Đề tài Giải một số phương trình và bất phương trình bằng phương pháp cực trị

“ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Khi mà các em học sinh học qua chương trình toán THPT với những kiến thức và kỹ năng giải toán có được, một bài toán các em học sinh sẽ có thể giải được nhiều cách khác nhau, điều cơ bản là các em sử dụng phương pháp nào cho hiệu quả và mang tính tư duy cao, mặt khác khi biết sắp xếp những dạng bài vào cùng một tuyến và tìm phương pháp hay để giải là điều rất cần thiết. Trong những năm gần đây tỷ lệ học sinh thi đậu tốt nghiệp của trường được nâng cao hơn và hơn thế khi trường THPT Long Phước đạt Chuẩn Quốc Gia, thì việc duy trì tỷ lệ đỗ tốt nghiệp THPT cao là điều phải cần được giữ vững. ngoài ra điều mà nhà trường cần quan tâm hơn là ngoài việc các em học sinh khối 12 tốt nghiệp THPT, phải làm sao nâng tỷ lệ học sinh giỏi cũng như tỷ lệ học sinh thi đỗ vào các trường đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp ; điều này đòi hỏi đội ngũ giáo viên phải không ngừng phấn đấu nâng cao trình độ chuyên môn, tích lũy kinh nghiệm và tìm ra những phương pháp hay, tối ưu nhất để truyền đạt, hướng dẫn cho học sinh giúp cho các em giải quyết tốt bài trong các kỳ thi. Riêng với bộ môn toán có vai trò quan trọng và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi và những tuyến bài toán có dạng như : Tìm điều kiện cho một số phương trình và bất phương trình là một dạng toán cũng thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp , nếu với phương pháp thông thường thì việc giải quyết dạng toán này tương đối là khó, xong việc quy về dạng và hướng dẫn cho học sinh dùng phương pháp cực trị để giải quyết sẽ mang lại hiệu quả cao hơn rất nhiều, chính vì thế mà bằng những kinh nghiệm nhỏ của mình trong giảng dạy và ôn luyện thi cho học sinh, tôi xin mạnh dạn trình bày chuyên đề “Giải một số phương trình và bất phương trình bằng phương pháp cực trị ” trong phạm vi hạn hẹp với mong muốn góp thêm phần trong phương pháp, kỹ năng giải toán cho hoc sinh khi đứng trước các kỳ thi quan trọng. II. THỰC TRẠNG Thuận Lợi: Được sự quan tâm, động viên, khuyến khích của ban giám hiệu nhà trường về việc cố gắng nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường Đặc biệt khi trường THPT Long Phước được công nhận chuẩn quốc gia thì vấn đề nâng tỷ lệ học sinh thi đỗ đại học, cao đẳng,học sinh giỏi là rất cần thiết và được đội ngũ giáo viên quan tâm. Được sự ủng hộ của học sinh và đồng nghiệp khi áp dụng phương pháp nầy. Có thể mở rộng phương pháp này để tìm điều kiện cho cả hệ phương trình và bất phương trình. Khó khăn: Trình độ học sinh chưa đồng đều; tính sáng taọ, khả năng tư duy, nhạy bén của các em chưa cao; tính tự học còn hạn chế. Phần sáng kiến này phù hợp với các em học sinh ở lớp khá, giỏi. III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 1. Cơ sở lý luận: - Khi định lý đảo về dấu tam thức bậc hai không đưa vào chương trình sách giáo khoa toán lớp 10, thì việc áp dụng phương pháp cực trị để giải những bài toán tìm điều kiện cho phương trình và bất phương trình là phương pháp rất tốt vì không những có thể giải những bài toán đơn giản mà còn giải được những bài tương đối khó và khó, hơn thế nữa là cả những phương trình và bất phương trình chứa cả hàm mũ, lượng giác, logarit, căn bậc haiv.v. - Kiến thức về cực trị học sinh được học kỹ lưỡng trong chương trình toán 12, rất gần gũi và nhớ nhiều với học sinh khi các em chuẩn bị các kỳ thi tốt nghiệp, vào đại học, cao đẳngdo vậy sau khi học kiến thức về cực trị tôi cũng đã cố gắng lồng ghép chuyên đề này vào những tiết học tăng tiết hay phụ đạo cho học sinh với mong muốn các em sẽ giải quyết những bài toán nêu trên một cách linh hoạt, sáng tạo hơn. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện: Khi gặp một bài toán tìm điều kiện cho những phương trình có dạng; f(x,m) = 0 hay bất phương trình có dạng f(x,m)>0, f(x,m)≥0, f(x,m)<0, f(x)≤0, giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực hiện các bước: Bước 1: Biến đổi phương trình và bất phương trình về dạng sau: f(x) = m, f(x)>m, f(x)≥m, f(x)<m, f(x)≤m Bước 2: Thông qua kiến thức về cực trị để xét hàm số f(x) và tùy theo từng bài toán mà giáo viên hướng dẫn các em đưa ra kết quả tìm điều kiện cho phương trình và bất phương trình dựa trên cơ sở lý thuyết sẽ được trình bày. a) Phần lý thuyết : 1. Phương trình: f(x)=m có nghiệm trên D ≤ m≤ 2. Bất phương trình: f(x)≥ m có nghiệm trên D m≤ 3. Bất phương trình: f(x)≥ m có nghiệm đúng ∀x ∈D m≤ 4. Bất phương trình: f(x)≥ m vô nghiệm trên D m> 5. Bất phương trình: m>f(x) có nghiệm ∀x∈D m> 6. Bất phương trình: f(x)> m có nghiệm đúng ∀x∈D m > 7. Bất phương trình: f(x)< m vô nghiệm trên D m ≤ B. Một số bài toán: Bài 1: Tìm m để phương trình x2 -2x = m (1) có nghiệm x∈ Giải: Đặt hàm số f(x)= x2 -2x, hàm số này liên tục trên Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) trên x -∞ 0 1 +∞ f’(x) - - 0 + f(x) 0 -1 ta có: = 0, =-1 Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có nghiệm trên là: -1≤m≤0 Bài 2: Tìm m để bất phương trình 4x- x2 ≥ m nghiệm đúng ∀x∈ Giải: Xét hàm số: f(x)=4x – x2 là hàm số bậc hai biến x có: -= 4 có f(0)=0;f(4)=0;f(5)=-5 Bất phương trình nghiệm đúng ∀x∈ khi m≤-5 Bài 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4- 4x +m ≥ 0(3) nghiệm đúng ∀x∈R Lời giải ngắn gọn: Bất phương trình (3) m≥=g(x), bằng phương pháp đạo hàm đặt g(x) = Xét bảng biết thiên của g(x) x -∞ +∞ g’(x) + 0 - g(x) -∞ -∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có: Do đó điều kiện cần và đủ để bất phương trình nghiệm đúng ∀x∈R là m≥ Đáp số : m≥ Bài 4 : Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈đều là nghiệm của bất phương trình ≤ 5 Giải : Điều kiện : (x2-2x+m)≥1 Bất phương trình ≤ 5 Đặt t =≤5 ;t≥0 Kết hợp với t≥0 ta có 0 ≤ t ≤ 1 Suy ra 0 ≤ log4(x2-2x+m) ≤1 Khi đó bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ Bài toán 5: Cho bất phương trình x3+3x2-1 (1) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm Lời giải ngắn gọn: Ta có: >0 Do vậy (1) (x3+3x2-1) ≤a (2) Tập xác định của (2) là:x≥1 Hai hàm số f(x)= (x3+3x2-1) và g(x)= là hai hàm số dương và đồng biến khi x≥1 suy ra hàm số h(x) =(x3+3x2-1) đồng biến khi x≥1 Suy ra Vậy (2) có nghiệm khi và chỉ khi a≥ Đáp số : a≥3 Bài 6: Cho hàm số: Tìm m để bất phương trình (x-61-x).f(x) ≥ 0 ∀x ∈ Giải ngắn gọn: Với x=1 thì bất phương trình thỏa mãn không phụ thuộc vào m, nên chỉ cần tìm m để bất phương trình thỏa mãn x ∈ Vì h(x) = ( x-61-x)= x – 6 là hàm đồng biến trênvà h(1) = 0 Suy ra h(x) < 0 ∀x ∈ Do đó chỉ cần tìm ra m để g(x)≤0 ∀x ∈∀x ∈ Đặt t = 6∈ ta có Lập bảng biết thiên của hàm số g(t) trên ta có kết quả: Đáp số : Bài 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (1) Giải : Đặt t = <0 Ta có Lập bảng biến thiên của f(t) và xét trên t -∞ 0 1/2 +∞ f’(t) + 9/4 - f(t) 2 Ta có : Bài 8 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm (*) Giải ngắn gọn: (**) Đặt t = sin2x; Khi đó phương trình (**) Đặt Ta có: Trên đoạn Vậy phương trình( *) có nghiệm khi Một số bài tập giải thêm : Bài 1 : Tìm m để phương trình x2 – mx +2m -1 = 0 có nghiệm x Bài 2 :Cho phương trình (1) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm Bài 3 : Cho bất phương trình Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng ∀ x∈R Bài 4 : Cho phương trình Tìm m để phương trình trên có 4 nghiệm phân biệt ∈ Bài 5: Cho phương trình x4-2x3+mx2-2x+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ Bài 6: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm x4+4x3+(m+4)x2+2mx2+2m ≥0 Bài 7: Cho phương trình Tìm m để phương trìh có nghiệm thỏa x≠ IV.KẾT QUẢ : Sau một thời gian thực hiện chuyên đề này, tôi nhận thấy tinh thần học tập của học sinh trong các tiết học thực hiện chuyên đề cũng nổi trội hơn. Trong năm học 2011- 2012 tôi đã áp dụng chuyên đề này cho lớp 12A5 và 12A8. Khi tôi đưa ra những bài toán liên quan, hướng dẫn cho các em thì các em cũng rất quan tâm và hứng thú học tập, xung phong nhiều hơn, dù bước đầu rất bỡ nghỡ. Khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy các em giải nhanh gọn và rõ ràng hơn . V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Nên mở rộng phạm vi áp dụng - Áp dụng sau khi học sinh được học kiến thức về cực trị hàm số - Việc chia lớp theo trình độ những năm gần đây của nhà trường, để giáo viên có điều kiện bám sát, giảng dạy, bồi dưởng và rèn luyện cho học sinh là rất thuận lợi để thực hiện chuyên đề này. Nên động viên khuyến khích và động viên các em, gợi cho học sinh niềm say mê, sáng tạo trong học toán và hướng các em đến mục đích cao hơn là thành công trong những kỳ thi. VI. KẾT LUẬN - Việc sử dụng phương pháp cực trị để giải những bài toán tìm điều kiện của phương trình và bất phương trình không những cho các em lời giải rõ ràng và ngắn gọn mà ngoài ra còn phát triển và rèn luyện cho học sinh phẩm chất tư duy như khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích và tổng hợp; kỹ năng nhận dạng và giải toán được nâng cao. - Tôi mong rằng chuyên đề này sẽ được bổ khuyết và áp dụng rộng rãi sau này, nhằm góp phần bổ sung thêm kiến thức, kỹ năng cho học sinh khi các em đứng trước những kỳ thi quan trọng. Quá trình tích lũy kinh nghiệm và trình bày không tránh những sai sót, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp qúi báu của quí thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh. Xin chân thành cảm ơn và trân trọng kính chào ! Long Phước, ngày 21 tháng 5 năm 2012 Người viết Trần Thị Thanh Hương VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số lớp 10,11,12- Nhà xuất bản giáo dục Giải toán phương trình và bất phương trình- Nhà xuất bản quốc gia TPHCM Các vấn đề hàm số, ứng dụng đạo hàm và luyện thi đại học – Nhà xuất bản trẻ Dạy và học toán cấp III - Nhà xuất bản giáo dục Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Nhà xuất bản giao dục Bất đẳng thức và bất phương trình đại số-Thầy Nguyễn Thế Hùng. Nhà in Thanh Niên. Phát triển tư duy cho học sinh qua môn toán-tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT- trường đại học sư phạm thành phố HCM.