Đề cương Toán 11

Đề cương toán 11 www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 1 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC 1 Bảng giá trị lượng giác của một số cung (góc) đặt biệt α 0 6 pi 4 pi 3 pi 2 pi 2 3 pi 3 4 pi 5 6 pi pi Tăng và dương Giảm và dương sinα 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Giảm và dương Giảm và âm cosα 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 Tăng và dương Tăng và âm tanα 0 1 3 1 3 Không có nghĩa - 3 -1 - 1 3 0 Giảm và dương Giảm và âm cotα Không có nghĩa 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 Không có nghĩa 2 GTLG của các góc có liên quan đặc biệt a/ Hai góc đối nhau ( )sin sinα α− = − ( )cos cosα α− = ( )tan tanα α− = − ( )cot cotα α− = − b/ Hai góc bù nhau ( )sin sinpi α α− = ( )cos cospi α α− = − ( )tan tanpi α α− = − ( )cot cotpi α α− = − c/ Hai góc phụ nhau sin cos 2 pi α α − =    cos sin 2 pi α α − =    tan cot 2 pi α α   − =    cot tan 2 pi α α − =    d/ Góc hơn 2 pi sin cos 2 pi α α   + =    cos sin 2 pi α α + = −    tan cot 2 pi α α + = −    cot tan 2 pi α α   + = −    e/ Góc hơn pi ( )sin sinα pi α+ = − ( )cos cosα pi α+ = − ( )tan tanα pi α+ = ( )cot cotα pi α+ = f/ Với mọi k ∈ℤ , ta có www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 2 ( )sin 2 sinkα pi α+ = ; ( )cos 2 coskα pi α+ = ; ( )tan tankα pi α+ = ; ( )cot cotkα pi α+ = . www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 3 3 Các công thức lượng giác Công thức lượng giác cơ bản 2 2sin cos 1α α+ = ; sintan cos α α α = ; cos cot sin α α α = ; tan .cot 1α α = ; 22 1 1 tan cos α α = + ; 22 1 1 cot sin α α = + . Công thức cộng ( )sin sin cos cos sinα β α β α β+ = + ; ( )sin sin cos cos sin α β α β α β− = − ; ( )cos cos cos sin sinα β α β α β+ = − ; ( )cos cos cos sin sinα β α β α β− = + ; ( ) tan tantan 1 tan tan α β α β α β − − = + ; ( ) tan tantan 1 tan tan α β α β α β + + = − . Công thức nhân đôi sin 2 2sin cos α α α= ; 2 2cos 2 cos sinα α α= − ; 2cos 2 1 2sinα α= − ; 2cos 2 2cos 1 α α= − ; 2 2tan tan2 = . 1 tan α α α− Công thức hạ bậc 2 1 cos 2cos ; 2 α α + = 2 1 cos 2sin 2 α α − = ; 2 1 cos 2tan 1 cos 2 α α α − = + . Công thức nhân ba 3cos3 4cos 3cosα α α= − ; 3sin 3 3sin 4sinα α α= − . Công thức hạ bậc 34cos 3cos cos3α α α= + ; 34sin 3sin sin 3α α α= − Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( )1cos cos cos cos 2 α β α β α β= + + −   ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos ; 2 α β α β α β α β α β = − + − −   = − − +   ( ) ( )1sin cos sin sin 2 α β α β α β= + + −   . Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 α β α β α β + −+ = ; cos cos 2sin sin 2 2 α β α β α β + −− = − ; sin sin 2sin cos 2 2 α β α β α β + −+ = ; sin sin 2cos sin 2 2 α β α β α β + −− = www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 4 B BÀI TẬP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. 1 Tính giá trị của các biểu thức sau : a/ sin cos sin cos A α α α α + = − , biết 2tan 5 α = ; b/ 3 tan 2cot tan cot B α α α α + = − , biết 2sin 3 α = . 