Các dạng toán về nghiệm nguyên- Áp dụng cho toán thcs

A- đề bài Bài 1 Tìm số nguyên n sao cho n + 4 chia hết cho n + 1. Bài 2: Tìm n Z để là số nguyên. Bài 3: Tìm số nguyên n, sao cho 3n + 4 chia hết cho n +1 Bài 4: Tìm x nguyên để M= có giá trị nguyên. Bài 5: Với giá trị nào của x thì giá trị của biểu thức sau là số nguyên: Bài 6:Tìm giá trị của t để phương trình có nghiệm là số dương: Bài 7:Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: Bài 8:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x2-3x + 9 = -xy+2y Bài 9: Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố. Bài 10: Cho P = Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 11. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: (Pt và bài toán với nghiệm nguyên – NXB giáo dục) Bài 12: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x6 + 3x3 + 1 = y4  Bài 13: Tìm các số nguyên x và y sao cho x3+x2+x+1=y3 (PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình) Bài 14: Tìm các số nguyên nghiệm đúng phương trình sau:(x2 + 1) (x2 + y2) = 4x2y. Bài 15: Tuyển tạp các bài toán chọn lọc) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 16: Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: a) b) Bài 17: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x thoả mãn: | x-3 | + | x-10 | + | x+101 | + | x+990 | + | x+1000 | = 2004(Báo toán học tuổi trẻ năm 2004) Bài 18: Tìm nghiệm nguyên sau đó lấy nghiệm nguyên dương của phương trình2x + 5y = 48 (Giáo trình thực hành giải toán) Bài 19: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy-2x-3y+1=0 Bài 20: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 4 Bài 21: ( Sáng tác) Cho phơng trình bậc hai : x2 + 3x + 1 - p2 = 0 ( p là tham số ) Hãy tìm các giá trị nguyên của p để phương trình có nghiệm nguyên Bài 22: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn phương trình: (17x – 1)(7x – 1)(6x – 1)(5x – 1) = 1920. Bài 23: Tìm số tự nhiên n để: n2 + 6n + 2608 là số chính phương Bài 24. Cho phân số A ( ) a)Tìm để A có giá trị nguyên. b)Tìm để A là phân số tối giản. Bài 25:Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 26:. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x + xy + y = 4 Bài 27: Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho : chia hết cho x-7 Bài 28: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Bài 29: Tìm các số nguyên x sao cho () chia hết cho Bài 30: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 31: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: Bài 32: Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn phương trình : x4+(x+1)4=y2+(y+1)2 Bài 33: Cho P = Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Bài 34 Cho biểu thức:A = - + (với x 3) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên. Bài 35:Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: Bài 36: Cho Biểu thức: B = Tìm các số nguyên a để B là số nguyên. Bài 37: Cho biểu thức: Tìm các số nguyên a để M là số nguyên. Bài 38: Cho biểu thức B = a)Rút gọn biểu thức B b) Tính a Z để B Z Bài 39 Tìm a , b , c biết : a = ; b = ; c = Bài 40 :Tìm 4 số nguyên dương x,y,z,t thoả mãn Bài 41: Cho B = a, Tìm các số nguyên a để B là số nguyyên. b, Chứng minh rằng với a = thì B là số nguyên. c, Tìm các số hữu tỷ a để B là só nguyên. B- đáp án Bài 1:n + 4 = (n + 1) + 3 Ư(3) = {} Vậy n {-4;-2;0;2} Bài 2: Với n Z , để là số nguyên thì 3n - 2 chia hết cho 2n + 1 mà 2n +1 chia hết cho 2n + 1 do đó 3(2n + 1) - 2(3n - 2) chia hết cho 2n + 1 hay 7 chia hết cho 2n + 1, hay 2n + 1 là ước của 7 Suy ra 2n {1 ; 7} Vậy n = 0 ; - 1 ; 3 ; - 4 Bài 3: Ta có 3n + 4 = 3n + 3 + 1 = 3(n + 1) + 1 Do 3(n + 1) n + 1 nên để 3n + 4 n + 1 thì 1 n + 1 hay n + 1 là ước của 1 mà các ước của 1 là 1 Nếu n + 1 = 1 suy ra n = 0 ; Nếu n + 1 = - 1 suy ra n = - 2 Vậy với n {0 ; - 2} thì 3n + 4 n +1 Bài 4: M= 2+ Do xzMz thì và x2 +2 >0 x2+2=1 Ư(6) Nếu x2+2 =1 x2=-1 <0 loại ; x2+2 =2 x2=0 x=0 x2+2=3 x2 =1 x= ; x2 +2 =6 x2=4 x= Vậy giá trị x cần tìm làx. Bài 5: Ta có: B = B = ĐKXĐ x ạ Vì x ẻZ nên 3x-1 ẻ Z do đó b ẻZ Û Û -5(3x-1) Û 3x-1 là ước của (-5) Ư(-5) ẻ {±1; ±5}Nếu 3x-1 = 1 thì x = (loại) Nếu 3x-1 =-1 thì x=0 ị B=5 (TMĐK) ; Nếu 3x –1 =5 thì x=2 ị B= -1 (TMĐK) Nếu 3x-1 =-5 thì x= (loại) ; Vậy các giá trị nguyên của x cần tìm là : x ẻ {0 ; 2} Bài 6:đkXĐ: x-1 Với t = 4 phương trình (2) vô nghiệm ;Với t phương trình (2) có nghiệm x= ( TM đk x) Để phương trình có nghiệm dương x> 0 2<t<4 Hoặc (loại)Vậy với 2<t<4 thì phương tình (1) có nghiệm là số dương Bài 7:P =x2-1-. Vì xZ nên x2 -1Z để P Z Z Vì xZ nên 2x Z ; x2+x+1Z Do đó Z 2x(x2+x+1) 2(x2+x+1) - 2x(x+1)(x2+x+1) (2x2+ 2x +2-2x2-2x)(x2+x+1) 2(x2+x+1) x2 + x +1 là ước của 2 Ư(2) {±1; ±2} mà x2 + x + 1 = với mọi x nên x2 + x + 1=1 x(x+1) = 0 x=0 hoặc x= -1 x2 + x + 1=2 x2 + x –1 = 0 x= (loại) hoặc: (loại) Thử lại:Với x= 0 thì P = -1 (TM) ; Với x = -1 thì P = 2 (TM) Vậy có 2 giá trị nguyên của x thoả mãn x {0; -1} Bài 8:x2 –3x +9 = -xy+2y ; x2 –3x +9 +xy-2y = 0 ; x2 –2x+xy-2y-x+2+7 = 0 x(x-2) + y(x-2) – (x-2) =-7 ; (x-2)(x+y-1) = -7 Vì x,y Z+ nên x-2 > -7 và x-2 là ước của (-7) Ư(-7) lớn hơn (-7) là ±1; 7 TH1: (loại) TH2: TH3: (loại) .Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x=1; y=7) Bài 9: Ta có: A = n4 + 4 = ( n2+2 )2 – 2n2 = ( n2 – 2n + 2 )(n2 +2n + 2 ) * n = 0 ị A = 0 không là số nguyên tố ; n = 1 ị A = 5 là số nguyên tố * Với n > 1 ta có: A = (( n – 1)2 + 1 )((n + 1)2 + 1 ) Rõ ràng: n2 – 2n + 2 và n2 +2n + 2 là những số tự nhiên lớn hơn 1 nên A là hợp số. Vậy với n = 1 thì A là số nguyên tố. Câu 10: (x2 – 4) ( x3 + 4) P = ắắắắắắắắắắắắắ (X4 – 16 – 4x3 – 8x2) – ( 16x – 32) (x – 2) (x + 2) ( x2 + 4) = ắắắắắắắắắắắắ (x – 2) ( x3 – 2 x 2 + 4x – 8) (x – 2) ( x + 2) ( x2 + 4) x + 2 4 = ắắắắắắắắắắắắ = ắắắ = 1 + ắắắ (x – 2)2 ( x2 + 4) x – 2 x – 2 4 Từ biểu thức: p = 1 + ắắắ ta thấy x – 2 Để p nhận giá trị nguyên khi cho biến x giá trị nguyên thì x – 2 phải chia hết cho 4 tức x – 2 phải nhận một trong các giá trị ± 1; ± 2; ± 4. Do đó x phải lấy giá trị thuộc tập hợp M = { - 2; 0; 1; 3; 4; 6 } Bài 11 Để thì lẻ mà: ( Khi đó (*) có dạng: x1 = 2; x2 = - 4 Vậy các cặp số: (2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1) thoả mãn điều (*) Nên nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (2;1) ; (-4;1) (2;-1); (-4;-1) Bài 12: Với x > 0, ta có : (x3 + 1 )2 = x6 + 2x3 + 1 < x6 + 3x3 + 1 = y4  còn ( x3 + 2 )2  = x6+ 4x3 + 4 > x6+ 3x3 + 1 = y4  => ( x3 + 1)2 < y4 < ( x3 + 2 )2  nên y Z ( 0,25đ) Với x - 2, ta có : x3 + 3 < 0 nên ( x3 + 2 )2 = x6 +4x3 + 4 < x6 + 3x2  + 1 = y4  ( x3 + 1 )2  = x6 + 2x3 + 1 = x6 + 3x2 + 1 - x3 > y4 => ( x3 + 2 )2  y Z với x = - 1 => y4 = - 1 ( vô lý ) với x = 0 => y4 = 1 => y = 1 Phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên ( 0 ; 1 ) và ( 0 ; - 1 ) Bài 13: Ta thấy x2+ x +1 >0 nên x3< y3 , do đó x<y Xét 2 trường hợp: Xét y=x+1 ta có x3+ x2+ x +1 = (x+1)3 Giải phương trình trên: 2x2+2x= 0 nên x1= 0; x2= -1 (0,25đ) b) Xét y>x+1 ta có x3+ x2+ x +1 > (x+1)3 2x(x+1) < 0 -1< x< 0 loại Vậy các số x,y cần tìm là: x=0 thì y=1; x =-1 thì y=0 Bài14: (x2 + 1) (x2 + y2) = 4x2y Û x4 + x2 y2 + x2 + y2 - 4x2y = 0 Û x4 + y2 - 2 x2y + x2 - 2x2 y = 0 Û (x4 - 2x2y + y2) + x2 (y2 - 2y + 1) = Û ( x2 - y)2 + x2 ( y - 1)2 = 0 Đẳng thức xảy ra khi x2 - y = 0 và x = 0 hay y = 1 Do đó x = 0 ị y = 0 ; Nếu y = 1 ị x2 = 1 ị x = ± 1 Vậy các số nguyên nghiệm đúng phương trình đã cho là:(x=0; y=0) hay(x=1y=1) hay (x = - 1; y = 1) Bài 15: Không có số nào trong 4 số x,y,z,t bằng 1 vì một trong 4 số bằng 1: GS: x=1 thì Trong 4 số x,y,z,t cũng không có số nào lớn hơn hoặc bằng 3. Thật vậy giả sử chọn x=3; y=z=t=2 thì: Vậyx,y,z,t là các số nguyên lớn hơn 1 nhỏ hơn 3. nghiệm duy nhất của bài toán là: x=2; y=2; z=2; t=2. Bài 16: a)(1 điểm) Từ đẳng thức ta có x= Từ đó suy ra y=6; x=2 là nghiệm nguyên dương của hệ phương trình b) Giả sử x>0 thoả mãn bài toán . Khi đó (1điểm) *) Với y=1,2,3 không t tại lời giải *) Với y=4 thay vào đẳng thức ta có y=9 *) Với y=5 thay vào đẳng thức ta có y=6 Vì vai trò của x, y là bình đẳng nên ta có các cặp số (x=9,y=4); (x=6; y=5); (x=4; y=9); (x=5; y=6) Bài 17: Vì |a| =|-a|. Do đó |x- 3| = |3-x| và |x-10| =|10-x| (0,25đ) Phương trình đã cho tương đương với |3-x| + |10-x| +|x+101| +|x+990| +|1000| = 2004 (0,25đ) Mặt khác |a| ≥ a nên | | Vì Thay vào pt đã cho Bài 18: (0,5 đ) Để x nguyên phải có hay y = 2tThay