Đề tài Áp dụng bất đẳng thức để gải phương trình và hệ phương trình

áp dụng bất đẳng thức để gải phương trình và hệ phương trình I, Lý do chọn đề tài. 1. Cơ sở lý luận: Trong quá trình dạy học toán và bồi dưỡng HSG toán ở trường THCS. Các bài toán phương trình và bất phương trình rất đa dạng phong phú. Đó là một kho tàng bí mật mà ai yêu toán cũng thích tìm tòi và khám phá, nhưng những vấn đề khám phá được chỉ là một phần nhỏ tromg kho tàng tri thức. Chúng ta là những người yêu toán không thể không bắt tay tìm hiểu một vấn đề gì đó để góp phần vào sự phong phú của toán học nói chung và giải phương trình và hệ phương trình nói riêng. Trong chương trình này tôi muốn trình bày một số hiểu biết của mình về “ áp dụng bất đẳng thức để gải phương trình và hệ phương trình”. 2. Cơ sở thực tiễn: Qua quá trình dạy toán và bồi dưỡng toán ở trường THCS. Các bài toán về phương trình và hệ phương trình biết được bắt đầu từ lớp 7, 8, 9 nhất là sau khi học sinh lớp 8 học xong hằng đẳng thức thì các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình cũng được nâng cao vầ phát triển. Vấn đề đặt ra trong quá trình bồi dưỡng HSG các lớp 8, 9 thì việc tìm ra cách giải phương trình và hệ phương trình như thễ nào để học sinh nhanh chóng tìm ra phương pháp giải tạo cho HS có hứng thú tìm hiểu về bài toán giải phương trình và hệ phương trình. Chính vì vậy mà mấy năm tìm tòi, nghiên cứu thể nghiệm qua dạy bồi dưỡng tôi dã tìm ra một số phương pháp cơ bản để giúp HS tìm ra phương pháp giải. Trong đó có phương pháp dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình. II, Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Mục đích là để nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ giảng dạy môn toán nói chung và bồi dưỡng HSG về lĩnh vực giải phương trình và hệ phương trình. Nhiệm vụ nghiên cứu để tìm ra các tính chất đặc trưng của một số phương trình và hệ phương trình để giải nó bằng phương pháp dùng bất đẳng thức nhằm phát triển tư duy toán học từ cụ thể đến tổng quát và từ tổng quát đến cụ thể. III, phạm vi nghiên cứu + Chương trình toán ở trường THCS + Đối tượng HS ở khối 8, 9. IV, phương pháp nghiên cứu. + Điều tra khảo sát thực tế để nắm được chất lượng giảng dạy môn toán ở trường THCS nhất là trong lĩnh vực giải phương trình và hệ phương trình và bồi dưỡng HSG. + Điều tra sự phát triển tư duy toán qua quá trình học toán của một số HS khá giỏi về môn toán. + Đọc và nghiên cứu kĩ SGK và các tài liệu tham khảo về môn toán. + Thực hành thể nghiệm qua HS khá giỏi. V, Điều tra thực tế. Tình hình các năm qua về việc HS tìm ra cách giải phương trình và hệ phương trình: Năm học Khối Số HS khá giỏi Số HS làm được nhanh chóng dựa vào tính chất đặc trưng của phương trình và hệ phương trình 2003 – 2004 8 30 15 9 30 20 2004 – 2005 8 33 20 9 33 25 2005 – 2006 8 35 22 9 35 27 2006 – 2007 8 38 25 9 38 30 VI. nội dung A, Các kiến thức cơ bản: 1, Cho A là biểu thức chứa ẩn thì: + A2 ≥ 0 với mọi giá trị của biến + với mọi giá trị của biến để A ≥ 0 + có nghĩa khi chỉ khi A ≥ 0 + với mọi giía trị của biến. 2, Bất đẳng thức Côsi cho a1, a2, a3, …… an > 0 thì Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi a1 = a2 = a3 = … an 3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai bộ số bất kì: a1, a2, …, an b1, b2, …., bn Ta có: ( a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 ≤ ( a12 + a22 + … + an2 )( b12 + b22 + … + bn2) Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi: B, áp dụng các biểu thức dương giải phương trình và hệ phương trình: Bài 1: Giải phương trình: (*) Giải: Ta có: 3x2+ 6x + 12 = 3x2+ 6x + 3 + 9 = 3(x +1)2 + 9 9 với mọi x. 5x2+ 10x + 9 = 5x2+ 10x + 5 + 4 = 5(x + 1)2+ 4 4 với mọi x. (1) Mà 3 - 4x - 2x2 = 5 - 4x- 2x2- 2 = 5 - 2(x2 + 2x + 1) = 5 - 2(x+1)2 5 với mọi x (2) Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm x = -1 Thử x = -1 là nghiệm của (*) Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: ĐK (1) Do dấu “=” xảy ra khi y = 2 dấu “=” xảy ra khi x = 2 Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 2 y = 2 Bài 4: Ta có: Dấu “=” xảy ra Dấu “=” xảy ra Dấu “=” xảy ra Vậy S = Bài 5: a, Giải hệ phương trình: ĐK: mà b, Giải hệ phương trình: ĐK: “=” xẩy ra xy = “=” xẩy raz = 0 z = 