Sáng kiến kinh nghiệm - Rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ –logarit có chứa tham số

I. Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình Toán lớp 11 có rất nhiều bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số. Không những bài toán được đặt ra dưới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn như: tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm điều kiện để hai phương trình tương đương với nhau; v.v... Thực tiễn sư phạm cho thấy, khi đứng trước những phương trình và bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: “Những bài toán có tham số luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thường có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này”. Giáo viên nhiều người có tâm lý lảng tránh phương trình và bất phương trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tương đối phức tạp đối với học sinh. Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được nhu cầu giải quyết vấn đề. Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn Toán sẽ được nâng cao; ngược lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học. Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình tư duy toán học. Thông qua những bài toán đó, học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngược lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động tư duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu những sự tương ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trường hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v...). Một trong những đặc điểm của chương trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phương trình và bất phương trình chứa tham số (Còn phương trình và bất phương trình không chứa tham số thì đã bắt đầu được học từ bậc THCS). Phần phương trình và bất phương trình được lặp lại theo chiều hướng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh khá, giỏi thì các bài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa. Thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông đòi hỏi phải có những công trình nghiên cứu nhằm đưa ra những thủ pháp dạy học, những hướng dẫn sư phạm để giúp người giáo viên giảng dạy tốt những kiến thức trong chương trình, nhất là những kiến thức tương đối phức tạp nhưng giàu tính ứng dụng và khá điển hình. Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhưng cho đến nay vẫn chưa có công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phương trình, bất phương trình chứa tham số. Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là: “rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình , bất phương trình mũ –logaritcó chứa tham số”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11 bậc THPT. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây: 3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào? 3.2. Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số? 3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm nào? 3.4. Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số? 3.5. Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào? 4. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. 5. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hướng dẫn sư phạm thích hợp thì sẽ rèn luyện được cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở lớp 11 trường phổ thông. II. Nội dung “rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình , bất phương trình mũ –logarit có chứa tham số ” 1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán Con người không thể suy nghĩ khi chưa hiểu đầy đủ, chính xác vấn đề đặt ra. Do vậy, khi gặp bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số, học sinh không thể tiến hành hoạt động tìm tòi lời giải một khi họ chưa hiểu đúng về tham số. Rất nhiều học sinh “e ngại” khi tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, trong số đó không ít học sinh không hiểu được bản chất, vai trò của tham số trong bài toán. Để giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về tham số, trong quá trình giảng dạy thông qua hoạt động giáo viên cần làm sáng tỏ các vấn đề sau: 1.1. Tham số là gì? a) Học sinh đã được làm quen với thuật ngữ “ẩn số” ở bậc THCS, còn thuật ngữ “tham số” ở đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy “bỡ ngỡ, khó hiểu” khi tiếp xúc với thuật ngữ này. SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra lời giới thiệu về tham số: “Những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này được xem là những số đã biết gọi là tham số”. Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy “băn khoăn” khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại được xem như số đã biết. Tại sao chữ mà lại xem như số đã biết? Số đã biết là những số nào? Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ “tham số” giáo viên cần đưa ra hoạt động cụ thể, nhằm hình thành khái niệm. Chẳng hạn, có thể đưa ra một trong những hoạt động sau: Hoạt động 1a: Một người đi xe đạp với vận tốc 10km/h, tính quãng đường đi được trong khoảng thời gian 30 phút, 60 phút, 90 phút? Học sinh dễ dàng tính được khi dựa vào công thức: s = v.t = 15.t t = 30 (p) = 1/2 (h) thì S = 10.1/2 = 5 km t = 60 (p) = 1 (h) thì S = 10.1 = 10 km t = 90 (p) = 3/2 (h) thì S = 1.3/2 = 15 km Như vậy, khi t thay đổi kéo theo sự thay đổi của S. Ta có thể xem biểu thức: S = 10.t là một phương trình ẩn S, khi đó với mỗi giá trị t sẽ cho một nghiệm S của phương trình. Để đặc trưng cho chuyển động trên trong Toán học ta xét phương trình: x = 10.a Với x là ẩn và a là một số đã biết, tuy nhiên giá trị cụ thể của a là không xác định, bởi a = 1, a = , , a có thể là một số cụ thể nào đó. Số a trong phương trình trên được gọi là tham số. Hoạt động 1b: Giáo viên đưa ra cho học sinh các phương trình: log2( x2 – x) + 1 = 0 log 2(x2 – 2x) + 1 = 0 log 2(x2 – 4x )+ 1 = 0 Yêu cầu học sinh khái quát hóa dạng phương trình trên bằng câu hỏi: H: Các phương trình trên có điểm nào chung? (đều là phương trình logarit cùng cơ số 2) H: Hệ số nào của các phương trình trên là giống nhau? H: Đưa ra phương trình tổng quát của phương trình trên? Học sinh đưa ra phương trình: loga(f(x)) + 1 = 0, ở các phương trình trên a nhận giá trị: 2, 1.2, 4, H: Cho vài ví dụ về phương trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào? Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu phương trình: loga(f(x)) + 1 = 0. Ta nói đây là phương trình ẩn x với tham số a H: Nêu kết luận về tham số? b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thường được ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m,, nhưng tuyệt đối không được giống với ký hiệu ẩn của phương trình, bất phương trình. Khi học sinh mới tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ và phân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phương trình. Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phương trình: với mọi giá trị của m: 0 < m 4. Đây là bài toán khá rắc rối và nó phần nào đi ngược với tư duy giải toán thông thường. Bởi bài toán yêu cầu tìm nghiệm bất phương trình thỏa mãn với mọi giá trị tham số: 0 < m 4, thông thường bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để bất phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x. Khi tiếp xúc bài toán này, sẽ rất nhiều học sinh cảm thấy khó xác định bài toán và thấy lúng túng. Như vậy, trước hết giáo viên cần phải giúp học sinh vượt qua rào cản này. H: Đâu là ẩn số? ẩn số là x bởi ta cần tìm giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phương trình. H: Nghiệm của bất phương trình cần thỏa mãn điều kiện gì? Lớn hơn 1 và bất phương trình khi đó đúng với mọi giá trị m: 0 < m 4. H: Đâu là tham số trong bài toán? Chỉ ra miền xác định của tham số trong bài toán? H: Bài toán yêu cầu xác định điều gì? Tìm nghiệm bất phương trình thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn hơn 1 và đúng với mọi giá trị m: 0 < m 4. H: Nêu miền xác định của ẩn số và tham số? Miền xác định ẩn số là (1; +Ơ), miền xác định tham số là nửa đoạn (0;4]. Chính nhờ vào đặc điểm miền xác định tham số và ẩn số ta dễ dàng: x + m - 1 > 0 và Nên ta thực hiện phép biến đổi: (1) Û x + m - 1 < Û mx + m2 – m < (2) Bài toán yêu cầu tìm x để bất phương trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m 4. Nên ta xem xét bất phương trình (2) là bất phương trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số. Như vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên về cơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số. (2) Û m2 + (x – 1)m – 2(x2 + x) < 0 Û (m + 2x)(m – x – 1) < 0 Do xét x > 1 nên ta có nghiệm bất phương trình trên là: -2x < m < x + 1 Để bất phương trình luôn thỏa mãn khi: 0 < m 4 thì: - 2x Ê 0 < m Ê 4 < x +1 Û x > 3. Thông qua ví dụ này ta thấy việc xác định đâu là ẩn số, đâu là tham số, cùng miền xác định của chúng là điều kiện rất quan trọng. Tuy nhiên vai trò của ẩn số, tham số là không cố định, cứng nhắc, mà trong hoàn cảnh cụ thể ta có thể đánh tráo nhằm làm cho việc giải quyết bài toán nên nhẹ nhàng hơn. Trong nhiều bài toán nó còn có ý nghĩa quyết định. Chẳng hạn, bài toán: “Tìm m để phương trình sau có nghiệm: - 2x3 + (m + 1)x2 + 