1. 2 Chứng minh các đẳng thức : a/ 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosα α α α+ = − ; b/ 4 4 2cos sin 2cos 1α α α− = − ;. 1. 3 Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào α : a/ 4 2 4 4sin 4cos cos 4sinα α α α+ + + ; b/ ( ) ( )2 2cot tan cot tanα α α α+ − − . CUNG LIÊN KẾT 1. 4 Tính a/ tan1 tan 2 tan 3 tan 89o o o oA = … ; b/ cos10 cos 20 cos30 cos180o o o oB = + + + +… . CÔNG THỨC CỘNG 1. 5 Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng : a/ tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A + + = ; b/ tan tan tan tan tan tanA B C A B C+ + = . 1. 6 a/ Biến đổi biểu thức 3 sin cosx x+ về dạng ( )sinA x ϕ+ . b/ Biến đổi biểu thức 3 sin cosx x+ về dạng ( )cosA x ϕ+ . c/ Biến đổi biểu thức sin 3 cosx x− về dạng ( )sinA x ϕ+ ; d/ Biến đổi biểu thức sin cosx x+ về dạng ( )sinA x ϕ+ . 1. 7 Cho 3 a b pi− = . Tính giá trị biểu thức ( ) ( )2 2cos cos sin sinA a b a b= + + + CÔNG THỨC NHÂN 1. 8 Tính a/ o os in6 s in42 sin 66 sin 78o oA = ; b/ sin10 sin 50 sin 70o o oB = . 1. 9 Chứng minh rằng a/ 2cot tan sin 2 x x x + = ; b/ cot tan 2cot 2x x x− = ; c/ sin 2 tan 1 cos 2 x x x = + ; d/ 21 cos 2 tan 1 cos 2 x x x − = + . www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 5 e/ sin 3 cos3 4cos 2 sin cos x x x x x + = ; f/ 4 2cos 4 8cos 8cos 1x x x= − + . CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. 10 a/ Tính 5sin sin 24 24 pi pi . b/ Tính 5 7cos sin 12 12 pi pi . 1. 11 Biến đổi tích thành tổng a/ 2cos5 cosA x x= ; b/ 4sin sin 2 sin 3B x x x= ; c/ ( ) ( )2sin cosC a b a b= + − ; d/ ( ) ( )2cos cosD a b a b= + − ; 1. 12 Biến đổi tổng thành tích : a/ sin sin 3 sin 5 sin 7A x x x x= + + + ; b/ ( )cos 2 cos 2 cos 2 1B a b a b= + + + + c/ 1 sinC x= − ; d/ 1 2cosD x= + . e/ ( )sin sin sinE a b a b= + + + ; f/ 1 sin cosF a a= + + . 1. 13 Rút gọn biểu thức a/ cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 a aA a a − = + ; b/ sin sin 3 sin 5 cos cos3 cos5 B α α α α α α + + = + + . 1. 14 Chứng minh rằng a/ cos5 cos3 sin 7 sin cos 2 cos 4x x x x x x+ = ; b/ ( )sin 5 2sin cos 2 cos 4 sinx x x x x− + = ; c/ 2 2 3sin sin sin sin 3 3 4 x x x x pi pi    + − + − =        ; d/ 1sin sin sin sin 3 3 3 4 x x x x pi pi    − + =        . 1. 15 Chứng minh rằng a/ 4 4 3 cos 4cos sin 4 x x x + + = ; b/ 4 4cos sin cos 2x x x− = ; b/ 6 6 5 3cos 4cos sin 8 x x x + + = ; c/ 6 6 15cos 2 cos6cos sin 16 x x x x + − = ; c/ 8 8 7 cos 2 cos6cos sin 8 x x x x + − = . 1. 16 Tính 2 3cos cos cos 7 7 7 S pi pi pi= − + . www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 6 § 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT 1 Hàm số sin : ( ) sinf x x= Tập xác định D = ℝ . Tập giá trị [ ]1;1− . Nhận xét sin 1 2 2 x x kpi pi= ⇔ = + sin 1 2 2 x x kpi pi= − ⇔ = − + sin 0x x kpi= ⇔ = 2 Hàm số côsin : ( ) cosf x x= Tập xác định D = ℝ . Tập giá trị [ ]1;1− . Nhận xét cos 1 2x x k pi= ⇔ = cos 1 2x x kpi pi= − ⇔ = + cos 0 2 x x kpi pi= ⇔ = + 3 Hàm số tang : ( ) tanf x x= Điều kiện xác định : cos 0 2 x x kpi pi≠ ⇔ ≠ + . Tập xác định : \ 2 D kpi pi = +    ℝ . Tập giá trị : ℝ Nhận xét tan 0 sin 0x x x kpi= ⇔ = ⇔ = 4 Hàm số côtang : ( ) cotf x x= Điều kiện xác định : sin 0x x kpi≠ ⇔ ≠ . Tập xác định { }\D kpi= ℝ . Tập giá trị ℝ . Nhận xét cot 0 cos 0 2 x x x kpi pi= ⇔ = ⇔ = + B BÀI TẬP 1. 