Giáo án bồi dưỡng nâng cao Toán 8

BUỔI 1 : HẰNG ĐẲNG THỨC A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về phép nhân đa thức – hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại nội dung bài học: 1. Nhân đa thức với đa thức: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Bài 1: Rút gọn biểu thức a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) Thực hiện phép nhân rồi rút gọn b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 Bài 2: Tìm x biết: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 Áp dụng các H.đẳng thức nào để giải Biến đổi, rút gọn vế trái Bài 3: Cho x + y = a; xy = b. tính giá trị các biểu thức sau theo a và b: x2 + y2; x4 + y4 Bài 4: chứng minh rằng a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 b) Nếu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) thì: a = b Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra điều gì? c) Nếu: x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 thì x = y = z Từ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 =? Từ đo ta có điều gì? d) cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 2 c/m: a4 + b4 + c4 = 2 HD cách giải tương tự Bài 5: So sánh: a) A = 1997 . 1999 và B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) và B = 3128 - 1 Tính 4 theo 32 – 1? Khi đó A = ? áp dụng hằng đẳng thức nào liên tiếp để so sánh A và B Bài 6: a) Cho a = 11…1( co n chữ số 1) b = 100…05( có n – 1 chữ số 0) Cmr: ab + 1 là số chính phương b) Cho Un = 11…155…5 (có n chữ số 1 và n chữ số 5) Cmr: Un + 1 là số chính phương HS ghi đề, thực hiện theo nhóm HS cùng GV thực hiện lời giải a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + 2x + 4 = x3 + 3x2 + 6x + 4 b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 1 c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + 1 – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 HS ghi đề bài giải theo nhóm ít phút Áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3) 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = 172 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 7(x2 – 9) = 172 …. 8x = 96 x = 12 HS ghi đề bài, tiến hành bài giải Ta có x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3- y4 = x4 – y4 = VP (đpcm) b) Từ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ra a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = 0 (a – b)2 = 0 a – b = 0 a = b (đpcm) c) Từ : x + y + z = 0 (x + y + z)2 = 0 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = 0 x2 + y2 + z2 = 0 ( vì xy + yz + zx = 0) x = y = z d) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = -1 (1) Ta lại có: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4 (2) Từ (1) (ab + bc + ca)2 = 1 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 1 (3) Từ (2) và (3) suy ra a4 + b4 + c4 = 2 a) A = 1997 . 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – 1 < 19982 A < B b) Vì 4 = nên A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) =(34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B Vậy: A < B Ta có: b = 10n + 5 = 9….9 + 6 = 9(1…1) + 6 = 9a + 6 ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 là một số chính phương Ta viết: = = 11…1.10n + 5. 11…1 Đặt: a = 11…1 thì 9a + 1 = 10n Do đó : Un + 1 = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III. Bài tập về nhà: Bài 1: cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + 1 Bài 2: Chứng minh rằng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bài 3: Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2). Cmr: a = b = c Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu n là tổng của hai số chính phương thì 2n và n2 củng là tổng của hai số chính phương Bài 5: So sánh: A = với B = (Với 0 < y < x ) BUỔI 2 : HẰNG ĐẲNG THỨC ( Tiếp) A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hằng đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về hằng đẳng thức * Tạo hứng thú cho HS trong quá trình học nâng cao môn toán B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại nội dung bài học: Những hằng đẳng thức đáng nhớ: Bình phương một tổng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) Bình phương một hiệu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) Lập phương một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (4) Lập phương một hiệu: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 (5) Tổng hai lập phương: A3 + B3 = ( A + B )( A2 – AB + B2 ) (6) Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) (7) Bình phương tổng ba hạng tử: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II. Bài tập áp dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải Ta thực hiện phép tính như thế nào? b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nên thực hiện phép tính như thế nào? Bài 2: Tìm x biết (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 Để tìm x