Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở lớp 11 năm hoc 2007 - 2008 môn thi: Toán

Sở GD-ĐT Bắc giang đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở Trường THPT Bố Hạ Lớp 11 năm hoc 2007-2008 Ngày thi : 9 tháng 3 năm 2008 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút. Bài 1( 2 điểm). Cho phương trình: sin4x-2m(sin2x+cos2x)+m2-4m+9=0 (1) Giải phương trình (1) khi m=. Từ đó tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1) thoả mãn . Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 2 (2 điểm). 1. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau ? 2. Tính giới hạn . Bài 3 ( 2 điểm). 1. Cho x,y,z là các số dương thoả mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh bất đẳng thức sau: . 2. Các góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức: cosA+cosB+cosC=2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA). Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Bài 4 (1 điểm). Cho dãy số (un) xác định bởi và dãy số (Sn) xác định bởi . Hãy xác định công thức tính (Sn) theo n. Bài 5 ( 3 điểm). Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC; B là một điểm thuộc (C). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S sao cho AS = AC. Gọi H, K lần lượt là các chân đường vuông góc hạ từ A xuống các đường thẳng SB, SC. Chứng minh rằng các tam giác SBC, AHK là tam giác vuông. Đặt AC=a và BC=x. Tính độ dài đoạn HK theo a và x. Xác định vị trí của điểm B trên (C ) sao cho tổng diện tích hai tam giác SAB và CAB lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. ----------------------Hết--------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh……………………….Số báo danh…… Sơ lược đáp án toan 11 Bài 1. Đặt t=sin2x+cos2x=, điều kiện (*) Khi đó PT (1) trở thành: t2-2mt+m2-4m+8=0 (2). m= thay vào (2) được: t2-2t+2=0 t/m (*) Khi đó =. +, Xét Khi đó tính được tổng các nghiệm bằng . Đặt VT(2)=f(t). PT (1) có nghiệm x PT(2) có nghiệm t thoả mãn đk (*) PT (2) có nghiệm t/m đk (*) trong các TH sau: +, TH1: PT (2) có nghiệm (3) VN. (4) (6) +, TH2: PT (2) có 1 nghiệm thuộc +, TH3: PT (2) có 2 nghiệm thuộc …. TH n ày VN (8) Từ (6), (7) (8) giá trị cần tìm là Bài 2 1. Gọi số càn lập là: abcde vì chẵn suy ra e được chọn từ các chữ số 0,2,4,6,8. TH1: e=0 suy ra có cách lập. TH1: e suy ra có 4 cách chọn e , chọn a có 8 cách , các chữ số còn lại là cách TH này có 4.8. cách lập Vậy tổng có +4.8.=13776 cách lập. 2. . Bài 3. 1. áp dụng BĐT Cosi có: Suy ra Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. 2. Ta có từ đầu bài ta có đều. Bài 4. Ta có