17 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : a/ ( ) sin 1 sin 1 xf x x + = − ; b/ ( ) 2 tan 2 cos 1 xf x x + = − ; c/ ( ) cot sin 1 xf x x = + ; d/ tan 3 y x pi = +    . 1. 18 Tìm tập xác định của mội hàm số sau đây : a/ 1 cosy x= − ; b/ 3 siny x= − ; c/ ( ) cos sin xy x pi = − ; d/ 1 cos 1 sin xy x − = + . 1. 19 Tìm GTLN và GTNN của hàm số a/ 3cos 2y x= + ; b/ 5sin 3 1y x= − ; www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 7 c/ 4cos 2 9 5 y x pi = + +    ; d/ ( ) sin cosf x x x= + ; e/ ( ) cos 3 sinf x x x= − ; f/ 5 sin cosy x x= + − ;. 1. 20 Xét tính chẵn – lẻ của hàm số a/ ( ) sin cos 2 xf x x = + ; b/ ( ) sin cosf x x x= + ; c/ 23cos 5siny x x= − d/ cosy x x= . 1. 21 Cho hàm số 3cos 2y x= . a/ Chứng minh rằng hàm số đã cho là hàm số chẵn. b/ Chứng minh rằng hàm số đã cho có chu kỳ T pi= . c/ vẽ đồ thị hàm số đã cho. 1. 22 Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số a/ 11 11( ) sin cosf x x x= + ; b/ 4 4( ) sin cosf x x x= + ; c/ 6 6( ) sin cosf x x x= + ; d/ 2 2( ) sin cosn nf x x x= + , với *n ∈ℕ . § 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A LÝ THUYẾT 1 Phương trình sinx = m Xét phương trình sin x m= * Với [ ]1;1m∉ − , phương trình sin x m= vô nghiệm. * Với [ ]1;1m∈ − , tồn tại số α sao cho sin bα= . 2 sin sin sin 2 . x k x m x x k α π α π α π  = + = ⇔ = ⇔  = − + ( k ∈ℤ ) Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1m ≤ , phương trình sinx = m có đúng một nghiệm trong đoạn ; 2 2 pi pi−     . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsin m . Khi đó arcsin 2 sin arcsin 2 . x m k x m x m k pi pi pi = + = ⇔  = − + 2 Phương trình cosx = m * Với [ ]1;1m∉ − , phương trình cos x m= vô nghiệm. * Với [ ]1;1m∈ − , tồn tại số α sao cho cos mα= . www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 8 2 cos cos cos 2 . x k x m x x k α π α α π  = + = ⇔ = ⇔  =− + ( k ∈ℤ ) Chú ý Với mỗi m cho trước mà 1m ≤ , phương trình cosx = m có đúng một nghiệm trong đoạn [ ]0;pi . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m . Khi đó arccos 2 cos arccos 2 . x m k x m x m k pi pi = + = ⇔  = − + 3 Phương trình tanx = m, cotx = m Các phương trình trên luôn có nghiệm. Với mọi số thực α , ta có tan tanx x kα α π= ⇔ = + . ( k ∈ℤ ) cot cotx x kα α π= ⇔ = + . ( k ∈ℤ ) Chú ý i) Với mọi số m cho trước, phương trình tan x m= có duy nhất một nghiệm trong khoảng ; 2 2 pi pi  −    . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m . Khi đó tan arctanx m x m kpi= ⇔ = + . ii) Với mọi số m cho trước, phương trình cot x m= có duy nhất một nghiệm trong khoảng ( )0;pi . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là cotarc m . Khi đó cot cotx m x arc m kpi= ⇔ = + . Công thức ngiệm của phương trình lượng giác 2 sin sin 2 u v k u v u v k pi pi pi = + = ⇔  = − + 2 cos cos 2 u v k u v u v k pi pi = + = ⇔  = − + tan tanu v u v kpi= ⇔ = + cot cotu v u v kpi= ⇔ = + với k ∈ℤ (trong điều kiện biểu thức có nghĩa) Một số trường hợp đặc biệt sin 1 2 2 u u kpi pi= ⇔ = + sin 1 2 2 u u kpi pi= − ⇔ = − + sin 0u u kpi= ⇔ = cos 1 2u u k pi= ⇔ = cos 1 2u u kpi pi= − ⇔ = + cos 0 2 u u kpi pi= ⇔ = + tan 0u u kpi= ⇔ = www.MATHVN.com www.mathvn.com www.mathvn.com 9 cot 0 2 u u kpi pi= ⇔ = + B BÀI TẬP 1. 23 Giải phương trình : a/ sin sin 6 x pi = ; b/ 2sin 2 0x + = ; c/ ( ) 2sin 2 3 x − = ; d/ ( )sin 20 sin 60o ox + = ; e/ cos cos 4x pi = ; f/ 2cos 2 1 0x + = ; g/ ( ) 2cos 2 15 2ox + = − ; h/ 1 t an3 3 x = − ; i/ ( )tan 4 2 3x + = ; j/ ( ) otan 2 10 tan 60ox + = ; k/ cot 4 3x = ; l/ ( )cot 2 1x + = . 1. 24 Giải phương trình : a/ sin 2 sin 5 5 x x pi pi    − = +        ; b/ ( ) ( )cos 2 1 cos 2 1x x+ = − ; c/ 2 1 1tan tan 0 6 3 x + + = ; d/ sin 3 cos 2x x= . 1. 25 Giải các phương trình sau : a/ 2 1cos 2 4 x = ; b/ 24cos 2 3 0x − = ; c/ 2 2cos 2 sin 4 x x pi  − =    ; d/ 2 2cos 3 sin 2 1x x+ = . 1. 26 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho : a/ 2sin 2 1 0x + = với 0 x pi< < ; b/ ( )cot 5 3x − = với xpi pi− < < . 1. 27 Giải các phương trình sau : a/ sin cos 1x x+ = ; b/ 4 4sin cos 1x x− = ; c/ 4 4sin cos 1x x+ = ; d/ 3 3sin cos cos sin 2 /8x x x x− = . 1. 28 Giải các phương trình sau : a/ 2cos 3 sin cos 0x x x− = ; b/ 3 cos sin 2 0x x+ = ; c/ 8sin .cos .cos 2 cos8 16 x x x x pi  = −    ; d/ 4 4sin sin sin 4 2 x x x pi  + − =    . 1. 29 Giải phương trình : a/ cos 7 .cos cos5 .cos3x x x x= ; b/ cos 4 sin 3 .cos sin .cos3x x x x x+ = ; www.MATHVN.com 10 c/ 1 cos cos 2 cos3 0x x x+ + + = ; d/ 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2x x x x+ + + = . 1. 30 Giải các phương trình sau : a/ sin 2 sin 5 sin 3 sin 4x x x x= ; b/ sin sin 2 sin 3 sin 4 0x x x x+ + + = ; c/ 2 2 2sin sin 3 2sin 2x x x+ = ; d/ sin sin 3 sin 5 cos cos3 cos5x x x x x x+ + = + + . 1. 31 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau : a/ tany x= ; b/ cot 2y x= ; c/ 2cos 1 2cos 1 xy x + = − ; d/ ( )sin 2 cos 2 cos x y x x − = − ; e/ tan 1 tan xy x = + ; f/ 1 3 cot 2 1 y x = + . 1. 32 Giải phương trình : a/ 2cos 2 0 1 sin 2 x x = − ; b/ tan 3 0 2cos 1 x x − = + ; . c/ sin 3 cot 0x x = ; d/ tan 3 tanx x= . 1. 33 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; )pi của phương trình 4cos3 cos 2 2cos3 1 0x x x+ + = . §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A DẠNG 2 0at bt c+ + = ( 0a ≠ ), với t là một hàm số lượng giác (sinx, cosx, tanx, cotx, sin cosx xα β+ , ( )sin xα β+ , 1 sin x , …) B BÀI TẬP 1. 34 Giải phương trình : a/ 22cos 3cos 1 0x x− + = ; b/ 2cos sin 1 0x x+ + = ; c/ 22sin 5sin 3 0x x+ − = ; d/ 2cot 3 cot 3 2 0x x− − = ; 1. 