2(1 – m)x + m2 – 1 = 0 (m là tham số)”. Nếu giải quyết Bài toán này theo ẩn x là điều rất khó khăn bởi phương trình trên là phương trình bậc 3 mà việc nhẩm nghiệm là khó có thể thực hiện được (nếu không muốn nói là không thể). Nhưng nếu biết thay đổi vai trò giữa ẩn và tham số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, nếu xét phương trình với ẩn m thì nó sẽ là phương trình bậc hai: m2 + (x2 – 2x).m + (-2x3 + x2 + 2x - 1) = 0 (3) với ∆ = x4 + 4x3 - 8x + 4 = (x2 + 2x - 2)2 Nên bằng phương pháp tính nghiệm ta phân tích được: (3) Û (m + x2 - 1)(m - 2x + 1) = 0 Đến đây bài toán không còn khó khăn phức tạp nữa, bởi điều kiện để phương trình có nghiệm trở thành (m + x2 - 1) = 0 có nghiệm hoặc (m - 2x + 1) = 0 có nghiệm. Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng và đầy đủ về tham số. Thứ nhất, khi dạy bài toán về phương trình có chứa tham số có thể yêu cầu học sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể của tham số và với giá trị đó phương trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện được điều này giáo viên cần chỉ rõ đây là những trường hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể có rất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó. Hoạt động 2: “Cho bất phương trình: log3x.log2x + 2m > log2xm + log3x2 Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình chứa khoảng (1, +Ơ)”. Giáo viên yêu cầu học sinh cho một vài giá trị cụ thể của tham số, khi đó phương trình sẽ như thế nào? Yêu cầu học sinh giải với một trong những giá trị cụ thể của tham số, chẳng hạn: Hãy giải với bất phương trình với m = 1! Để tránh việc học sinh nhận thức sai khi họ thường lấy ví dụ giá trị tham số trong tập hợp số tự nhiên thì giáo viên nên chỉ ra các ví dụ cụ thể: m = ; m = - ;; nhắc nhở học sinh tham số m lấy giá trị trong tập hợp số thực nên nó có vô số giá trị. Để học sinh hiểu hơn về tham số khi tiến hành giải các bài tập giải và biện luận sau khi đưa ra kết luận bài toán, giáo viên nêu ra những giá trị cụ thể của tham số và yêu cầu học sinh nêu kết luận về phương trình ngay lập tức (dựa vào kết quả biện luận). 1.2. Giúp học sinh ý thức được tác động của tham số đến bài toán Có thể với giá trị này của tham số phương trình, bất phương trình vô nghiệm, với giá trị kia có vô số nghiệm và cũng có những giá trị cho1 nghiệm, 2 nghiệm,, n nghiệm. Như vậy tham số thay đổi có thể kéo theo rất nhiều khả năng về nghiệm của phương trình, bên cạnh đó cũng cần cho học sinh thấy rằng có những bài toán dù tham số có thay đổi thì vẫn cho một kết quả về nghiệm của phương trình, bất phương trình. Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy khi tham số thay đổi thì phương trình, bất phương trình luôn có nghiệm (vô nghiệm) cũng là bình thường, tuy nhiên cần lưu ý học sinh phương trình luôn có nghiệm không có nghĩa là nghiệm như nhau với mọi giá trị tham số. Bên cạnh đó thì có nhiều bài toán, khi tham số thay đổi thì nó có có thể vô nghiệm, có nghiệm và có vô số nghiệm. Chẳng hạn, như Ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình: Tiến hành giải bài toán ta thu được kết luận: +) Với m = 0 thì phương trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn: x = 0. +) Với m < 0 thì phương trình vô nghiệm. +) Với m > 0 phương trình có 2 nghiệm x = . Để giúp học sinh hiểu hơn về sự tác động của tham số đối với bài toán, thì thông qua Ví dụ 2, giáo viên có thể đưa ra câu hỏi: H: Tìm m để phương trình có nghiệm? H: Tìm m để phương trình có 1 nghiệm H: Chỉ ra giá trị tham số để phương trình vô nghiệm? Sau đó, giáo viên cần phân tích để học sinh thấy rõ được sự tác động của tham số đối với phương trình. Rõ ràng với m = 0 thì phương trình có 1 nghiệm x = 0, nhưng với m 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = . Khi học sinh ý thức được sự tác động của tham số thì họ mới khỏi “bỡ ngỡ” khi tiếp xúc với các đề toán chứa tham số. Cùng là một phương trình có thể đặt ra các yêu cầu như: tìm điều kiện để nó có vô số nghiệm, tìm điều kiện để nó vô nghiệm cũng là chuyện hợp lý. Học sinh nắm được vai trò của tham số thì họ sẽ biết cách biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số và tránh được sai lầm không đáng có. Thông qua bài toán cụ thể, giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy tham số là số đã biết, nên nghiệm của phương trình có thể biểu diễn qua tham số. Chẳng hạn, trong Ví dụ 2, nghiệm của phương trình khi m > 0 là: x = . 2. Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ đó rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Một phương pháp rất hay được sử dụng nhằm giải các bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số, đó là: phương pháp đặt ẩn phụ. Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn đã cho) nhằm chuyển bài toán về dạng khác với mong muốn bài toán với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài toán đã cho. Phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đòi hỏi người làm toán phải quan sát kĩ bài ra, vận dụng các mối liên hệ trong bài toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm đã có. Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát hiện ra mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán là khâu quan trọng trong trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phương pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết định rất lớn đến sự đúng hay sai của lời giải. Đây cũng là kỹ năng mà học sinh còn yếu và thường hay gặp phải những sai lầm. ở biện pháp này chúng tôi xin đưa ra một số cách thức nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng phát hiện các sự tương ứng và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán. 2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ a) Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì? Với những học sinh hơi yếu thì ngay cả việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ là làm gì? Cũng đã là khó khăn, nên nếu khi họ đã không hiểu hoạt động này thì mọi thứ rao giảng của giáo viên đều trở nên vô ích. Như vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm t = j (x) (biểu thức đặt ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà bài toán đã cho. Hay nói nôm na tìm điều kiện ẩn phụ tức là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t. Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số phụ, giáo viên có thể đưa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: “Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x2; t = ; ”. b) Giúp học sinh ý thức được việc tìm điều kiện cho ẩn phụ Khi giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban đầu do đó điều kiện chỉ là bước đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi. Học sinh thấy việc đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn: Ví dụ 10: Giải và biện luận phương trình: Û Đặt ẩn phụ: u = Tới đây học sinh có thể đặt điều kiện cho ẩn phụ và cũng có thể không. Nếu đặt điều kiện có thể học sinh đặt là: 1. Điều kiện: u > 0 (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ) hoặc 2. Điều kiện: u ³ 1 (Tìm đúng điều kiện cho ẩn phụ) Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ như vậy ta thu được phương trình: u2 – 8u + m = 0 (u – 4) = 16 – m (*) Nếu m >16 , phương trình vô nghiệm Nếu m = 16 , phương trình có nghiệm u = 4 Từ đây do phải trở về tìm ẩn đã cho là x nên buộc phải giải phương trình: Û Û x= Nếu m < 16 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt Nếu 7 < m < 16 thì cả hai nghiệm đều thoả mãn nên nghiệm của phương trình là Nếu m < 7 thì chỉ có nghiệm là Vậy phương trình có 2 nghiệm là Như vậy, nếu không đặt điều kiện cho ẩn phụ u thì bài toán giải không đúng, còn nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ là u ³ 0 thì vẫn dẫn tới loại được trường hợp nghiệm của u không thoả mãn. Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chính xác thì cũng chỉ giúp phương trình cố đầy đủ nghiệm. Chính những bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh “thờ ơ” với bước đặt điều kiện của ẩn phụ, họ có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hưởng đến lời giải bài toán và lối suy nghĩ như vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Bởi đối với dạng toán là phương trình, bất phương trình có chứa tham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hưởng đến lời giải chính là điều kiện của ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ chính là cơ sở cho những lập luận, trong bài toán mới – bài toán đối với ẩn phụ. Khi đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thì sau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ được chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận trên phương trình mới (phương trình đối với ẩn phụ). Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận ra việc đặt điều kiện của ẩn phụ có ảnh hưởng rất lớn đến lời giải bài toán. Để góp phần giúp học sinh ý thức được tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thì thông qua Ví dụ 10, giáo viên có thể đưa ra hoạt động sau: Hoạt động 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) Bằng phương pháp đặt ẩn phụ như trên Ví dụ 10, là: u =. Được: u2 – 8u + m = 0 (2) Đến đây giáo viên đưa ra các lời giải tương ứng với các cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh tìm ra lời giải đúng. Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm: Û . Lời giải 2: u =, điều kiện: u ³ 1. x y 8 -16 0 4 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn u ³ 1. Để tìm tham số m sao cho phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn u ³ 1, ta dùng phương pháp đồ thị: Đồ thị (C1): y = u2 – 8u Đồ thị (C2): y = - m Khi đó nghiệm của phương trình (2) chính là giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2). Phương trình (2) sẽ có nghiệm thỏa mãn u ³ 1 khi và chỉ khi đồ thị (C2) cắt đồ thị (C1) ở điểm nằm về phía phải của đường thẳng x = 1. Dựa vào đồ thị ta nhận thấy với m ³ - 16 thì (2) luôn có nghiệm thoả mãn u ³ 1. Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì: m ³ - 16. Sau khi đưa ra 3 lời giải giáo viên có thể đặt câu hỏi nhằm giúp học sinh hoạt động, chẳng hạn: H: Nhận xét về kết quả của 3 lời giải? H: Lời giải nào là đúng đắn và lập luận chính xác? H: Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toán có chứa tham số? 2.2. Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ Để giải phương trình, bất phương trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = j (x), mối quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ được thể hiện thông qua hàm số j. Giáo viên cần giúp học sinh nhận ra mối tương quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kỳ thì sẽ có bao nhiêu giá trị x tương ứng? Với giá trị x bất kỳ thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuy nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngược lại. Trước hết, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giá trị x tương ứng, điều này giống như bài toán tìm điều kiện tham số t để phương trình t = j (x) có nghiệm. Học sinh cần trả lời được câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phương trình t = j(x) tồn tại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = j (x) sẽ không tồn x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời được một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì được đáp án cho câu hỏi còn lại. Khi đặt ẩn phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn như phép đặt ẩn phụ: +) t = 21/x; t = (1/2)1/x; +) t = logax; Tuy nhiên, cần lưu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = . Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t > 1, do đó với những giá trị 1<t < thì sẽ không tồn tại giá trị x tương ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn chưa đầy đủ, bởi nó chưa xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tương ứng. Cần nhắc nhở học sinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t = ³ , nên với giá trị t ³ thì sẽ tồn tại giá trị x tương ứng. ở đây học sinh có thể đánh giá: ³ 2 ị ³ . Nên t ³ , vậy với giá trị t ³ thì sẽ tồn tại giá trị x tương ứng. Do vậy, ngoài việc xem xét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán: ; ; Với những phép đặt ẩn phụ trên ta chưa được khẳng định với t ³ 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x). Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t = j(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự tương ứng giữa t và x là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phương trình có số nghiệm xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = j(x), nếu j là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tương ứng sẽ là 1 – 1. Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ: t = Û x2 + 1 = log2t0 Û x2 = log2t0 – 1 +) Với t0 = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tương ứng là x = 0 +) Với t0 > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng là: Vậy với mỗi t0 > 2 sẽ tồn tại 2 giá trị x tương ứng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kỹ càng có thể dẫn đến sai lầm không đáng có. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ giúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi. Để xác định sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viên không chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằm giúp học sinh phản ứng tốt trước các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ, cũng như mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoã mãn t ³ thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tương ứng. Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thì giáo viên chưa hoàn thành được nhiệm vụ khắc sâu mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đưa ra hoạt động sau: Với sự suy xét