Công thức lượng giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I. HỆ THỨC CƠ BẢN cosin O cotang sin tang p A M Q B T' a T 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: Nhận xét: · · tana xác định khi , · cota xác định khi 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sina + + – – cosa + – – + tana + – + – cota + – + – 3.Hệ thức cơ bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau Cung hơn kém p Cung hơn kém 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt 0 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 0 1 0 –1 0 cos 1 0 –1 0 1 tan 0 1 –1 0 0 cotg 1 0 –1 0 II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: Hệ quả: III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan: Đặt: thì: ; ; IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TẬP XÁC ĐỊNH, TÍNH CHẴN – LẺ : Tập xác định D = R; tập giá trị ; hàm lẻ, chu kỳ . * y = sin(ax + b) có chu kỳ * y = sin(f(x)) xác định xác định. : Tập xác định D = R; Tập giá trị ; hàm chẵn, chu kỳ . * y = cos(ax + b) có chu kỳ * y = cos(f(x)) xác định xác định. : Tập xác định; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ . * y = tan(ax + b) có chu kỳ * y = tan(f(x)) xác định : Tập xác định; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ . * y = cot(ax + b) có chu kỳ * y = cot(f(x)) xác định . * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a/ y = b/ c/ d/ e/ f/ g/ y = sinx + cosx h/ y = i/ y = Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx g/ y = h/ y = i/ y = II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = sina a/ b/ c/ d/ e/ Các trường hợp đặc biệt: 2. Phương trình cosx = cosa a/ b/ c/ d/ e/ Các trường hợp đặc biệt: 3. Phương trình tanx = tana a/ b/ c/ d/ e/ Các trường hợp đặc biệt: 4. Phương trình cotx = cota Các trường hợp đặc biệt: 5. Một số điều cần chú ý: a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện * Phương trình có mẫu số: · · · · b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường tròn lượng giác. 3. Giải các phương trình vô định. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) cos(2x + 250) = Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng Đặt Điều kiện t = sinx t = cosx t = tanx t = cotx Nếu đặt: Giải các phương trình sau: 1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0 3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) 5) 6) 7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0 Giải các phương trình sau: 1) 4sin23x + = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 5) + tan2x = 9 6) 9 – 13cosx + = 0 7) = cotx + 3 8) + 3cot2x = 5 9) cos2x – 3cosx = 10) 2cos2x + tanx = Cho phương trình . Tìm các nghiệm của phương trình thuộc. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc . Giải phương trình : . III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) Cách giải: · Chia hai vế phương trình cho ta được: (1) Û · Đặt: phương trình trở thành: · Điều kiện để phương trình có nghiệm là: · (2) Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) cosx – 5) sin5x + cos5x = cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) Giải các phương trình sau: 1) 3sinx – 2cosx = 2 2) cosx + 4sinx – = 0 3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 Giải các phương trình sau: 1) 2sin + sin = 2) Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI DẠNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: · Kiểm tra có thỏa mãn PT (1) hay không, nếu thỏa mãn thì là một họ nghiệm của PT · Khi , chia hai vế phương trình (1) cho ta được: ; lưu ý: · Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: Cách 2: Dùng công thức hạ bậc (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Giải các phương trình sau: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) cos2x + 3sin2x + sinx.cosx – 1 = 0 12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 Giải các phương trình sau: 1) sin3x + 2sin2x.cos2x – 3cos3x = 0 2) Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô nghiệm . V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 · Cách giải: + Đặt hay + Đặt hay ·Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa Suy ra x. Lưu ý dấu: · · Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 · Đặt: · Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) Giải các phương trình: 1) 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 3) 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 5) sin2x + 6) Giải các phương trình: 1) sin3x + cos3x = 1 + sinx.cosx 2) 2sin2x – VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Giải các phương trình sau: 1) sin2x = sin23x 2) sin2x + sin22x + sin23x = 3) cos2x + cos22x + cos23x = 1 4) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = Giải các phương trình sau: 1) sin6x + cos6x = 2) sin8x + cos8x = 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 4) sin4x + cos4x – cos2x + – 1 = 0 Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + cosx + cos2x 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = (cosx + cos2x + cos3x) Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Giải các phương trình sau: 1) sin3x + cos3x + = cosx + sin3x 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG TỪ 2002 ĐẾN 2013 ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI A Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2p) của phương trình: (Khối A_2002).ĐS: . Giải phương trình: ĐS: (Khối A_2003) Giải phương trình: ĐS: (Khối A_2005) Giải phương trình: ĐS: (Khối A_2006) Giải phương trình: (Khối A_2007) ĐS: ĐS: (Khối A_2008) Giải phương trình: . ĐS: (Khối A_2009) Giải phương trình: . (Khối A_2010) ĐS: Giải phương trình: . (Khối A_2011) ĐS: Giải phương trình: .ĐS: (Khối A_2012) KHỐI B Giải phương trình ĐS: (Khối B_2002) Giải phương trình ĐS: (Khối B_2003) Giải phương trình ĐS: (Khối B_2004) Giải phương trình (Khối B_2005) ĐS: ; Giải phương trình: ĐS: (Khối B_2006) Giải phương trình: ĐS: (Khối B_2007) Giải phương trình (Khối B_2008) ĐS: Giải phương trình: . (Khối B_2009) ĐS: Giải phương trình: . ĐS: (Khối B_2010) Giải phương trình: . (Khối B_2011) ĐS: Giải phương trình: . (Khối B_2012) KHỐI D Tìm xỴ[0;14] cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (Khối D_2002) (Khối D_2003) ĐS: Giải phương trình (Khối D_2004) ĐS: Giải phương trình: (Khối D_2005) ĐS: Giải phương trình: cos3x+cos2x-cosx-1=0 (Khối D_2006) ĐS: ; Giải phương trình (Khối D_2007) ĐS: Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) ĐS: Giải phương trình (Khối D_2009) ĐS: Giải phương trình: (Khối D_2010) ĐS: Giải phương trình: (Khối D_2011) Giải phương trình: (Khối D_2012) ĐS: ĐỀ THI CAO ĐẲNG Giải phương trình (CĐ_A_B_D_2008) ĐS: Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) ĐS: Giải phương trình: (CĐ_A_B_D_2010) ĐS: Giải phương trình: (CĐ_A_B_D_2011) ĐS: Giải phương trình: 2 (CĐ_A_B_D_2012) ĐS: ĐỀ THI NĂM 2013 Giải các phương trình: a/ (A, A1 -2013); b/ (B-2013) c/ (D-2013) d/ (A-B-D-A1-2013) -Hết-