35 Giải phương trình : a/ 22cos 2 cos 2 0x x+ − = ; b/ cos 2 cos 1 0x x+ + = ; c/ cos 2 5sin 3 0x x− − = ; d/ 5 tan 2cot 3 0x x− − = . 1. 36 Giải các phương trình lượng giác sau : a/ 2sin 2cos 2 0 2 2 x x − + = ; b/ cos 5sin 3 0 2 x x + − = ; c/ cos 4 sin 2 1 0x x− − = ; d/ cos 6 3cos3 1 0x x− − = . 1. 37 Giải các phương trình : a/ ( )2tan 3 1 tan 3 0x x+ − − = ; b/ ( )23 tan 1 3 tan 1 0x x− − − = ; www.MATHVN.com 11 c/ ( )2cos 2 2 3 1 cos 2 3 0x x− + + + = ; d/ ( )21 2 3 tan 1 2 3 0cos xx − + − + = . 1. 38 Giải các phương trình sau : a/ 2cos5 cos cos 4 .cos 2 3cos 1x x x x x= + + ; b/ 6 42cos sin cos 2 0x x x+ + = ; c/ 2 24sin 2 6sin 9 3cos 2 0 cos x x x x + − − = ; d/ 2 5 7 12cos 2 cos 10cos cos 2 2 2 2 x x x x pi  + − − + =    . 1. 39 Giải các phương trình : a/ 2 53tan 1 0 cos x x − + = ; b/ 2 2 1 1 cos cos cos cos x x x x + = + ; c/ 5sin 2 sin cos 6 0x x x+ + + = ; d/ ( )2 2tan cot 2 tan cot 6x x x x+ + + = . 1. 40 Giải phương trình ( ) ( )2 tan sin 3 cot cos 5 0x x x x− + − + = . §5 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x VÀ cos x A LÝ THUYẾT Dạng sin cosa x b x c+ = ( 2 2 0a b+ ≠ ) Cách giải - Chia hai vế của phương trình cho 2 2a b+ , phương trình trở thành 2 2 2 2 2 2 sin cosa b cx x a b a b a b + = + + + ; - Vì 2 2 2 2 2 2 1a b a b a b        + =        + + nên có góc α sao cho 2 2 cos a a b α= + và 2 2 sinb a b α= + , ta có phương trình tương đương : 2 2 sin cos cos sin cx x a b α α+ = + ; - Áp dụng công thức cộng, ta được phương trình ( ) 2 2 sin cx a b α+ = + . Dể dàng giải được phương trình này. Nhận xét - Phương trình sin cosa x b x c+ = có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2a b c+ ≥ . - Các phương trình sin cosa x b x c− = , cos sina x b x c± = cũng được giải tương tự. B BÀI TẬP 1. 41 Giải phương trình : www.MATHVN.com 12 a/ 3 sin cos 1x x− = ; b/ 3 cos3 sin 3 2x x− = ; c/ 3cos 4sin 5x x+ = − ; d/ sin 7 cos 7x x− = ; e/ 2sin 2 2cos 2 2x x− = ; f/ sin 2 3 3 cos 2x x= − . 1. 42 Giải phương trình : a/ 22sin 3 sin 2 3x x+ = ; b/ 22cos 3 sin 2 2x x− = ; c/ 2sin 2 cos 2 3 cos 4 2 0x x x+ + = ; d/ 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − = . 1. 43 Giải các phương trình sau : a/ sin 3 3 cos3 2cos 4x x x− = ; b/ cos 3 sin 2cos 3 x x x pi  − = −    ; c/ 3 sin 2 cos 2 2 cos 2 sinx x x x+ = − ; d/ ( )sin 8 cos 6 3 sin 6 cos8x x x x− = + . 1. 44 Giải các phương trình sau : a/ 3sin 4sin 5sin 5 0 3 6 6 x x x pi pi pi      − + + + + =            ; b/ 3 52sin 4sin 4 4 2 x x pi pi    + + − =        . 1. 45 Giải các phương trình sau : a/ 33sin 3 cos3 1 4sinx x x− = + ; b/ 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x− − = ; c/ 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =    ; d/ 3 18cos 2 sin cos x x x = + . 1. 46 Tìm 2 6, 5 7 x pi pi  ∈    thỏa phương trình cos 7 3 sin 7 2x x− = − 1. 47 Cho phương trình 2 22sin sin cos cosx x x x m− − = a/ Tìm m để phương trình có nghiệm. b/ Giải phương trình với 1m = − . 