Chuyên đề 1: Phương pháp giải phương trình vô tỉ

CHUYÊN ĐỀ 1 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình Phương pháp Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : Ví dụ Giải phương trình sau : Giải: Đk Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút . Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : Bình phương hai vế ta có : Thử lại x=1 thỏa Nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : , thì ta biến đổi phương trình về dạng : sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận xét : , từ nhận xét này ta có lời giải như sau : Bình phương 2 vế ta được: Thử lại : l nghiệm Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : Mà có : thì ta biến đổi 2. Trục căn thức 2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích ta có thể giải phương trình hoặc chứng minh vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía vô nghiệm Ví dụ Bài 1 . Giải phương trình sau : Giải: Ta nhận thấy : v Ta có thể trục căn thức 2 vế : Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : Giải: Để phương trình có nghiệm thì : Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : Dễ dàng chứng minh được : Bài 3. Giải phương trình : Giải :Đk Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 2.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng , mà : ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : , khi đĩ ta có hệ: b) Ví dụ Bài 4. Giải phương trình sau : Giải: Ta thấy : không phải là nghiệm Xét Trục căn thức ta có : Vậy ta có hệ: Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= Bài 5. Giải phương trình : Ta thấy : , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt thì bài toán trở nên đơn giản hơn Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau : (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) 3. Phương trình biến đổi về tích Sử dụng đẳng thức Bài 1. Giải phương trình : Giải: Bi 2. Giải phương trình : Giải: + , không phải là nghiệm + , ta chia hai vế cho x: Bài 3. Giải phương trình: Giải: pt Bài 4. Giải phương trình : Giải: Đk: Chia cả hai vế cho : Dùng hằng đẳng thức Biến đổi phương trình về dạng : Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đk: khi đó pt đ cho tương đương : Bài 2. Giải phương trình sau : Giải: Đk: phương trình tương đương : Bài 3. Giải phương trình sau : Giải : pttt II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẦN PHỤ 1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt và chú ý điều kiện của nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .Nói chung những phương trình mà có thể đặt hoàn toàn thường là những phương trình dễ . Bài 1. Giải phương trình: Điều kiện: Nhận xét. Đặt thì phương trình có dạng: Thay vào tìm được Bài 2. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt thì . Thay vào ta có phương trình sau: Ta tìm được bốn nghiệm là: Do nên chỉ nhận các gái trị Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng. Đơn giản nhất là ta đặt : và đưa về hệ đối xứng (Xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì phương trình trở thnh: ( với Từ đó ta tìm được các giá trị của Bài 4. (THTT 3-2005) Giải phương trình sau : Giải: đk Đặt pttt Bài 5. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện: Chia cả hai vế cho x ta nhận được: Đặt , ta giải được. Bài 6. Giải phương trình : Giải: không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: Đặt t=, Ta có : Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau Nhận xét : đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với lại quá khó giải 2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: (1) bằng cách Xét phương trình trở thành : thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1) Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này . a) . Phương trình dạng : Như vậy phương trình có thể giải bằng phương pháp trên nếu Xuất phát từ đẳng thức : Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai giải “ nghiệm đẹp” Bài 1. Giải phương trình : Giải: Đặt Phương trình trở thành : Tìm được: Bài 2. Giải phương trình : Bài 3: giải phương trình sau : Giải: Đk: Nhận xt : Ta viết Đồng nhất thức ta được: Đặt , ta được: Ta được : Bài 4. Giải phương trình : Giải: Nhận xét : Đặt ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : Pt có nghiệm : b).Phương trình dạng : Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. Bài 1. giải phương trình : Giải: Ta đặt : khi đó phương trình trở thành : Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk . Bình phương 2 vế ta có : Ta có thể đặt : khi đó ta có hệ : Do . Bài 3. giải phương trình : Giải: Đk . Chuyển vế bình phương ta được: Nhận xét : không tồn tại số để : vậy ta không thể đặt . Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: . Đến đây bài toán được giải quyết . Các em hãy tự sáng tạo cho mình những phương trình vô tỉ “đẹp “ theo cách trên 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn Từ những phương trình tích , Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát . Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau . Bài 1. Giải phương trình : Giải: , ta có : Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đặt : Khi đó phương trình trở thnh : Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn : Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau Bài 3. Giải phương trình sau : Giải: Nhận xét : đặt , pttt: (1) Ta rút thay vào thì được pt: Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương . Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: Bài 4. Giải phương trình: Giải . Bình phương 2 vế phương trình: Ta đặt : . Ta được: Ta phải tách làm sao cho có dạng chính phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích 4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ Xuất phát từ đẳng thức , Ta có Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . Bài 1. Giải phương trình : Giải : , ta có : , giải hệ ta được: Bài 2. Giải phương trình sau : Giải . Ta đặt : , khi đó ta có : Bài 3. Giải các phương trình sau 5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ: 5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v Bài 1. Giải phương trình: Đặt Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: , giải hệ này ta tìm được . Tức là nghiệm của phương trình là Bài 2. Giải phương trình: Điều kiện: Đặt Ta đưa về hệ phương trình sau: Giải phương trình thứ 2: , từ đó tìm ra rồi thay vào tìm nghiệm của phương trình. Bài 3. Giải phương trình sau: Điều kiện: Đặt thì ta đưa về hệ phương trình sau: Vậy Bài 8. Giải phương trình: Giải Điều kiện: Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình: 5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ đối xứng loại II Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : Tương tự cho bậc cao hơn : Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ??? Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được. Giải phương trình: Điều kiện: Ta có phương trình được viết lại là: Đặt thì ta đưa về hệ sau: Trừ hai vế của phương trình ta được Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: Bài 6. Giải phương trình: Giải Điều kiện Ta biến đổi phương trình như sau: Đặt ta được hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: Nghiệm của phương trình là Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ? Dạng hệ gần đối xứng Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau : Bài 1 . Giải phương trình: Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước : Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được. Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng ) Ta có hệ : Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm Nên ta phải có : , ta chọn được ngay Ta có lời giải như sau : Điều kiện: , Đặt Ta có hệ phương trình sau: Với Với Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình như sau: khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn. Một cách tổng quát . Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được. Một số phương trình được xây dựng từ hệ. Giải các phương trình sau Giải (3): Phương trình : Ta đặt : Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này ! III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1. Dùng hằng đẳng thức : Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình : 2. Dùng bất đẳng thức Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk Ta có : Dấu bằng Bài 2. Giải phương trình : Giải: Đk: Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Dấu bằng Bài 3. giải phương trình: Ta chứng minh : và Bài tập đề nghị . Giải các phương trình sau 3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 3.1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc Bài tập IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình : , Rút gọn ta được phương trình Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau : Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được: = Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ? Bài 1. Giải phương trình : Giải: Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có Bài 2. Giải phương trình Giải . Đặt , ta có hệ : Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình Bài 3. Giải phương trình : V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 1. Một số kiến thức cơ bản: Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho Với mỗi số thực x có sao cho : Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán : Nếu : thì đặt với hoặc với Nếu thì đặt , với hoặc , với Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác x là số thực bất kỳ thi đặt : Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác ) 2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ? Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1) Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2) Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3) Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác . 3. Một số ví dụ Bài 1. Giải phương trình sau : Giải: Điều kiện : Với : thì (ptvn) ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : Bài 2. Giải các phương trình sau : HD: Đs: HD: chứng minh vô nghiệm Bài 3 . Giải phương trình sau: Giải: Lập phương 2 vế ta được: Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình. Bài 4. .Giải phương trình Giải: đk: , ta có thể đặt Khi đó ptt: Phương trình có nghiệm : Bài 5 .Giải phương trình : Giải: đk Ta có thể đặt : Khi đó pttt. Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm Bài tập tổng hợp Giải các phương trình sau (HSG Toàn Quốc 2002) (OLYMPIC 30/4-2007) CHUYÊN ĐỀ 2: bÊt ph­¬ng tr×nh chøa Èn trong c¨n + Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt. + Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán. + Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán. + Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp. Phương pháp I. Biến đổi tương đương: (Chỉ xét n chẵn) Dạng 1. < g(x) Dạng 2. g(x) D¹ng 3: Bài 1. Giải c¸c bất phương trình a) > x – 5 b) < 3 c) + < c) – < d) < 21 + x e) f) g) Phương pháp II. Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa): Bài 2. Giải bất phương trình a) + 2 3x + 4 (*) b) x + < x (1) trong đoạn [0; 1] c) (2x - 2) d) 5 e) x + f) g) + < 4x – 9 + 2 Phương pháp III: Phương pháp hàm số: Dạng f(x) > k ; f(u) > f(v) – không chứa tham số.( xét hàm số y = f(x)) Dang chứa tham số: Nhận xét.: Xét hàm số f(x), x D.Đặt M = , m = . f(x) có nghiệm x D M . f(x) đúng với x D m . f(x) có nghiệm x D m . f(x) đúng với x D M Bài 3) Giải bất phương trình: a) + 0) Bài 4) Tim m để bất phương trình + – m (*) có nghiệm. HD Đặt u = + , u [3; 3] ĐS m Phương pháp IV: phương pháp đánh giá: Bài 5. Giải bất phương trình a) + 2(HD Xét x 4) ĐS x (; 1] {4}. b) + (x – 3) (HD Dùng Bunhia) ĐS x = 5 Bµi tËp tæng hîp Bµi 1 : Gi¶i c¸c bÊt ph­¬ng tr×nh sau: a) §S x b) §S c) §S x d) (x+1)(x+4) < 5 §S -9 < x < 4 e) f) g) h) HD §Æt u = Bµi 2) a ) (x2 – 3x) Bµi 3. a) b) c) Chuyªn ®Ò 3. C¸c bµi to¸n vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh Bµi 1: Cho hÖ PT (I) a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ PT theo tham sè m. b) T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt. c) CMR: khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x, y), ®iÓm M (x, y) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh d) X¸c ®Þnh m ®Ó ®iÓm M Î ®­êng trßn t©m lµ gèc to¹ ®é O vµ b¸n kÝnh b»ng Bµi 2: Cho hÖ PT (I). a) Gi¶i hÖ khi m = 2. b) T×m sè nguyªn m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) tho¶ m·n x> 0; y< 0 c) T×m m ÎZ ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) lµ sè nguyªn Bµi 3: Cho hÖ PT a) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m. b) T×m m nguyªn ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x, y) lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng Bµi 4: Cho HPT a) Gi¶I HPT víi m = 1. b) T×m m nguyªn ®Ó HPT cã nghiªmj (x;y) sao cho lµ sè nguyªn. Bµi 5: Cho HPT a) Gi¶I HPT víi m = n = 1. b) T×m m, n ®Ó HPT ®· cho cã nghiÖm Bµi 6: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = 6. b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x = 3y. c) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (x;y) tho¶ m·n x.y > 0. Bµi 7: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = 2. b) T×m m ®Ó S = x + y ®¹t GTLN. Bµi 8: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = 2. b)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 9: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = 2. b)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n . Bµi 10: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = . b)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y < 1. Bµi 11: Cho HPT a) Gi¶i HPT víi m = - 1. b)T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n x + y = 3. Bµi 12:T×m m ®Ó HPT cã nghiÖm duy nhÊt (x;y) mµ S = x2 + y2 ®¹t GTNN. Bµi13: Gi¶i c¸c hÖ PT: a)b) c) Bµi 14: Gi¶i hÖ PT sau (I) C¸ch 1: HÖ (I) Trõ vÕ cho vÕ cña tõng PTta cã:x2 – y2 = 0Þx = ± y. Víi x=y ta cã x2=1 nªn nghiÖm cña hÖ lµ (1;1); (-1;-1). Víi x = -y ta cã 3x2 = 1 hÖ cã nghiÖm lµ . C¸ch 2: XÐt x = 0 thay vµo hÖ kh«ng tho¶ m·n. XÐt x ¹ 0. §Æt x = Ky ta cã Þ3K2 – 3K + 3 = 2K2 – 3K + 4Þ K2 = 1Þ K = ± 1. Víi K = 1 ta cã y = 1Þ nghiÖm cña hÖ (1; 1); (-1; -1). (1) (2) Víi K = - 1 ta cã Þ nghiÖm cña hÖ Bµi 15: Gi¶i hÖ PT (I) (1) (2) (3) Bµi 16: Gi¶i hÖ PT (I) HD: Tõ (1) vµ (3) Þ (x+y+z)3- (x3 + y3+z3) = 0 Û 3(x+y)(y+z)(z+x) = 0. HÖ (I) cã nghiÖm lµ: (a, 0, 0); (0, a, 0); (0, 0, a) Bµi 17: Gi¶i c¸c hÖ PT: a) b) c) (1) (2) Bµi 18: Gi¶i hÖ PT ( x, y ¹ 0) Céng hai vÕ ta cã 2xy + 3 = 3y (y¹ 0) vµ Thay vµo (2) ta cãy.x2 + y3 – y + 3x = 0 nªn Bµi 19: Gi¶i hÖ PT Tõ (2); Þ; V× do ®ã theo (1) ta cã y ³ 0. T­¬ng tù ta cã x ³ 0 Þ ; . Tõ (1) vµ (2) Þ x4 + y4 = x3 + y3 Þ x3(1- x)+y3(1- y) = 0 (3) mµ x3(1-x) ³ 0;y3(1-y)³ 0Þ HÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè bËc hai I.. HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i I 1. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc Èn sè x, y gäi lµ ®èi xøng lo¹i 1 nÕu ho¸n vÞ x vµ y cho nhau th× mçi ph­¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng thay ®æi do ®ã hÖ kh«ng thay ®æi. 2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: B­íc 1: §Æt S = x + y, P = xy khi ®ã hÖ trë thµnh hÖ ph­¬ng tr×nh víi hai Èn S, P cã d¹ng B­íc 2: Gi¶i hÖ I t×m S, P. B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: ta cã x, y lµ nghiÖm cña hÖ. Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. II. HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II 1. §Þnh nghÜa: HÖ hai ph­¬ng tr×nh bËc Èn sè x, y gäi lµ ®èi xøng lo¹i II nÕu ho¸n vÞ x vµ y cho nhau th× ph­¬ng tr×nh 1 cña hÖ trë thµnh ph­¬ng tr×nh 2 vµ ng­îc l¹i. Do vËy hÖ kh«ng thay ®æi. 2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: Trõ vÕ cho vÕ cña hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ ta thu ®­îc ph­¬ng tr×nh tÝch: + x = y thay vµo mét trong hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ => nghiÖm cña hÖ. + g(x,y) = 0 biÓu thÞ x theo y (hoÆc y theo x) thay vµo mét trong hai ph­¬ng tr×nh cña hÖ => nghiÖm cña hÖ. Bµi tËp 2: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i II sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12 13. 14. III. HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai. 1. Cã d¹ng: 2. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: + Gi¶i hÖ víi x = 0. + víi ®Æt x = ty (*)(hoÆc y = tx) thay vµo hÖ ta thu ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh cã d¹ng sau: - Chia vÕ cho vÕ cña hai ph­¬ng tr×nh ta cã pt Èn t: gi¶i ph­¬ng tr×nh nµy ta cã t. - Thay t vµo (**) t×m y. - Thay t vµ y võa t×m ®­îc vµo (*) ta cã x. Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Bµi TËp 4: Mét sè hÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c 1. 2 3. 4 5. 6. Mét sè hÖ ph­¬ng tr×nh chøa tham sè: Bµi 1: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ víi m = - 3. X¸c ®Þnh m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 2: (Cho hÖ pt: (a lµ tham sè) T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. Bµi 3: Cho hÖ: Gi¶i hÖ víi m = 12. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm. Bµi 4: Cho hÖ: T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm. Bµi 5:. T×m m ®Ó hÖ ®Ó hÖ cã nghiÖm. Bµi 6: T×m m ®Ó hÖ: cã nghiÖm duy nhÊt. .Chóc c¸c em häc tèt...