0 hoặc Bài 6: Giải hệ phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình: a, Mà pt có b, Giải: Dấu “=’ Bài 9: Giải Bài 10: Giải : (1) Từ (1) 2, áp dụng BĐT Cô si: Bài 1: Ta có ĐK: Khi đó áp dụng: ta có: Mặt khác: Vậy Vậy x=1 là nghiệm Bài 2: (1) Ta có x2 - x + 1 > 0 với mọi x suy ra ĐK áp dụng Côsi cho 2 số x2 – x + 1 > 0 2x + 1 > 0 Ta có: Vậy dấu “=” xảy ra x2 – x + 1 = 2x +1 x2 – 3x = 0 x = 0 TM hoặc x = 3 TM Vậy S = Bài 3: Giải hệ phương trình: (1) Với x, y, z > 0 Từ (1) ta có: Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số (1) dấu “=” xảy ra khi (2) dấu “=” xảy ra khi (3) dấu “=” xảy ra khi Từ (1), (2) và (3) ta có: dấu “=” xảy ra khi TM vậy nghiệm của hệ phương trình là: S = Bài 4: Giải phương trình: 2007 x2008 – 2008 x2007 + 1 = 0 1 + 2007 x2008 = 2008 x2007 x > 0 áp dụng BĐT Côsi cho 2008 số dương 1; x2008 ; x2008; x2008 …; x2008 ( 2007 số x2008 ) Ta có: x2008 + x2008 + … + 1 2008 = 2008. x2007 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi 1 = x2008 x = 1 vì x > 0 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Bài 5: Giải phương trình: x3 – x2 – 8x + 40 = 8 ĐK 4x + 4 0 x -1 Với Đ K x -1 ta áp dụng BĐT Côsi cho bốn số: 4; 4; 4; x+1 ta có: 4 + 4 + 4 + x + 1 4 = 8 13 + x 8 13 + x x3 – 3 x2 – 8x + 40 x3 – 3 x2 – 9 x + 27 0 ( x – 3 )2( x + 3 ) 0 Do x - 1 x + 3 > 0 ( x – 3 )2 0 x = 3 TM Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình Bài 6: Giải phương trình: (1) Đ K 5 x 7 Khi đó áp dụng BĐT áp dụng BĐT Côsi cho hai số 7 – x và 1 ta có: x – 5 và 1 ta có: dấu “=” xảy ra khi chỉ khi 7 – x = 1 x – 5 = 1 x = 6 Ta lại có: x2 – 12x + 38 = ( x – 6 )2 + 2 2 dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 6 Vậy S = Bài tập tương tự: Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: 3, bất đẳng thức Bunhiacốpxki Bài 1: Giải phương trình: ĐK: áp dụng Bu nhi a cốp xki cho (1:1) và (:) Dấu “=” xảy ra dấu”=” xẩy ra x = 2 Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 2 Bài 2: Giải phương trình a, ĐK: Ta có : xẩy ra (TMĐK) b, PT xảy ra c, Bài 3: Giải phương trình : Dấu “=” xảy ra khi x = 6 Ta có Dâu “=” xẩy ra x = 6 (TM) Bài 4: Giải phương trình : (1) áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho ; x – 3 và 1 ; 1 ta có: (2) và (2) xảy ra khi chỉ khi: x2 – 6x + 9 = x – 1 x2 – 7x + 10 = 0 x = 2 hoặc x = 5 x = 2 không thoả mãn; x = 5 thoả mãn vậy Bài 5: Giải phương trình : Đ K : x4 2 ( x 0 ) Ta có: dấu “=” xảy ra (1) Mặt khác: (2) Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi x = 1 Từ (1) và (2) suy ra phương trình có nghiệm của nó là 1 TM Vậy S = Bài tập tương tự: Bài tập 1: Giải phương trình: Bài tập 2: Giải hệ phương trình: C. Tổng kết : Trên đây là một số suy nghĩ của bản thân về các bài toán giải phương trình và hệ phương trình mà trong quá trình dạy học tôI đã rút ra được và mạnh dạn đưa ra trao đổi cùng bạn bề đồng nghiệp, cùng các thầy giáo, cô giáo để đi đến mục đích chung là nâng cao chất lượng dạy học. Và bước đầu đã gặt hái được những kết quả đáng trân trọng. Cụ thể là học sinh tiếp thu và lĩnh hội tri thức một cách linh hoạt, chủ động và sáng tạo hơn . Các bài toán đưa ra làm ví dụ có thể chưa lôgic, phù hợp; khai thác chưa triệt để, chắc chắn còn có nhiều lời giải hay và hấp dẫn hơn. Vấn đề tôi tôi biết được qua bài viết này chỉ là những kinh nghiệm nhỏ trong quá trình dạy học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song những kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, chắc chắn trong quá trình viết không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. kính mong được quý thầy cô giáo và bạn đọc góp ý sửa chữa để đề tài ngày càng thiết hực và bổ ích hơn. D. kiến nghị: * Đối với giáo viên: + Cần có những tài liệ phong phú về bài toán phương trình và hệ phương trình. + Được nghê báo cáo các chuyên đề của bài toán phương trình và hệ phương trình. + Dạng toán này cần được nghiên cứu và mở rộng. * Đối với học sinh: + Cần tham gia đầy đủ các chuyên đề về dạng toán phương trình và hệ phương trình. + Tổ choc cho HS đăng kí học tự chọn chuyên đề phương trình và hệ phương trình. + Có các tài liệu liên quan đến bài toán phương trình và hệ phương trình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Tĩnh, tháng 4 năm 2008