vào x ta có: x = -4t + 24 –t hay x = 24 – 5t Ta được nghiệm nguyên của phương trình là: (0,5 đ) Để x,y nguyên dương phải có: hay (0,5 đ) Vậy t = 1;2;3;4 tương ứng có 4 nghiệm nguyên dương (19;2) ; (9;6) ; (14;4) ; (4;8). Bài 19: Ta có: xy-2x-3y+1 = 0 y nguyên nguyên • x-3 = 1 x=4 y=7 • x-3 = -1 x=2 y=-3 (loại) • x-3 = 5 x=8 y=3 • x-3 = -5 x=-2 y=1 (loại) Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: (4;7) và (8;3) (0,5 đ) Bài 20: Ta có: x + xy + y = 4 ú x + xy + y + 1 = 5 ú (x + 1)(y + 1) = 5 (1) Vì x , y nguyên nên từ (1) suy ra các trường hợp sau: x + 1 = 5 x + 1 = 1 x + 1 = -1 x + 1 = -5 y + 1 = 1 y + 1 = 5 y + 1 = -5 y + 1 = -1 Giải và tìm được các nghiệm (4;0); (0;4); (-6;-2); (-2;-6) Bài 21: x2+3x +1 -p2 = 0 x2 +3x + 1 = p2 giả sử để p]ơng trình có nghiệm nguyên x0 . Nếu x0 > 0 ta có : x02 + 4x0 +4 > x02 +3x0 +1 > x02 +2x0 +1 (x0+2)2 > p2 > (x0 +1 )2 điều này không xảy ra nên không tồn tại p để phương trình có nghiệm nguyên dương . Nếu x0 < -3 khi đó x02 +2x0 +1 > x02 + 3x0 +1 > x02 +4x0 +4 (x0 +1)2 > p2 > (x0+2)2 Vậy không tồn tại p để phơng trình có nghiệm nguyên âm nhỏ hơn -3 . Nếu x0 = -3 p2=1 p = 1 Nếu x0 = -2 p2 = -1 điều này không xảy ra Nếu x0 = -1 p2 = -1 loại Nếu x0 = 0 p2 = 1 p = 1 Vậy p = 1 thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên Bài 22: Nhận thấy nghiệm nguyên của phương trình không thể là các số nguyên x Ê -1. Thật vậy: Với x Ê -1 ta có: 1 – 17x ³ 18; 1 –7x ³ 8; 1 – 6x ³ 7; 1- 5x ³ 6. Suy ra: (17x – 1)(7x – 1)(6x – 1)(5x – 1) = (1 – 17x)(1 – 7x)(1 – 6x)(1 – 5x) ³ 18. 8. 7. 6 > 1920. * Nhận thấy nghiệm nguyên của phương trình không thể là các số nguyên x > 1. Thật vậy: Với x > 1 ta có: 17x – 1 > 16; 7x – 1 > 6; 6x – 1 > 5; 5x – 1 > 4. Suy ra : (17x – 1)(7x – 1)(6x – 1)(5x – 1) > 16. 6. 5. 4 = 1920. Vậy nghiệm nguyên x của phương trình phải thoả mãn – 1 < x Ê 1. Thử trực tiếp x = 0 và x = 1 ta thấy x =1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Bài 23: (2 điểm) vì: n2 + 6n + 2608 > 502 => m >50 ú (n+3 - m)(n+3+m) = -2599= -23 .113 = -1.2599 n + 3-m = -23 n + 3-m = -1 ú n + 3 + m = 113 hoặc n + 3 + m = 2599 ú n = Bài 24. a) ( 0,5đ) có gá trị nguyên n-3 ( 0,5 đ) n-3 1 -1 2 -2 4 -4 n 4 2 5 1 7 -1 Vậy n= ( 0,5đ) b)Muốn cho là phân số tối giản thì ƯCLN ( n+1; n-3) phải bằng một ( 0,5đ) Ta có : ( n+1; n-3) = 1 ( n-3; 4 ) = 1 ( 0,5đ) n-3M 2 n là số chẵn ( 0,5đ) Bài 25: Giả sử (x, y, z, t) là một nghiệm nguyên dương của phương trình. Không mất tính tổng quát giả sử x ³ y ³ z ³ t >0 => Vì nên hay t = 1;2;3;4 * Với t = 1 dễ thấy không xảy ra. (0,25 điểm) * Với t = 2 => => ta lại thấy hay z Ê 6 vì z ³ t => z = 2;3;4;5;6. +) Với z = 2 => vô lí +) Với z = 3 => => ta lại suy ra y Ê 12 => y = 3;4;5;6;7;8;9;10;11;12. - Lần lượt thử với y= 3 ;4; 5; 6; 11 đều bị loại. - Lần