1. 48 Cho phương trình sin 2 2 cos sinx m x x m− = − . Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 30; 4 pi     . 1. 49 Giải các phương trình a/ 3 18sin cos sin x x x = + ; b/ 3 tan2 sin 1 2 sin 1 x x x = − − . §6 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO sin x VÀ cos x www.MATHVN.com 13 A LÝ THUYẾT Dạng 2 2sin sin cos cos 0a x b x x c x+ + = ( 2 2 2 0a b c+ + ≠ ) Cách giải - Xét xem 2 x kπ π= + có thỏa phương trình không ; - Với 2 x kπ π≠ + ( cos 0x ≠ ), chia hai vế của phương trình cho 2cos x để đưa về phương trình theo tan x . Chú ý - Đồi với các phương trình 2sin sin cos 0a x b x x+ = , 2sin cos cos 0b x x c x+ = ta có thể giải bằng cách đưa về phương trình tích. - Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai được chuyển thành phương trình bậc nhất theo sin 2x và cos 2x . - Với hằng đẳng thức 2 2sin cosd d x d x= + , phương trình 2 2sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = cũng được xem là phương trình thuần nhất. B BÀI TẬP 1. 50 Giải phương trình : a/ 2 23sin sin cos 2cos 3x x x x− − = ; b/ 2 2 1sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = ; c/ 2 22sin 3 3 sin cos cos 4x x x x+ − = ; d/ 2 2cos 2 sin 4 3sin 2 0x x x+ − = . 1. 51 Giải pương trình : a/ 2 22sin 3 sin cos cos 2x x x x+ − = ; b/ ( )2 2sin 3 1 sin cos 3 cos 0x x x x+ − − = ; c/ 23 sin sin cos 0x x x− = ; d/ 2cos 3sin 2 3x x= + . 1. 52 Giải pương trình : a/ 2 2 3 2sin 3 sin cos 2cos 2 x x x x + + + = ; b/ ( ) ( )2 23 1 sin 3 sin 2 3 1 cos 0x x x+ − + − = ; c/ 2 24sin 3 3 sin 2cos 4 2 2 x x x+ − = ; d/ 2 23cos 4 5sin 4 2 3 sin 8x x x+ = − . 1. 53 Giải các phương trình sau : a/ 14sin 6cos cos x x x + = ; b/ 2sin sin 2 cos 0 4 x x x pi  + − =    ; c/ 3 3sin cos sin cosx x x x+ = − ; d/ 3sin sin 2 sin 3 6cosx x x x+ = . www.MATHVN.com 14 BAI TẬP LÀM THÊM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. 54 Giải các phương trình lượng giác sau đây : a/ 1sin 2 x = ; b/ 2cos 1 0x + = ; c/ tan 3 1x = ; d/ 4cos 1 0x + = . 1. 55 Giải phương trình a/ sin 4 cos5 0x x+ = ; b/ sin 3 cos 6 0x x− = ; c/ 2tan 5 cot 0 5 x pi + = ; d/ cot 20 3 4 ox + =    . 1. 56 Giải phương trình a/ ( )0 2cos 3 60 2x + = ; b/ ( )0 3 cot 2 40 3 x + = ; c/ cos(2 45 ) cos 0ox x+ + = ; d/ ( ) ( )0 0 0sin 24 cos 144 cos 20x x+ + + = . 1. 57 Giải phương trình a/ 3 22sin cos 4 4 2 x x pi pi    + + − =        ; b/ 38cos cos3 3 x x pi  + =    . 1. 58 a/ Chứng minh rằng 3 34sin cos3 4cos sin 3 3sin 4x x x x x+ = . b/ Giải phương trình 3 3 3sin cos3 cos sin 3 sin 4x x x x x+ = . 1. 59 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho : a/ 2sin 2 12 2 x pi  − =    với 2 3 2 x pi pi − < < ; b/ ( ) 1cos 2 1 2 x + = với ( );x pi pi∈ − ; c/ ( )tan 3 2 3x + = với ; 2 2 x pi pi  ∈ −    ; d/ tan 2 3x = với ( );x pi pi∈ − . 1. 60 Giải phương trình a/ 2sin cos 2 cos3 sin 2x x x x= ; b/ ( )sin 5 2sin cos 2 cos 4 1x x x x− + = ; c/ sin 3 sin sin 2 0x x x− − = ; d/ 3sin 4 2 cos 4 3sin 2 16cos 2 9 0x x x x+ + + + = . 