Tuyển tập các dạng bài tập trong đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Đặng Văn Long

Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11. Phần 1. Lượng giác: A. Phương trình lượng giác. tan2 x tan x 2 1. Giải phương trình: sin x tan2 x 1 2 4 2. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1004  8sin2 x.cos x 3 sin x cos x 0 sin x 6 3. Giải phương trình: cos3x sin3x cos x sin x 4. Giải phương trình: 8sin2 x.cos x 3 sin x cos x 0 5. Giải các phương trình sau: a) cos4 x 2cos 2x 2sin2 x 3 b) sin 2x.cos 2x 4sin x.cos2 x 3sin 2x cos 2x 2cos x 3 0 6. Giải phương trình: cos 2x 2sin 2x 11sin x 2cos x 6 7. Giải phương trình: cos4 x sin6 x cos 2x 3 8. Giải phương trình: 2 2 cos 2x sin 2x.cos x 4sin x 0 4 4 3 9. Giải phương trình: 8cos x cos3x 3 1 10. Giải phương trình: sin2010 x cos2010 x sin2012 x cos2012 x 2 3 1 cot x 11. Giải phương trình: 3tan 2x 2. 2cos 2x 0 cos 2x 1 cot x 3 12. Giải phương trình: sin3 x sin3 3x sin3 5x sin x sin 3x sin 5x 13. Giải phương trình: sin 2x 2 sin 3x cos 2x 8 14. Giải phương trình: cot x tan3 x sin3 2x 15. Giải phương trình: 2sin2 x 3 sin 2x 1 3 cos x 3 sin x 16. Giải phương trình: 2cos x 3 sin x cos x 1 1 17. Giải phương trình: 3x 11 3x 3 sin 2sin 4x 2sin x 3cos 2 5 3 5 2 5 x 18. Giải phương trình: 2 sin x 3 .cos4 sin x 1 cos x 3cos x 1 0 2 1 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 19. Giải phương trình: 2 0 2sin x 1 sin 3x cos3x 4cos 2x 3 20. Giải phương trình: 1 2sin x 1 3x x 21. Giải phương trình: 2 2 cos .sin 4cos x 3 0 2 4 2 22. Giải phương trình: 2tan2x 2sin2x 3cot x x x 2 2 x 23. Giải phương trình: sin .sin x cos .sin x 1 2cos 0 2 2 4 2 x 24. Giải phương trình: cos x 3 sin x 3 cos 3 sin x 4 2 25. Giải phương trình: sin 3x cos x.cos 2x tan 2x tan2 x 3 4 2sin 2x 26. Giải phương trình: 2 3 2(cot x 1) cos2 x sin 2x 1 5 27. Giải phương trình: cos x.cos 2x 3 sin 3x cos3x cos x 2 2 28. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên khoảng 0;2016 3 2 2 cos 2x sin 2x.cos x 4sin x 0 4 4 29. Giải phương trình: 2sin x cot x 2sin 2x 1 30. Giải phương trình: sin 3x sin 2x.sin x 4 4 31. Giải phương trình: 3 sin 2x cos 2x 1 3 sin x 3cos x 1 32. Giải phương trình: cos 2x 3 sin 2x 1 sin x 3 cos2 x cos3 x 1 33. Giải phương trình: cos 2x tan2 x cos2 x 3 sin 2x cos 2x 5sin x (2 3)cos x 3 3 34. Giải phương trình: 1 2cos x 3 35. Giải phương trình: 2000sin4 x 2015cos3 x 2015 36. Giải phương trình: 2sin x sin 4x cos 2x sin 6x sin 2x 4 37. Giải phương trình: 2 1 2cos 2x .cos3x 1 3 38. Giải phương trình: 2sin x .cos 2x.cos6x 3cos 3x 4 4 2 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. 39. Giải phương trình: cos x cos3x 1 2 sin 2x 4 40. Giải phương trình: 1 tan x .cos3 x 1 cot x .sin3 x 2sin 2x 41. Giải phương trình: sin 2x 3 cos 2x 2 3 sin x cos x 1 3 42. Giải phương trình: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 43. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 44. Giải phương trình: cos3 x sin3 x 3 sin x cos x 2 2 45. Giải phương trình: 2 2sin 2x tan x cot 2x 3tan 2x 46. Giải phương trình: 2 3.sin 2x 3 2 sin 2x 1 47. Giải phương trình: 1 sin 2x cos 2x 2 sin x cos x 2 48. Giải phương trình: cos 2x cos 4x 6 2sin 3x 49. Giải phương trình: 3 6cos x 2 2cos3x 2cos x 2 50. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên đoạn 0;1007  : 8sin2 x.cos x 3 sin x cos x 0 7 3 sin x 3 cos x 2 2 3 2 tan x 2 51. Giải phương trình: 3tan 2x 4cos2 x 2 cos 2x 1 tan x 52. Giải phương trình: 3 4sin2 x 3 4sin2 3x 1 2cos10x x sin 3x 53. Giải phương trình: 2sin2 sin x 2cos x .tan 2x 2 cos 2x 54. Giải phương trình:sin 2x 2 sin x 2cos x 2 2cos2 x 3sin x 3 55. Giải phương trình: 0 tan x 1 x 3x 3x 56. Giải phương trình: 2sin sin cos 3 4cos x 2 2 2 57. Giải phương trình: sin2 x cos x.cos3x sin x.cos 2x 0 3 3 58. Giải phương trình: sin x .sin 3x cos 3x .cos x 0 4 4 B. Hệ thức lượng trong tam giác. 1. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện: A B C A B C 1 cos .cos .cos sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 2 3 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 sin A sin B cosC 2 . 2 3. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn: cos A cos B cosC 2(cos A.cos B cos B.cosC cosC.cos A) Chứng minh tam giác ABC đều. 4. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin A sin B sin C 1 . A B C cos cos cos 2 2 2 5. Cho tam giác ABC thỏa mãn: A B C . Tính các góc của tam giác đó khi biểu 2 thức sau đạt GTNN: P 2cos 4C 4cos 2C cos 2A cos 2B . 6. Giả sử A, B, C, D lần lượt là số đo các góc DAB,ABC,BCD,CDA của tứ giác lồi ABCD. A B C a) Chứng minh rằng: sin A sin B sin C 3sin 3 A b) Tìm GTLN của biểu thức P sin sin B sin C sin D 3 25 7. Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có: 2sin3 A sin2 B sin2 C 8 1 cos B 2c a 8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn: . sin B 4c2 a2 a) Chứng minh tam giác ABC đều. b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,AB với đường tròn ( I). BE cắt đường tròn ( I) tại điểm thứ hai là K. Biết BE 9 2 và K là trung điểm BE. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. 9. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn: sin2 B sin2 C sin B.sin C sin2 A . Tìm GTNN của biểu thức P cot A cot B cot C . A B C 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: tan2 tan2 tan2 1 . Chứng minh tam giác 2 2 2 ABC đều. 11. Nhận dạng tam giác biết: a) sin(A B).cos(A B) 2sin A.sin B . cos(B C) b) tan B sin A sin(C B) cos A cos B cosC 5 c) 3 4 5 12 4 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. cos A cos B cosC 2 d) 2 2 2 cos A cos B cos C 1 sin B ( 2 cosC)sin A e) sinC ( 2 cos B)sin A sin A sin B 1 f) (tan A tan B) cos A cos B 2 sin2 A sin2 B sin A sin B g) C cos A cos B tan 2 12. Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ khi: cotC 2(cot A+cot B) . b2 a2 ac 13. Cho tam giác ABC thỏa mãn: . Chứng minh rằng các góc của tam giác lập 2 2 c b ba thành một cấp số nhân. 5 14. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết cos2 A cos2B cos2C . 4 15. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức : 8cos Asin Bsin C 4 3(sin A cos B cosC) 17 0 Tính các góc của tam giác đó. cos B cosC 16. Cho tam giác ABC thỏa mãn: sin A sin B sinC Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. 17. Cho tam giác ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm. 1 Chứng minh rằng: MA2 MH 2 AH 2 BC 2 . 