Sáng kiến một số phương pháp giải phương trình Logarit

A. Mở đầu I. Lý do chän ®Ò tµi KiÕn thøc vÒ ph­¬ng tr×nh Logarit lµ phÇn kiÕn thøc khã thuéc ch­¬ng tr×nh líp 11, ®ång thêi ®ã còng lµ phÇn kiÕn thøc cã trong c¸c ®Ò thi vµo c¸c tr­êng chuyªn nghiÖp, nh­ng häc sinh l¹i Ýt chó ý vµ thiÕu kÜ n¨ng ë phÇn nµy. V× vËy gi¸o viªn cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh kÜ n¨ng gi¶i còng nh­ n¾m ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph­¬ng tr×nh logarit . Kh«ng ngoµi môc ®Ých rÌn luyÖn cho häc sinh nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh Logarit . Trong s¸ch gi¸o khoa ®¹i sè líp 11 còng ®Ò cËp tíi vÊn ®Ò nµy, nh­ng t«i thÊy ®ã chØ lµ mét vµi vÝ dô, th«ng qua c¸c vÝ dô ®ã muèn giíi thiÖu mét sè c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit, víi sè l­îng vÝ dô vµ bµi tËp nh­ vËy th× ch­a ®ñ vµ häc sinh ch­a thÓ n¾m râ ®­îc c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i . PhÇn bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa còng nh­ s¸ch bµi tËp, t«i thÊy cßn Ýt bµi tËp . V× vËy cÇn lÊy thªm vÝ dô vµ bµi tËp ®Ó rÌn luyÖn cho häc sinh n¨m ch¾c c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i ®ã. Qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y m«n to¸n líp 11, b»ng sù t×m hiÓu thùc tÕ khi sö dông ph­¬ng ph¸p nµy vµ ®¹t ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh. Nªn t«i m¹nh d¹n ®­a ra kinh nghiÖm víi môc ®Ých : - Gióp cho häc sinh n¾m ®ù¬c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit . _ Lµm c¬ së nghiªn cøu cho viÖc häc tËp m«n to¸n cña häc sinh víi mét sè chuyªn ®Ò kh¸c. _ Gióp häc sinh ®¹t kÕt qu¶ tèt h¬n trong k× thi tèt nghiÖp còng nh­ thi ®¹i häc .100 Trong ®Ò tµi nµy t«i chØ ®­a ra nh÷ng ph­¬ng ph¸p c¬ b¶n nhÊt vµ mét sè bµi tËp theo ®Þnh h­íng gi¶m t¶i cña SGK chØnh lý hîp nhÊt. Do thêi gian Ýt ái vµ tr×nh ®é cã h¹n chÕ ch¾c ch¾n ®Ò tµi nµy cßn nhiÒu khiÕm khuyÕt, t«i rÊt mong ®­îc c¸c ®ång nghiÖp ®äc vµ gãp ý ch©n thµnh cho t«i ®Ó ®Ò tµi sau cña t«i ®­îc chÊt l­îng h¬n. II. T×nh tr¹ng thùc tÕ khi ch­a thùc hiÖn ®Ò tµi:1. T×nh tr¹ng thùc tÕ: _ NhiÒu em tá ra khã kh¨n trong viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit . Ch­a n¾m ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n hay cßn lóng tóng, thiÕu tù tin . _ NhiÒu häc sinh tr×nh bµy lêi gi¶i cßn ch­a tèt, nhiÒu chi tiÕt thõa còng nh­ cßn thiÕu . _ Häc sinh cã lêi gi¶i nh­ng th­êng bá qua hoÆc kh«ng t×m ®­îc tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh, nªn dÉn ®Õn t×nh tr¹ng sai nghiÖm . 2. Sè liÖu ®iÒu tra tr­íc khi thùc hiÖn ®Ò tµi: + 65 % häc sinh kh«ng t×m ®­îc tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh . + 70% häc sinh cßn lóng tóng víi viÖc gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit . + 70% häc sinh ch­a n¾m ®­îc mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i. B. Néi dung I. §Þnh nghÜa ph­¬ng tr×nh logarit . Ph­¬ng tr×nh logarit lµ ph­¬ng tr×nh ch÷a Èn ë sè mò d­íi dÊu logarit II. Ph­¬ng tr×nh logarit ®¬n gi¶n nhÊt. ( 0 0 ) ( 0 < a ) C¸ch gi¶i : III. Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit th­êng gÆp. Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng mét c¬ sè. Ph­¬ng ph¸p mò ho¸. Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô. Ph­¬ng ph¸p vËn dông tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè logarit . IV. KiÕn thøc cÇn nhí. x¸c ®Þnh víi mäi x d­¬ng ( 0 < a 1 ) ; ; ; > 0 . ( ) ( ) C¸c c«ng thøc ®æi c¬ sè. ( 0 0 ) Mét sè tÝnh chÊt Hµm logarit ®ång biÕn khi a > 1 ; nghÞch biÕn khi 0 < a < 1. VI. VÝ dô vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i : Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng mét c¬ sè VÝ dô 1: Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau Gi¶i. KÕt luËn : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 5. Chó ý : Mét sè b¹n lËp luËn lµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn : ®iÒu nµy lµ kh«ng cÇn thiÕt. V× biÓu thøc b»ng biÓu thøc , ta ®· cã nªn kh«ng cÇn ph¶i cã . Hai vÕ cña ph­¬ng tr×nh cïng lµ logarit c¬ sè 10, ®iÒu nµy ®· cã s½n, trong nhiÒu ph­¬ng tr×nh chóng ta ph¶i biÕn ®æi ®Ó ®­a vÒ cïng mét c¬ sè. VÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) Gi¶i. §iÒu kiÖn : (1) KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta nhËn ®­îc nghiÖm . Chó ý : Dâ rµng ta ®· dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®Ó ®­a vÒ cïng mét c¬ sè, ë ®©y lµ cïng c¬ sè 5. C«ng thøc logarit ®· dïng lµ : vµ . VÝ dô 3 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh Gi¶i. §iÒu kiÖn : Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : (1) Tr­êng hîp 1 : (1) Tr­êng hîp 2 : ( lo¹i ) ( lo¹i ) (1) ( do ) ) KÕt luËn : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt . Chó ý : BiÕn ®æi vÒ cïng c¬ sè 3. nÕu n lµ sè ch½n : nÕu n lµ sè lÎ. VÝ dô 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 Gi¶i. §iÒu kiÖn : Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : KÕt luËn : KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ph­¬ng tr×nh cã ngiÖm . VÝ dô 5 : Gi¶i vµ biÖt luËn ph­¬ng tr×nh 2. (5) Gi¶i. §iÒu kiÖn : (5) . . Víi ta cã : ph­¬ng tr×nh (5) v« nghiÖm ph­¬ng tr×nh (5) cã nghiÖm kÐp ph­¬ng tr×nh (5) cã hai nghiÖm ph©n biÖt V× a > 4. Chó ý : Bµi to¸n nµy kh«ng khã, nh­ng cÇn kiÓm tra c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1 hay kh«ng . VÝ dô 6 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh Gi¶i. §iÖu kiÖn : Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi : KÕt luËn : Víi ®iÒu kiÖn suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ : Chó ý : C«ng thøc logarit : . Hai c¸ch viÕt sau lµ kh¸c nhau : Hµm sè x¸c ®Þnh . NÕu cho lµ th× hµm sè x¸c ®Þnh V× vËy cÇn chó ý c¸ch viÕt nh­ thÕ ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh cho ®óng . Ph­¬ng ph¸p mò ho¸ VÝ dô 1 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) Gi¶i. §iÒu kiÖn : x > 0 (1) KÕt luËn : Víi ®iÒu kiÖn suy ra nghiÖm ph­¬ng tr×nh lµ . Chó ý : Ph­¬ng ph¸p mò hãa còng t­¬ng tù nh­ ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng c¬ sè C«ng thøc logarit : . VÝ dô 2 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh . Gi¶i. §iÒu kiÖn : . Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : KÕt luËn : Víi ®iÒu kiÖn trªn suy ra nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh . Chó ý : Tr­íc khi mò ho¸ cÇn rót gän vÕ tr¸i. Muèn vËy c¸c logarit ph¶i cã cïng c¬ sè. NÕu quªn ®iÒu kiÖn sÏ lÊy nghiÖm lµ sai. V× c«ng thøc : chØ ®óng víi b > 0, c > 0. VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh . Gi¶i. §iÒu kiÖn : . Víi ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n Víi x > 1 ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi §Æt : suy ra a > 1. Ta cã : (®iÒu kiÖn x 1, x < a KÕt luËn : Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm trong ®ã . Chó ý : Sö dông c«ng thøc ®æi c¬ sè logarit . VÝ dô 4 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh Gi¶i. §iÒu kiÖn : Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi KÕt luËn : Víi ®iÒu kiÖn trªn th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý : Bµi to¸n n¸y kh«ng khã, nh­ng nÕu kh«ng cã ®iÒu kiÖn mµ kÕt luËn nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ sai. ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô VÝ dô 1 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh Gi¶i. §iÒu kiÖn : . Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi §Æt . Ta cã ph­¬ng tr×nh Suy ra : KÕt luËn : Víi ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm . Chó ý : CÇn biÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ®· cho ®Ó xuÊt hiÖn yÕu tè ®Æt Èn phô VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph­¬ng tr×nh Gi¶i. Víi ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n Víi . §iÒu kiÖn cña ph­¬ng tr×nh lµ . Ph­¬ng tr×nh ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi : §Æt ( do nªn ) Suy ra ph­¬ng tr×nh : Suy ra : , KÕt luËn : Víi ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n Víi ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm : . VÝ dô 3 : Gi¶i ph­¬ng tr×nh . Gi¶i. Cã thÓ viÕt l¹i ph­¬ng tr×nh trªn nh­ sau : (1) §iÒu kiÖn : Theo ®iÒu kiÖn trªn ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi : §Æt . Ta cã ph­¬ng tr×nh Víi ( lo¹i ) (lo¹i) Víi KÕt luËn : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm . Chó ý : §iÒu kiÖn cña c¬ sè a trong c«ng thøc lµ . ¸p dông c«ng thøc : . VÝ dô 4: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh : cã 2 nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : . Gi¶i. Ph­¬ng tr×nh cã thÓ viÕt l¹i : (1) §Æt : (1) §Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm . Ph­¬ng tr×nh (2) ph¶i cã nghiÖm , ®iÒu kiÖn lµ : . Chó ý : Khi ®Æt th× lËp luËn vµ ¸p dïng tÝnh ®¬n ®iÖu cña hµm sè . Chñ yÕu vËn dông kiÕn thøc vÒ tam thøc bËc hai . §Ó so s¸nh víi hai nghiÖm cña tam thøc víi : nÕu nÕu ViÖc t×m m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n dÉn ®Õn viÖc gi¶i mét hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh kh¸ phøc t¹p, do ®ã cÇn n¾m ®­îc ph­¬ng ph¸p gi¶i hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh . VÝ dô 5 : Cho ph­¬ng tr×nh : (1) 1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 2. 2. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n Gi¶i. 1. Víi m = 2 ta cã §iÒu kiÖn x > 0. §Æt ( ) Suy ra ph­¬ng tr×nh Èn t . Lo¹i nghiÖm . suy ra tho¶ m·n KÕt luËn : Víi m = 2 ph­¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm 2. §iÒu kiÖn x > 0. §Æt ta cã (2) Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm . VËy ph­¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm khi vµ chØ khi (2) cã nghiÖm . Hµm sè lµ hµm t¨ng trªn . Ta cã vµ . Ph­¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm thuéc . KÕt luËn : Gi¸ trÞ m cÇn t×m lµ . Chó ý : Ta chuyÓn viÖc t×m ®iÒu kiÖn cña m ®èi víi ph­¬ng tr×nh Èn x sang t×m ®iÒu kiÖn cña m ®èi víi ph­¬ng tr×nh Èn t. ë trªn ta ®· ¸p dông tÝnh biÕn thiªn cña hµm sè . Còng cã thÓ lµm b¾ng c¸ch ¸p dông kiÕn thøc vÒ tam thøc bËc hai. Mét sè bµi tËp Bµi 1. Cho ph­¬ng tr×nh (1) X¸c ®Þnh tham sè m ®Ó ph­¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm tho¶ m·n . Bµi 2. Gi¶i ph­¬ng tr×nh sau Bµi 3. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 4. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 5. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 6. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 7. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh : cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 9. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Bµi 10. Gi¶i ph­¬ng tr×nh a. b. Bµi 11. Gi¶i ph­¬ng tr×nh a. b. Bµi 12. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc kho¶ng (0;1). Bµi 13. Gi¶i ph­¬ng tr×nh a. b. Bµi 14. Gi¶i ph­¬ng tr×nh Tµi liÖu tham kh¶o S¸ch gi¸o khoa líp 11t¸c gi¶ TrÇn V¨n H¹o Gi¶i ®Ò thi ®¹i häc t¸c gi¶ Lª Quang ¸nh §Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc, cao ®¼ng toµn quèc t¸c gi¶ TrÇn TuÊn §iÖp §Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc, cao ®¼ng trong toµn quèc t¸c gi¶ NguyÔn Träng B¸ . C¸c bµi gi¶ng luyÖn thi m«n to¸n t¸c gi¶ Phan §øc ChÝnh. Muc lôc A. Më ®Çu LÝ do chän ®Ò tµi Thùc tr¹ng Sè liÖu ®iÒu tra 1 B. Néi dung §Þnh nghÜ ph­¬ng tr×nh logarit Ph­¬ng tr×nh logarit ®¬n gi¶n nhÊt 2 Mét sè ph­¬ng ph¸p gi¶i ph­¬ng tr×nh logarit th­êng gÆp 3 KiÕn thøc cÇn nhí 3 Ph­¬ng ph¸p ®­a vÒ cïng mét c¬ sè 4 Ph­¬ng phap mò ho¸ 8 Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô 11 Bµi tËp 16 Tµi liÖu tham kh¶o 18 DuyÖt cña Ban Gi¸m hiÖu Tr­êng THPT Nam L­¬ng S¬n Nam L­¬ng S¬n ngµy 21 th¸ng 05 n¨mg 2006 Ng­êi viÕt NguyÔn Duy §øc