1. 61 Giải phương trình : a/ tan 3 tan 1 0x x + = ; b/ sin 3 cot 0x x = ; www.MATHVN.com 15 c/ tan 3 tanx x= ; d/ 2cos 2 0 tan 1 x x + = − . 1. 62 Giải phương trình : a/ 2sin cos 2 1 2cos 2 sin 0x x x x− + − = ; b/ 3 3sin cos cos 2x x x+ = ; c/ ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + ; d/ tan cot 2 2x x+ = ; e/ cos 2sin cos 1 sin 2 x x x x + = − ; f/ 1 cos 2 sin 2 cos 1 cos 2 x x x x + = − ; g/ 1cos cos3 cos5 2 x x x− + = ; h/ ( )tan 2 sin 3 sin 3 tan 3 3 0x x x x+ − − = . 1. 63 Tìm [0;14]x ∈ nghiệm đúng phương trình cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − = . 1. 64 a/ Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sin x m= , [0;3 ]x pi∈ . b/ Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 cos sin 2 0m x x− = có đúng 7 nghiệm trong đoạn [ ]0;3π . PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. 65 Giải phương trình : a/ 3 2sin 3sin 2sin 0x x x+ + = ; b/ 2 2 3sin 2cos 0 2 4 x x − + = ; c/ 1 sin sin 3 0x x+ = ; d/ 2 22sin cos 4sin 2 0x x x− − + = ; e/ ( )4 48 sin cos 4sin cos 7x x x x+ = + ; f/ 6 6 3sin cos sin 24x x x+ + = ; g/ 2 5cos 4cos 3 6 2 x x pi pi    + + − =        ; h/ 2 3 12cos 2 sin 10cos cos 2 2 2 2 x x x x pi  − − − − =    . 1. 66 Giải phương trình sau : a/ sin 2 cos 2 5sin cos 3x x x x− = + − ; b/ 4 2sin cos 1x x− = ; c/ 2 3 2 3 tan 6 0 cos x x + − = ; d/ sin 2 2 tan 3x x+ = . 1. 67 Tìm nghiệm [ ]0;2x pi∈ của phương trình cos3 sin 35 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x +  + = + +  . 1. 68 Giải các phương trình sau: a/ 2cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = ; b/ 3tan tan 1 4 x x pi  − = −    ; c/ cos 2 3cot 2 sin 4 2 cot 2 cos 2 x x x x x + + = − ; d/ cos3 3cos 2 2(1 cos )x x x+ = + . www.MATHVN.com 16 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinx VÀ cosx 1. 69 Giải các phương trình sau : a/ sin 3 cos 2x x+ = ; b/ 2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x+ + = ; c/ cos sin 1 6 6 x x pi pi    − + − =        ; d/ 2 cos 6 sin 2 4 4 x x pi pi    + − + =        . 1. 70 Giải các phương trình sau : a/ 1 cos 3 sinx x− = ; b/ cos 3 sin 2cos 3 x x x pi  − = −    ; c/ ( )sin 4 cos 2 3 sin 2 cos 4x x x x− = + ; d/ ( )2sin cos 3 sin 2 2x x x− + = . 1. 71 Giải các phương trình sau : a/ 4 4 1cos sin 4 4 x x pi  + + =    ; b/ 3 3sin cos sin cosx x x x+ = − ; c/ 3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2 6 x x x pi  + + − =    ; d/ tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x− = + ; e/ 23cos 4sin 3 3cos 4sin 6 x x x x − + = − − ; f/ 8sin sin 2 6sin cos 2 5 7 cos 4 4 x x x x x pi pi    + + − = +        . 1. 72 Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm : a/ ( )sin 1 cos 2m x m x− + = ; b/ sin sin 2 cos 4 m x x x pi  − + = −    . 1. 73 Tìm x sao cho biểu thức sin 1 cos 2 xy x + = + nhận giá trị nguyên. 1. 74 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a/ sin cosa x b x+ (a, b là các hằng số và 2 2 0a b+ ≠ ) ; b/ 2 2sin sin cos 3cosx x x x+ + . 