'Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối tìm cực trị của một số biểu thức một biến chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. Đặt vấn đề Trong chương trình toán THCS có một số dạng toán hay mà học sinh rất lúng túng trong khi giải, trong số đó là dạng toán tìm cực trị của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = . Để giải bài toàn này hầu hết giáo viên đều hướng dẫn học sinh sử dụng bất đẳng thức , nhưng việc nhớ và vận dụng bất đẳng thức này cũng không phải là dễ đối với học sinh hơn nữa việc chỉ ra khi nào thì dấu đẳng thức xảy ra là rất khó đối với các em. Tuy nhiên ta có thể hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài toán này một cách đơn giản mà chỉ sử dụng chính ngay tính chất của giá trị tuyệt đối mà các em đã được học trong chương trình SGK lớp 7. Đó chính là lí do mà tôi viết đề tài này. Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khá giỏi của nhà trường trong việc giải một số bài toán về tìm cực trị của một số biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, khi học sinh đã được trang bị bất đẳng thức qua đề bài sau. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = *Thống kê kết quả: Lớp 5đ- 6,5đ 7đ - 7,5 đ 8đ - 10đ SL % SL % SL % 7A 17 42.5 17 42.5 0 0 7B 20 50 13 32.5 0 0 *) Nhận xét: Sau khi kiểm tra các lớp 7A, 7B của trường tôi thấy học sinh còn tồn tại như sau: - Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về tìm cưc trị dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối, còn thiếu xót nhiều hoặc sai lầm khi chỉ ra dấu đẳng thức. - Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. II. giải quyết vấn đề A - Khái niệm giá trị tuyệt đối và một số tính chất 1) Khái niệm Giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu , là khoảng cách từ điểm x tới điểm 0 trên trục số. 2) Tính chất +) +) dấu '' = '' xảy ra khi x = 0 +) dấu '' = '' xảy ra khi x 0 B - Một số bài toán minh hoạ 1) Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải: Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 3 = 0 x = -3 => => Amin = 5 khi x = -3 Tăng số dấu giá trị tuyệt đối ta có các bài toán Bài toán 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 3 0 x -3 dấu '' = '' xảy ra khi 2 - x 0 x 2 => A = = x + 3 + 2 - x + 5 = 10 Amin = 10 khi -3 x 2 Khi giải bài này nhiều học sinh làm sai bởi không xảy ra dấu'' ='' đồng thời ví dụ như: ; => A = 5 Bài toán 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 3 0 x -3 dấu '' = '' xảy ra khi x - 1 = 0 x = 1 dấu '' = '' xảy ra khi 4 - x 0 x 4 => A = x + 3 + 0 + 4 - x - 3 = 4 => Amin = 4 khi x = 1 Khi giải bài toán này nhiều em lúng túng không biết làm thế nào, nhiều em làm sai giống như sai lầm ở bài trên, có em sử dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối nhưng sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, biểu thức cuối cùng vẫn còn chứa x. Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : Ta có A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 2 0 x -2 dấu '' = '' xảy ra khi x - 4 0 x 4 dấu '' = '' xảy ra khi 5 - x 0 x 5 dấu '' = '' xảy ra khi 6 - x 0 x 6 => A = x + 2 + x - 4 + 5 - x + 6 - x + 3 = 12 =>AMin = 12 khi 4 x 5 Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 1 0 x -1 dấu '' = '' xảy ra khi x - 2 0 x 2 dấu '' = '' xảy ra khi x - 3 = 0 x = 3 dấu '' = '' xảy ra khi 7 - x 0 x 7 dấu '' = '' xảy ra khi 8 - x 0 x 8 => A = x + 1 + x - 2 + 0 + 7 - x + 8 - x + 10 = 24 =>AMin = 24 khi x = 3 Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x - 1 0 x 1 dấu '' = '' xảy ra khi x - 2 0 x 2 ..... dấu '' = '' xảy ra khi x - 1004 0 x 1004 dấu '' = '' xảy ra khi 1005 - x 0 x 1005 dấu '' = '' xảy ra khi 1006 - x 0 x 1006 .... dấu '' = '' xảy ra khi 2008 - x 0 x 2008 =>A = x - 1 + x - 2 +...