Bài giảng số 1: Quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang Bài giảng số 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 090 . Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai. Tức là: a b c b c a      .  Định lý: Nếu đường thẳng  d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng  P thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong  P .  Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu trên mặt phẳng  P là đường thẳng a . Khi ấy, một đường thẳng b nằm trong  P vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a . Tức là:  a b P a b    . B. CÁC VÍ DỤ MẪU  Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc sử dụng việc tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a  ) vuông góc với đường thẳng b (với vtcp b  ), ta lựa chọn theo hướng: Hướng 1: Chứng minh   0, 90a b  , trong nhiều trường hợp chúng ta sử dụng tích vô hướng. Hướng 2: Sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng. Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC . P a b c d b a' a  Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang b) Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BD sao cho MA kMB   và ND k NB   . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC . Giải: a) Cách 1: Gọi I là trung điểm của BC , ta có: BC IA , BC ID ,  . . . 0AD BC ID IA BC ID BC IA BC              AD BC  . Cách 2: Vì các ABC , DBC cân tại A và D nên:   BC AI BC IAD BC AD BC DI       . b) Từ giả thiết MA kMB   và ND k NB   , suy ra MN AD     0, , 90MN BC AD BC   . Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD . Chứng minh rằng AO vuông góc với CD . Giải: Qua O dựng đường thẳng song song với CD , cắt BC , BD theo thứ tự tại E và F , M là trung điểm của CD suy ra:   ,AO CD AOF . Ta có: EF CD BE BF BC BD OE OF MC MD         Xét ABE và ABF , ta có:   060 BE BF AB chung ABE ABF        ABE ABF  AE AF  AEF cân tại A AO EF   090AOF  AO CD  . Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD . Chứng minh rằng: a) . . . 0AB CD AC DB AD BC         . Từ đó, suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB CD và AC DB thì AD BC . b) Nếu . . .AB AC AC AD AD AB        thì AB CD , AC BD , AD BC . Điều ngược lại có đúng không? c) Nếu AD BD CD  và   ADB BDC CDA  thì AD BC , AC DB , AB CD . Giải: a) Ta lần lượt có:    . . . 3AB CD AB AD AC AB AD AB AC              DB C A I N M FB C A E N M D O B C A D Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang    . . . 3AC BD AC AD AB AC AD AC AB                 . . . 3AD BC AD AB AC AD AB AD AC              Cộng theo vế  3 ,  3 và  3 , ta được: . . . 0AB CD AC DB AD BC         . Khi đó, với điều kiện AB CD và AC DB thì: . 0AB CD    và . 0AC DB    . 0AD BC    AD BC  . b) Ta có:  . . . 0AB CD AB AD AC AB AD AB AC              AB CD  Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: AC BD , AD BC . Vì các phép biến đổi trên là tương đương nên điều ngược lại cũng đúng. c) Ta có:    2 2. . . cos cos 0AD BC AD AB AC AD AB AD AC AD CDA AD ADB                AD BC  . Chứng minh tương tự ta cũng nhận được: AC DB , AB CD . Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. SAB và SAD là các tam giác vuông tại A . a) Chứng minh rằng SA vuông góc với BC và CD . b) Chứng minh rằng SA vuông góc với AC và BD . Giải: a) Ta có: BC AD BC SA AD SA      , CD AB CD SA AB SA      . b) Trên tia SA lấy điểm S  sao cho AS AS  , ta có: AB , AD đều là trung trực của SS  BS BS   và DS DS   . .SBD S BD c c c   OS OS   OSS  cân tại O OA SS   AC SA  . Trong  CSS  kẻ Ox song song với SS  và cắt SC , S C theo thứ tự tại E , F và là trung điểm của mỗi đường, ta có ngay: EF SA . Mặt khác, vì  . .SBC S BC c c c  BE BF  BEF cân tại B OB EF  BD SA  . Ví dụ 5: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC D  có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O . Chứng minh rằng AB OO và tứ giác CDD C  là hình chữ nhật. Giải: a) Giả sử hình vuông có cạnh bằng a , ta có: D CB A E F S O S' D C A B C' D' O O' Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang   0 0 . . . 2 2. .cos 45 . .cos 45 0 2 2 AB OO AB AO AO AB AO AB AO a aa a                   AB OO  . b) Nhận xét rằng: CD AB  và C D AB    5C D CD          0, , 90 5DCC DC CC AB OO      Từ  5 và  5 suy ra tứ giác CDD C  là hình chữ nhật.  Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực. Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vuông góc với nhau, ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng b . Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc. Cách 3: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp đã học trong hình học phẳng. Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng  ABC và có ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng  SAB kẻ AM vuông góc với SB tại M . Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN SB SC  . Chứng minh rằng: a)  BC SAB và  AM SBC . b)  MN SAB , từ đó suy ra SB AN . Giải: a) Ta lần lượt có:   BC SA BC SAB BC AB     ,   AM SB AM SBC AM BC     . b) Từ giả thiết: SM SN SB SC  MN BC   MN SAB  MN SB   SB AMN  SB AN  . Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có  SA ABC , các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC . Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy. b)  SC BHK . C B A S M N Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang c)  HK SBC . Giải: a) Gọi  E AH BC  , ta có: BC AE BC SA     BC SAE  BC SE  SE là đường cao của SBC K SE  . Vậy ba đường thẳng AH , SK , BC đồng quy tại E . b) Ta có: BH AC BH SA     BH SAC  BH SC  . Mặt khác, ta có: BK SC . Do đó  SC BHK . c) Do  SC BHK nên HK SC . Mà HK BC . Do đó  HK SBC . Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên  ABC . a) Chứng minh rằng  BC OAH ,  CA OBH ,  AB OCH . b) Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC . c) Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC    . d) Chứng minh rằng các góc của ABC đều nhọn. Giải: a) Từ giả thiết  OH ABC OH BC  . Ta có: OA OB OA OC     OA OBC  OA BC  . Do đó  BC OAH . Chứng minh tương tự ta nhận được  CA OBH ,  AB OCH . b) Từ kết quả câu a) ta có:  BC OAH BC AH  .  AC OBH AC BH  . Vậy H là trực tâm của ABC . c) Giả sử AH cắt BC tại K , suy ra OK BC . Trong OBC vuông tại O , ta có: 2 2 2 1 1 1 OK OB OC   . Trong OAK vuông tại O , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 OH OA OK OA OB OC      . d) Giả sử OA a , OB b , OC c . C B A S H E K C B O A H K Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang Xét các ABO , BCO , ACO đều vuông tại O , ta có: 2 2 2 2 2AB OA OB a b    , 2 2 2 2 2BC OB OC b c    , 2 2 2 2 2AC OA OC a c       2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 cos 0 2 . 2 . a b a c b cAB AC BCBAC AB AC a b a c            BAC nhọn. Chứng minh tương tự, ta được các góc ABC và ACB đều nhọn. Vậy các góc của ABC đều nhọn. Ví dụ 9: Hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh SA a và vuông góc với mặt phẳng  ABCD . a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Mặt phẳng   đi qua A và vuông góc với cạnh SC lần lượt cắt SB , SC , SD tại B , C , D . Chứng minh B D  song song với BD và AB vuông góc với SB . Giải: a) Ta có ngay, SAB và SAD vuông tại A . Từ giả thiết:  SA ABCD SA BC  . Mặt khác, ta có: AB BC vì ABCD là hình vuông. Suy ra  BC SAB BC SB  SBC vuông tại B . Chứng minh tương tự ta được SDC vuông tại D . b) Nhận xét rằng:  . .SAB SAD c g c  SB SD   . Trong SBD có: SB SD SB SD    B D BD   . Ta có:  SC  SC AB  . Mà  BC SAB BC AB  . Do đó,  AB SBC AB SB    . Ví dụ 10: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC , SD . a) Chứng minh rằng  BC SAB ,  CD SAD . b) Chứng minh rằng  SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng. d) Chứng minh rằng  SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK AI . e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA AB a  . B C A D S O D' B' C' E B C A D S O K H I E Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang Giải: a) Từ giả thiết SA BC  . Mặt khác, ta có: AB BC vì ABCD là hình vuông. Suy ra  BC SAB . Chứng minh tương tự ta được  CD SAD . b) Từ giả thiết  SA ABCD SA BD  . Mặt khác, ta có: AC BD vì ABCD là hình vuông. Do đó  BD SAC tại trung điểm O của BD . Vậy  SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BD . c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được: AH SB AH BC     AH SBC  AH SC  . Chứng minh tương tự ta được AK SC . Như vậy, vì AH , AI , AK cùng vuông góc với SC nên ba đường thẳng AH , AI , AK cùng chứa trong một mặt phẳng qua A và vuông góc với SC . d) Giả sử HK cắt AI tại E . Nhận xét rằng:  . .SAB SAD c g c  SH SK  . Trong SBD , ta có: SH SK SB SD  HK BD  và E là trung điểm của HK . Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra  HK SAC tại trung điểm E của HK . Vậy  SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ kết quả  HK SAC suy ra HK AI . e) Ta có: 1 . 2AHIK S AI HK . Trong SAC vuông tại A , ta được: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2AI SA AC a a     6 3 aAI  . Trong SBD , ta được: 1 2 SH SK SB SD   HK là đường trung bình 2 2 aHK  . Vậy 21 6 2 3. . 2 3 2 6AHIK a a aS   . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có I là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây: a) AB và BC ĐS:   0120AB,BC    b) CI và AC ĐS:   0150CI , AC    Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Tặng Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Nguyễn Thị Trang Bài 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và .OA OB OC a   Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC HD: Sử dụng  12OM OA OB     và BC OC OB     sau đó sử dụng tính cosin giữa hai vectơ từ đó tính toán để suy ra 120o. Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. a) Hãy phân tích các vectơ 'AC và BD theo ba vectơ AB , AD và A'A . b) Tính ),'cos( BDAC và từ đó suy ra 'AC và BD vuông góc với nhau. Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a) AB và B’C’ ĐS:   090AB,B' C'  b) AC và B’C’ ĐS:   045AC,B' C'  c) A’C’ và B’C ĐS:   060A' C',B' C  Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC a     và 2aBC  . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB. Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC  và   .ASB BSC CSA  Chứng minh rằng: a) SA BC b) SB AC c) SC AB Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu ABADADACACAB ...  thì BCADBDACCDAB  ,, . Điều ngược lại có đúng không? Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB vuông góc với AC , AB vuông góc với BD. Gọi P, Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, CD sao cho QDkQCPBkPA  , 1( k ) . Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau. Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và các góc  'ABC B BA  0' 60 .B BC  Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Bài 10: Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC , DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA BC a,  DB AC b,  DC AB c.  Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD  và   0 060 , 90 .BAC BAD CAD   Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: a) CDAB  b) IJ AB,IJ CD. 