2 sin2 A sin2 B sin2 C 18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M trong đó A, B, C là các cos2 A cos2B cos2C góc của tam giác ABC. tan5 A tan5 B tan5 C 19. Tam giác ABC thỏa mãn 9 . Chứng minh rằng tam giác ABC tan A tan B tanC đều. 20. Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C. 1 1 1 a) Tìm GTNN của biểu thức M 2 cos2A 2 cos2B 2 cos2C b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là 1 1 1 (cot A cot B cotC) 3 . sin A sin B sinC 21. Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có: 5 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. cos Acos B cos B cos C cos C cos A 2 A B B C C A 3 sin sin sin sin sin sin . A B B C C A 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos cos cos 3 2 2 2 2 2 2 22. Cho tam giác ABC thỏa mãn: cos2 B cos2 C sin2 A . Tìm GTLN của biểu thức: A A B C F 2 sin4 2 cos2 cos2 cos2 . 2 2 2 2 Phần 2. Giới hạn hàm số. 2 x 1 3 8 x 1. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x 1 2014x.3 1 2015x 1 2. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x 3x 1.3 2 x 2 3. Tìm giới hạn sau: lim x 1 x 1 4 x.3 1 2x 2 4. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x 5 2x 2 x 1 2x 3 5. Tìm giới hạn sau: lim x 2 2x 3 6x 3 2x 3 2x x 2 6. Tìm giới hạn sau: lim x 1 2 x 1 x 3 1 x2 4 1 2x 7. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x2 x x 2x 1 3 3x 2 2 8. Tìm giới hạn sau: lim x 1 x2 1 x2 1 1 9. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x2 9 3 1 2x 3 1 3x 10. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x2 2x 1.3 2.3x 1.4 3.4x 1...2013 2012.2013x 1 1 11. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x 3x 2 3 x2 2 12. Tìm giới hạn sau: lim x 2 x 2 3 1 x2 1 2x 13. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x2 x x2 2012 3 1 2x 2012 4x 1 14. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x 6 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. 1 2x.3 1 3x 1 4x 15. Tìm giới hạn sau: lim x 0 1 x 1 2x 3 3x 4 2x 3 16. Tìm giới hạn sau: lim x 1 x3 2x2 x x2014 2014x 2013 17. Tìm giới hạn sau: lim x 1 (x 1)2 18. Tìm giới hạn sau: lim 49x2 x 16x2 x 9x2 x x 1 2x 3 1 3x 19. Tìm giới hạn sau: lim x 0 x2 3 4x 20 20. Tìm giới hạn sau: lim , x 2 x 2 4 x2 Phần 3. Dãy số và các bài toán liên quan. 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) , biết dãy số (un ) được xác định như sau: u 1 1 u2 2 5u 2u u n n 1 ,n 2. n 1 3 sin n 2. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1 sin1; un un 1 ,n N,n 2. n2 Chứng minh rằng (un ) là một dãy số bị chặn. u 3 1 3. Cho dãy số 2n 1 u u , n N* n 1 n 1 n n 1 a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) . b) Tìm n để n.un là số chính phương. u 2006, u 2009 1 2 4. Cho dãy số (u ) có 5u 2u n u n 1 n , n N* n 2 3 u1 2 5. Cho dãy số (u ) có u2015 u 1 n u n n , n N* n 1 2014 un un 3 a) Chứng minh: un 1,n N và (un ) là dãy số tăng. n 1 b) Tìm lim  2014 i 1 ui 2 7 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. 6. Cho dãy số xn được xác định như sau; x1 1 1 2013 xn 1 xn , n 1. 2 xn Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim xn . n u1 2011 n 7. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 2011 ,1 n 2011 . un 1  uk n k 1 Hãy tính giá trị của tổng: u1 u2 u3 ... u2011 u0 1; u1 6 8. Cho dãy số (u ) không xác định như sau: n * un 2 3un 1 2un 0, n N u Tính lim n . 3.2n u 4 1 9. Cho dãy số (u ) được xác định như sau: 1 n u u 4 4 1 2u , n N* n 1 9 n n Tìm công thức tổng quát của un . n 10. Cho dãy số (un ) có u1 2039; un 1 un 2 2011, n 1. Hãy tính giá trị của tổng: Sn u1 u2 u3 ... un 2 11. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: u1 2011; un 1 n un 1 un , n 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. 12. Cho dãy số (un ) được xác định bởi công thức: u1 4 2 4un 1 5un 3 un 16, n 1. a) Tìm công thức tổng quát của số hạng un . u u u u b) Tính tổng: 1 2 3 ... 12 212 211 210 21 u1 16 13. Cho dãy số có (un ) 15 n.un 1 un 1 14 ,n 1 n 1 Tìm số hạng tổng quát un . 14. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u 2 1 n n2 1 u u 2u ... n 1 u , n 1,n N n 1 2 n 1 8 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. 9 Tìm lim n3 n .u 2 n 4 a1 15. Cho dãy số an thỏa mãn: 3 2 2 n 2 an n an 1 n 1 an.an 1 ,n 1,n N Tìm lim an . u1 1; u2 3 16. Cho dãy số (u ) được xác định bởi ,n 3. n n un 5un 1 6un 2 5.2 Tìm công thức tổng quát của un . u1 3 17. Cho dãy số (u ) được xác định bởi n * 2un 1 un 1, n N S Gọi S là tổng của n số hạng đầu của dãy (u ) .Tìm lim n . n n 3n 14 u1 2 18. Cho dãy số (u ) được xác định bởi n 2 * u1 u2 ... un n .un n N 2 Tìm lim n .un . u1 1 19. Cho dãy số (u ) được xác định bởi 2 n un * u u , n N n 1 n 2016 u1 u2 un Tìm giới hạn : lim ... . u2 u3 un 1 u0 2015 n 1 20. Cho dãy số (un ) được xác định bởi 2015 ,1 n. . un  uk n k 0 2015 n Hãy tính giá trị A  2 .un . n 0 x1 1 x 21. Cho dãy xn được xác định bởi n . xn 1 2 2 3 xn a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số x n . x2 b) Chứng minh rằng số n 2 có thể biểu diễn được tổng bình phương của 3 số 2 x2n nguyên liên tiếp. 9 Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11. u 2 1 22. Cho dãy số (u ) được xác định bởi u 1 . n u n , n N* n 1 2 Hãy tìm số hạng tổng quát un và tìm limun . u1 1; u2 3 23. Cho dãy số (u ) được xác định như sau: n * un 2 3un 1 2un , n N u .u u2 Tìm giới hạn: lim n n 2 n 1 . n 2 u1 2; u2 1 24. Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 2.un.un 2 * un 1 , n N un un 2 Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) . u1 5 25. Cho dãy số (u ) được xác định bởi n 2 * un 1 un 2, n N 2 2 Chứng minh rằng un 21 u1.u2...un 1 không đổi khi n thay đổi. n 26. Cho dãy số (un ) có u1 2032; un 1 un 2.3 2015, n 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) và tính giá trị của tổng: Sn u1 u2 u3 ... un . u 1 2 1 27. Cho dãy số (un ) được xác định bởi un 1 5un un * . Tìm công thức un ,n N 4un 1 5 n u1 u2 ... un 2016 28. Cho cấp số nhân, công bội q > 0 , u1 0 thỏa mãn: 1 1 1 ... 2015 u1 u2 un Tính P u1.u2...un un 29. Cho dãy số (un ) được xác định bởi u1 1, un 1 ,n 1,2,3... . Tính giới hạn sau: un 1 2014 u1 1 u2 1 ... un 1 lim 2015n 1 30. Cho dãy số được xác định như sau: u , u u2 u ,n N* . Chứng minh rằng 1 2 n 1 n n dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. u1 11 31. Cho dãy số (un ) được xác định bởi un 1 10un 1 9n, n N Tìm công thức tổng quát un . 10