+ x- 1004 + 1005 - x + 1006 - x + ... + 2008 - x -10 = 1004.1004 - 10 = 1008006 =>AMin = 1008006 khi 1004 x 1005 Bài toán 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x - 1 0 x 1 dấu '' = '' xảy ra khi x - 3 0 x 3 ..... dấu '' = '' xảy ra khi x - 1003 0 x 1003 dấu '' = '' xảy ra khi x - 1005 = 0 x = 1005 dấu '' = '' xảy ra khi 1007 - x 0 x 1007 dấu '' = '' xảy ra khi 1009 - x 0 x 1009 .... dấu '' = '' xảy ra khi 2009 - x 0 x 2009 =>A = x -1 + x - 3 +...+ x - 1003 + 0 + 1007 - x + 1009 - x + ... + 2009 - x - 1000 = 1006.502 - 1000 = 505 012 - 1000 = 504 012 =>AMin = 504012 khi x =1005 Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = Với Giải: Trường hợp: n = 2k A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x - a1 0 x a1 dấu '' = '' xảy ra khi x - a2 0 x a2 ..... dấu '' = '' xảy ra khi x - ak 0 x ak dấu '' = '' xảy ra khi ak + 1 - x 0 x ak + 1 dấu '' = '' xảy ra khi ak + 2 - x 0 x a k + 2 .... dấu '' = '' xảy ra khi a2k - x 0 x a2k =>A = x -a1 + x - a2 + ...+ x - ak + ak + 1 - x + ak + 2 - x + ... + an - x + 10 = ( ak + 1 + ak + 2 + ... + an ) - (a1 + a2 + ...+ ak ) + 10 =>AMin = ( ak + 1 + ak + 2 + ... + an ) - (a1 + a2 + ...+ ak ) + 10 khi ak x a k + 1 Trường hợp: n = 2k + 1 A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x - a1 0 x a1 dấu '' = '' xảy ra khi x - a2 0 x a2 ..... dấu '' = '' xảy ra khi x - ak 0 x ak dấu '' = '' xảy ra khi x - ak + 1 = 0 x = ak + 1 dấu '' = '' xảy ra khi ak + 2 - x 0 x a k + 2 .... dấu '' = '' xảy ra khi a2k + 1 - x 0 x a2k + 1 =>A = x - a1 + x - a2 + ...+ x - ak + 0 + ak + 2 - x + ... + ak + 1 - x + 10 = ( ak + 2 + ak + 3 + ... + a2k + 1 ) - (a1 + a2 + ...+ ak ) + 10 =>AMin = ( ak + 2 + ak + 3 + ... + a2k + 1 ) - (a1 + a2 + ...+ ak ) + 10 khi x = a k + 1 Bài toán 8 là bài toán tổng quát của các bài toán trên. Qua các bài toán ta thấy: Nếu số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ( bên trong dấu giá trị tuyệt đối là các nhị thức hệ số của biến là 1 hoặc -1 ) mà chẵn ( như ở bài 2, 4, 6 ) thì ta chỉ cần sử dụng tính chất và làm sao để đảm bảo sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, biểu thức sau cùng không còn chứa biến, dấu "=" xảy ra được.Trong trường hợp số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối mà lẻ ( như bài 1, 3, 5, 7) thì sử dụng cả hai tính chất và và, làm sao để đảm bảo sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, biểu thức sau cùng không còn chứa biến, dấu "=" xảy ra được. Trong trường hợp hệ số của biến khác 1 hoặc -1 thì ta phải tách thành hai hoặc nhiều hơn làm sao để đảm bảo sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, biểu thức sau cùng không còn chứa biến và dấu "=" xảy ra được ví dụ như trong các bài toán sau. Bài toán 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải A = = 2 = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi x + 0 x - dấu '' = '' xảy ra khi x + = 0 x = - dấu '' = '' xảy ra khi 3 - x 0 x 3 => A = x + + 0 + 3 - x + 125 = 129,5 => AMin = 129,5 khi x = - Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = Ta có dấu '' = '' xảy ra khi 3x + 2 0 x - dấu '' = '' xảy ra khi - 3x 0 x dấu '' = '' xảy ra khi 2x - = 0 x = => A = 3x + 2 + - 3x + 0 + 15 = 19,4 => AMin = 19,4 khi x = Bài toán 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = 2 = = dấu '' = '' xảy ra khi 0 x - dấu '' = '' xảy ra khi 0 x dấu '' = '' xảy ra khi 0 x - dấu '' = '' xảy ra khi 0 x 0 dấu '' = '' xảy ra khi = 0 x = => A = + + + + 0 - 15 = - => AMin = - khi x = Bài toán 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = Giải : A = = = = = dấu '' = '' xảy ra khi 0 x - dấu '' = '' xảy ra khi 0 x dấu '' = '' xảy ra khi 0 x dấu '' = '' xảy ra khi 0 x 0 dấu '' = '' xảy ra khi = 0 x = => A = + + ()( ) + ()() +().0 + = = => AMin khi x = C - Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1. A = Với 2. B = 3. C = 4. D = Với và III. Kết quả thực hiện: 1) Kết quả cụ thể: Sau khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về đề tài này. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = . Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = . Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = *Thống kê kết quả: Lớp 5 đ – 6,5 đ 7đ - 7,5 đ 8 đ - 10đ SL % SL % SL % 7A1 1 2.5 12 30 27 67.5 7A2 2 5 12 30 26 65 2) Kết quả chung: Sau khi triển khai đề tài với các lớp học khá, giỏi của trường tôi thấy so với trước khi triển khai chuyên đề học sinh có một số tiến bộ sau: - Học sinh đã biết cách trình bày lời giải bài toán tìm cực trị một cách khoa học hơn, chỉ ra điều kiện của biến để xảy ra cực trị rõ ràng và chính xác hơn . - Học sinh giải có thể tự ra đề bài và nêu được hướng giải bài toán dạng trên. - Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác, tự tìm tòi kiến thức mới. IV. Bài học kinh nghiệm: Sau khi triển khai kinh nghiệm 'Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối tìm cực trị của một số biểu thức một biến chứa dấu giá trị tuyệt đối'' tại nhà trường tôi đã rút ra một số bài học sau: - Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả cần phải dạy cách học, cách tìm tòi kiến thức mới dựa trên nhứng kiến thức đã biết và phát triển các kiến thức đã học, việc tìm phương pháp giải một bài toán như thế nào để học sinh cảm thấy đơn giản, dễ hiểu. Từ đó học sinh sẽ có hứng thú học tập và tích cực tự nghiên cứu nhiều hơn. - Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất. kết luận và kiến nghị Như đã trình bày đề tài này sau khi được áp dụng trong các buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc các buổi ngoại khoá môn Toán lớp 7 tôi thấy nội dung nêu ra có tác dụng thiết thực: - Bổ sung thêm kiến thức cho học sinh và phát triển tư duy toán - Gợi mở cho học sinh hướng vận dụng tính chất của giá trị tuyệt đối giải các bài toán liên quan đến giá trị tuệt đối. Trên cơ sở các kết quả đã đạt được tôi dự kiến hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài như sau: - Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến cực trị của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ở mức độ rộng hơn, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập. - Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập được vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán mới. Trên đây là toàn bộ nội dung kinh nghiệm ''Sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối tìm cực trị của một số biểu thức một biến chứa dấu giá trị tuyệt đối ''. Kính đề nghị Hội đồng khoa học các cấp xem xét đánh giá và rút kinh nghiệm cho tôi. Tôi cũng rất mong các đồng chí nghiệp vụ cấp trên quan tâm hơn nữa đến việc viết và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm bằng cách trao đổi, phổ biến các kinh nghiệm, sáng kiến được đánh giá cao ở cấp huyện và cấp tỉnh trong các đợt sinh hoạt chuyên môn, nghiệp vụ. Tôi xin trân trọng cảm ơn !