuộc dãy số trên không? Tại sao? *) Giải: - Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ……… Dãy số trên được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3. Vậy 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. - Số 2000 có thuộc dãy số trên, vì kể từ số hạng thứ 2 của dãy và số 2000 đều chia cho 3 dư 2. Em hãy cho biết: a. Các số 60, 483 có thuộc dãy 80, 85, 90,…… hay không? b. Số 2002 có thuộc dãy 2, 5, 8, 11,…… hay không? c. Số nào trong các số 798, 1000, 9999 có thuộc dãy 3, 6, 12, 24,…… giải thích tại sao? *) Giải: a. Cả 2 số 60, 483 đều không thuộc dãy đã cho vì: - Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 60. - Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5, mà 483 không chia hết cho 5. b. Số 2002 kh