lượt thử với y = 7;8;9;10;12 thỏa mãn và tương ứng là các nghiệm: (42; 7; 3; 2), (24; 8; 3; 2), (18; 9; 3; 2), (15; 10; 3; 2), (12; 12; 3, 2). +) Với z = 4 tương tự như trên => y Ê 8 => y = 4;5;6;7;8. - Lần lượt thử với y = 4; 7 đều bị loại - Lần lượt thử với y = 5; 6; 8 thỏa mãn và tương ứng là các nghiệm: (20; 5; 4; 2), (12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2) +) Với z = 5 tương tự như trên => y Ê 20/3 => y = 5;6 - Lần thử với y = 6 bị loại - Lần lượt thử với y = 5 thỏa mãn và nghiệm là: (10; 5; 5; 2) +) Với z = 6 tương tự như trên => y Ê 6 => y =6 - Thử với y =6 thỏa mãn và nghiệm là : (6; 6; 6; 2) (0,5 điểm) *Với t = 3 => => ta lại thấy hay z Ê 9/2 vì z ³ t => z = 3;4. +) Với z = 3 tương tự như trên => y Ê 6 => y = 3; 4;5;6. - Lần lượt thử với y = 3; 5 đều bị loại - Lần lượt thử với y = 4; 6 thỏa mãn và tương ứng là các nghiệm: (12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3) +) Với z = 4 tương tự như trên => y Ê 24/5 => y = 4. - Thử với y = 4 thỏa mãn và nghiệm là : (6; 4; 4; 3) (0,5 điểm) * Với t = 4 => => ta lại thấy hay z Ê 4 vì z ³ t => z = 4 +) Với z = 4 tương tự như trên => y Ê 4 => y = 4. - Thử với y = 4 thỏa mãn và nghiệm là : (4; 4; 4; 4) (0,5 điểm) Phương trình đã cho có các nghiệm nguyên dương là: (42; 7; 3; 2), (24; 8; 3; 2), (18; 9; 3; 2), (15; 10; 3; 2), (12; 12; 3, 2). (20; 5; 4; 2), (12; 6; 4; 2), (8; 8; 4; 2) (10; 5; 5; 2) (6; 6; 6; 2) (12; 4; 3; 3), (6; 6; 3; 3) (6; 4; 4; 3) (4; 4; 4; 4) cùng với các hoàn vị của chúng. Bài 26:. Ta có: x + xy + y = 4 ú x + xy + y + 1 = 5ú (x + 1)(y + 1) = 5 (1) Vì x , y nguyên nên từ (1) suy ra các trường hợp sau: x + 1 = 5 x + 1 = 1 x + 1 = -1 x + 1 = -5 y + 1 = 1 y + 1 = 5 y + 1 = -5 y + 1 = -1 (0,25 đ) Giải và tìm được các nghiệm (4;0); (0;4); (-6;-2); (-2;-6) Bài 27: Ta có: x3-344=x3-343-1=(x3-73)-1(x-7) (do ) Vậy thì x3-344 chia hết cho x-7 Bài 28 : Ta có: (mod 16) Thật vậy: Đặt x=2k+r (k Z; r=0;1) (mod 16) hay (mod 16) (đpcm) Như vậy: (mod 16) với Mà (mod 16) => phương trình đã cho không có nghiệm nguyên Bài 29: Ta có x3-8x2+2x=x(x2+1)-8(x2+1)+x+8 x2+1 => x+8 x2+1 => x2-64 x2+1=> - 65 x2+1 => x2+1 Ư(65) mà x2+11xZ =>x2+1{1;5;13} Thử lại ta được thì Bài 30: mà x nguyên dương => x-6-5 => x-6{-1;1;37} lập bảng x-6 -1 1 37 y-6 -37 37 1 x 5 7 (TM) 43(TM) y -31(loại) 43(TM) 7(TM) Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:S={(7;43);(43;7)} Bài 31: Phương trình đã cho tương đương với: Nhưng là số chính phương nên * Với là nghiệm * Với (loại) Kết luận:........... Bài 32: Giả sử cặp số nguyên ( x ; y ) thoả mãn phương trình : x4+(x+1)4=y2+(y+1)2(*) - Ta có phương trình (*) tương đương với phương trình :( x2 + x + 1 )2 = y2 + y + 1 (1) - Do x ; y nên vế trái của (1) là số chính phương , do đó vế trái của (1) cũng là số