Bài giảng số 01: Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 1 BÀI GIẢNG SỐ 01: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.  Kiến thức cơ bản: Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta thường sử dụng các phương pháp sau:  Phương pháp 1: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (P).       d a d b d P a, b P a b I           Phương pháp 2: Để chứng minh đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta chứng minh cho nó song song với một đường thẳng đã vuông góc với mặt phẳng đó.     b P a P a / /b      Phương pháp 3: Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến của chúng thì đều vuông góc với mặt phẳng kia.   (P) (Q) (P) (Q) Δ a P a Δ          Phương pháp 4: Nếu 2 mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3, thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 đó.   (P) (R) (Q) (R) Δ R (P) (Q) Δ         Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 2  Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC và tam giác ABC vuông ở B. a) Chứng minh  BC SAB . b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh  AH SBC . Giải: a) Ta có:       SA ABC SA BC 1 BC ABC     Mặt khác, ∆ABC vuông tại B nên:  BC BA 2 và   SA AB A 3  Từ (1),(2) và (3) ta có  BC SAB . b) Ta có:       BC SAB BC AH 4 AH SAB     Mặt khác, theo giả thiết  SB AH 5 và   SB BC B 6  Từ (4), (5) và (6) ta có  AH SBC . Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng BC (ADI) b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng AH (BCD) . Giải: a) Ta có   AB AC AI BC 1 IB IC     Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 3 và   DB DC DI BC 2 IB IC     . Mặt khác,   AI DI I 3  .Vậy từ (1), (2) và (3) ta có: BC (ADI) . b) Ta có       BC ADI AH BC 4 AH ADI        Mà AH DI (5) và   BC DI I 6  . Vậy từ (4), (5) và (6) ta có: AH (BCD) Ví dụ 3: Cho hìmh chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; Tam giác SCD vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác SIJ b) Chứng minh rằng: SI (SCD), SJ (SAB)  c) Gọi H là hình chiếu của S trên IJ. Chứng minh rằng SH AC Giải: a) Ta có: SA SB AB a AB 3 a 3 SI IA IB 2 2           và SC SD SC SD SJ CD a CD a 2 2            ; IJ=AB=a. b) *) Ta có:     SJ CD CD CD SIJ CD SI 1 IJ         Mặt khác, 2 2 2 2 2a 3 aSI SJ a IJ 2 2                 ∆SIJ vuông tại S   SI SJ 2 CD SJ J      Từ (1) và (2) ta có: SI (SCD) *) Ta có:     SI AB AB AB SIJ AB SJ 3 IJ         Mặt khác, ∆SIJ vuông tại S   SI SJ 4 AB SI I      Từ (3) và (4) ta có: SJ (SAB) c) Ta có SH IJ mà     CD SIJ SH CD SH SIJ     Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 4 và     SH ABCD CD IJ J SH AC AC ABCD       Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= a 3 , mặt bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= a 5 . a) Chứng minh: SA (ABCD) . Tính SA=? b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: AK (SBC) ; AL (SCD) . c) Tính diện tích tứ giác AKHL=? Giải: a) Ta có:   BC BA BC (SAB) BC SA 1 BC BS           DC DA DC (SAD) DC SA 2 DC DS         Từ (1) và (2) SA (ABCD)  và SA a 2 b) Trong (SBC) gọi: SB HI {K} K SB (HIJ)     . Trong (SAD) gọi: SD HJ {L} L SD (HIJ)     . Ta có: BC AK (1) mà: IJ IJ ( ) IJ AC IJ         SA SAC SC Mặt khác, SC AH SC (HIJ) SC AK (2)    Từ (1) và (2) ta có: AK (SBC) . Tương tự cho AL (SCD) c) Tứ giác AKHL có: ;AL KH AL LH  nên: AKHL 1 (AK.KH AL.LH) 2 S   Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 5 Vậy : 2 AKHL 8a 15 S   Bài tập tự luyện: Bài 1: Tứ diện SABC có  SA mp ABC . Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh  HK SBC . Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA ABC ( ) và tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN SB SC  . Chứng minh rằng: a)  BC SAB và  AM SBC b) SB AN Bài 3: Cho mp(P) và điểm 0 không nằm trên mp(P). H là hình chiếu của 0 lên mp(P). Trên mp(P) lấy 2 đường thẳng Ax, Ay không qua H . Đường thẳng vuông góc với mp(O,Ax) tại O cắt mp(P) tại M, đường thẳng vuông góc với mp(0,Ay) tại O cắt mp (P) tại N. HN cắt Ax tại B. a) CMR : H là trực tâm ABC b) CMR : OAmp(OMN) c) CMR : BC// MN. Bài 4: Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn. b) Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC. c) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    . Biên soạn: ThS. Trịnh Hào Quang Công ty cổ phần công nghệ Helios Việt Nam Địa chỉ: Số 4, ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Khương Mai, Thanh Xuân, Hà nội. ==================Hết================= Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian. Bài giảng độc quyền bởi Page 6