1. 75 Giải các phương trình sau : a/ 2 23sin 8sin cos 4cos 0x x x x+ + = ; b/ 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4x x x+ − = ; c/ 3 2 3sin 2sin .cos 3cos 0x x x x+ + = ; d/ 3 26sin 7 cos 5sin cosx x x x− = . 1. 76 Giải các phương trình sau : a/ 1 3tan 2sin 2x x+ = ; b/ ( ) 4 45 1 cos cos sin 2x x+ + − = ; www.MATHVN.com 17 c/ 2 3sin cos 4 sin 2 2sin 0 2 x x x x− + + = ; d/ 2 21 sin sin 2 cos sin 2cos 4 x x x x x pi  + − = −    ; e/ sin 5 cos5 0 sin cos x x x x − = ; f/ 2tan cot 4 sin 2 x x x + = ; g/ 8 8 217sin cos cos 2 16 x x x+ = ; h/ 2 2 2cos tan .sin 2 2 4 x x x pi  = −    ; i/ (1 sin 2cos )cos 2 sin 2 1x x x x+ + − = ; j/ [ ]2 2cos cos 3 sin 2 0 trên 0;x x x pi+ − = ; k/ 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x− = ; l/ sin 5 5sinx x= ; m/ ( ) ( )2 2 11 sin cos 1 cos sin 1 sin 22x x x x x+ + + = + . 1. 77 Tìm các nghiệm thuộc khoảng ( )0;2pi của phương trình cos3 sin 3sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + + . GIỚI THIỆU MỘT SỐ PTLG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Giải các phương trình lượng giác sau đây : 1) 2cos 4 12sin 1 0x x+ − = ; (CĐ – 2011) 2) sin 2 2cos sin 1 0 tan 3 x x x x + − − = + ; (Khối D – 2011) 3) sin 2 cos sin cos cos 2 sin cosx x x x x x x+ = + + ; (Khối B – 2011) 4) 2 1 sin 2 cos 2 2 sin sin 2 1 cot x x x x x + + = + ; (Khối A – 2011) 5) sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − = ; (Khối D - 2010) 6) ( )sin 2 cos 2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x+ + − = ; (Khối B - 2010) 7) ( )1 sin cos 2 sin 14 cos 1 tan 2 x x x x x pi  + + +    = + ; (Khối A - 2010) 8) ( )( )( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x − = + − ; (Khối A – 2009) 9) ( )3sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = + ; (Khối B – 2009) 10) 3 cos5 2sin 3 .cos 2 sin 0x x x x− − = ; (Khối D – 2009) 11) 1 1 74sin 3sin 4 sin 2 x x x pi pi   + = −      −    ; (Khối A – 2008) www.MATHVN.com 18 12) ( )2sin 1 cos 2 in2 1 2cosx x s x x+ + = + ; (Khối B – 2008) 13) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = − ; (Khối D – 2008) 14) 22sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = ; (Khối B – 2007) 15) 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =    ; (Khối D – 2007) 16) cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − = ; (Khối D – 2006) 17) cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x   + + =    ; (Khối B – 2006). 18) ( )6 62 cos sin sin cos 0 2 2sin 2 x x x x x + − = − ; (Khối A – 2006). 19) 4 4 3cos sin cos sin 3 0 4 4 4 x x x x pi pi    + + − − − =        ; (Khối D – 2005). 20) 1 sin cos sin 2 cos 2 0x x x x+ + + + = ; (Khối B – 2005). 21) 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x− = ; (Khối A – 2005). 22) ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − ; (Khối D – 2004). 23) ( ) 25sin 2 3 1 sin tanx x x− = − ; (Khối B – 2004).