chính phương . - Nếu y > 0 ta có : y2 < y2 + y + 1 < ( y + 1 )2 (2) Không tồn tại số nguyên y nào thoả mãn (2) - Nếu y < -1 ; ta có : ( y + 1 )2 < y2 + y + 1 < y2 (3) Cũng không tồn tại số nguyên y nào thoả mãn (3) - Suy ra y = 0 hoặc y = -1 . Từ đó ta có ( x2 + x + 1 )2 = 1 suy ra x2 + x + 1 = 1 hoặc x2 + x + 1 = - 1 ; Nhưng x2 + x + 1>0 , do đó x2 + x + 1 = 1 ; suy ra x( x + 1 ) = 0 ; suy ra x = 0 hoặc x = -1 ; từ đó suy ra y = 0 hoặc y = -1. Kết luận :Tất cả các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:(0;0) ; ( 0 ; -1 ) ; ( -1 ; 0 ) ; ( -1 ; -1 ) . Bài 33: Từ biểu thức: p = ta thấy Để p nhận giá trị nguyên khi cho biến x giá trị nguyên thì x – 2 phải chia hết cho 4 tức x – 2 phải nhận một trong các giá trị ± 1; ± 2; ± 4. Do đó x phải lấy giá trị thuộc tập hợp M = { - 2; 0; 1; 3; 4; 6 } Bài 34: a) (2 điểm) A = = A = = b) (2 điểm) Ta có: A = Do đó A nhận giá trị nguyên khi x - 3 là ước của 6. => x - 3 = 1; 2; 3; 6. (0, 5điểm) . Vậy x và A nhận các giá trị như sau: x-3 -1 1 2 -2 3 -3 6 -6 x 2 4 5 1 6 0 9 -3 A -5 7 4 -2 3 -1 2 0 Bài 35 Ta có: Vậy (x = 1, y = 1, z = 1) Bài 36:Viết B về dạng: B = 1 + + Lý luận để B là số nguyên thì phải là số nguyên khi a là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đó là số nguyên. Suy ra là ước nguyên lớn hơn hoặc bằng –2 của 4. + Xét trường hợp tìm được a Bài 37: Ta có: Để M là số nguyên thì phải là số nguyên. Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ Do đó là số nguyên => +1 là ước tự nhiên của 5 . +1 1 5 0 4 A 0 16 M 6 2 Bài 38: B = B = với a 1 và a 2 b) B = = 2 + B nguyên khi nguyên Vậy với a = 3 thì B Z Bài 39 Tìm a , b , c biết : a = ; b = ; c = Nhận xét các số a ; b ; c là các số dương áp dụng bất đẳng thức cosi 1+ b2 2b a = = b (0 .5đ) 1 + c2 2c b = = c (0 .5đ) 1 + a2 2a c = = a (0 .5đ) Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1 (0 .25đ) Bài 40: Tìm 4 số nguyên dương x, y, z , t . thoả mãn : Không mất tính tổng quát , giả sử : x y z t (1) (0,25đ) (1) t = 1 , hoặc t = 2 (0,25đ) Với t =1 thì Vô lý (0,5đ) Với t = 2 thì Vậy z = 2 = (0,5đ) Nên x = y = z = t = 2 Bài 41: Cho B = a, Tìm các số nguyên a để B là số nguyyên. b, Chứng minh rằng với a = thì B là số nguyên. c, Tìm các số hữu tỷ a để B là só nguyên. Giải: a, M = . Để M nguyên thì nguyên .Ta biết rằng khi a là số nguyên thì hoặc là nguyên. ( nếu a là số chính phương). Hoặc là số vô tỉ ( nếu a không là số chính phương). Để là số nguyên thì không thể là số vô tỉ, do đó là số nguyên, suy ra : + 1 là ước tự nhiên của 5 ta có: + 1 1 5 0 4 a 0 16 B 6 2 b, Với a= thì B = (0,5đ). c, Ta có : B = . Để B là số nguyên thì phải là số nguyên. Đặt = n Z . Ta có: n + n = 5 do đó = (do n0). Giải điều kiện Ta được 0<n. Do n Z nên n Ta có N 1 2 3 4 5 4 0 a 16 0 B 2 3 4 5 6 Hoàn chỉnh câu c (1đ).