ta làm thế nào? Bài 3: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghĩ, tìm cách giải Nếu HS chưa giải được thì gợi ý: Hãy triển khai, tách tổng trên thành ba tổng có dạng: A2 + 2AB + B2 Bài 4: Tính giá trị Bt khi biết giá tri Bt khác a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. Tính giá trị của Bt A = x3 + y3 Cho HS giải Viết A thành tích Để tính giá trị của A ta cần tính xy. Tính xy như thế nào? Từ : x + y = 2; x2 + y2 = 10. Hãy tìm cách tính xy b) Cho a + b + c = 0 ; a2 + b2 + c2 = 1 Tính giá trị của Bt: B = a4 + b4 + c4 ? Để có a4 + b4 + c4 ta làm thế nào? Nhiệm vụ bây giờ là làm gì? Để có (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải làm gì? Khi đó ab + bc + ca = ? a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? Từ đây, làm thế nào để tính giá trị của Bt B Bài 5: Cho a = ; b = và c = Chứng minh rằng: A = a + b + c + 8 là một số chính phương Để chứng minh một tổng là một số chính phương, ta cần c/m gì? A = a + b + c + 8 = ? Ta có: . Viết thành luỹ thừa 10? Bài 6: Tồn tại hay không các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng tổng các bình phương? Có nhận xét gì về hai vế của đẳng thức? Ta có kết luận gì? Ta có thể nói : Biểu thức A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 có giá trị nhỏ nhất là 2 khi x = 2 ; y = và z = 4 HS ghi đề, tiến hành bài giải 1HS lên giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = ...= 5x - 8 HS thực hiện, 1HS lên giải b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 HS ghi đề, tiến hành bài giải Thực hiện phép tính, rút gọn vế trái 1HS lên bảng giải (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = 1 x3 - 27 - x(x2 - 4) = 1 x3 - 27 - x3 + 4x = 1 4x = 28 x = 7 HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải được thì theo Hd của GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ 2 ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS giải A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghĩ, tìm cách tính xy Từ x + y = 2x2 + y2 + 2xy = 4 xy = - 3 (2) Thay (2) vào (1) ta có : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề Bình phương Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta có a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 1 a4 + b4 + c4 = 1 - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) Tính: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta phải bình phương Bt: (ab + bc + ca) Ta bình phương Bt: a + b + c = 0, ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 ab + bc + ca = (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) Thay (2) vào (1) ta có: B = 1 - 2. = 1 - = HS ghi đề, tìm cách giải Để chứng minh một tổng là một số chính phương, ta cần c/m nó bằng bình phương của một số A = + + + 8 = () + () + 6( ) + 8 = + + 6. + 8 = = = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ 2 = 0 (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + 2 = 0 Rõ ràng, vế trái của đẳng thức là một số dương với mọi x, y, z; còn vế phải bằng 0 Vậy không tồn tại các số x, y, z thoã mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 0 Bài tập về nhà Bài 1: Rút gọn biểu thức: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bài 2: a) Cho x - y = 1. Tính giá trị Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 . Tính x3 + y3 theo a và b Bài 3: Chứng minh rằng Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3 abc BUỔI 3 : ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG A. MỤC TIÊU: - Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thang, đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang - Tiếp tục rèn luyện kỷ năng chứng minh hình học cho HS - tạo niềm tin và hứng thú cho HS trong khi học nâng cao B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại một số kiến thức bài học: 1. Đường trung bình của tam giác * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác gọi là đường trung bình của tam giác - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đường trung bình của ABC - Nếu E là trung điểm AB và EF // BC thì F là trung điểm AC - EF là đường trung bình của ABC thì EF // BC và EF = BC 4. Đường trung bình của hình thang: * Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là đường trung bình của hình thang + Hình thang ABCD (AB // CD) có M là trung điểm AD, N là trung điểm BC thì MN là đường trung bình của hình thang ABCD + Nếu MA = MD, MN // CD // AB thì NB = NC + MN là đường trung bình của hình thang ABCD thì MN // AB // CD và MN = (AB + CD) A B C E F II. Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho ABC đều cạnh a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC a) Tứ giác BCMN là hình gì? vì sao? b) Tính chu vi của tứ giác BCNM theo a Cho HS tìm lời giải ít phút Dự đoán dạng của tứ giác BCNM? Để c/m tứ giác BCNM là hình thang cân ta cần c/m gì? Vì sao MN // BC Vì sao ? Từ đó ta có KL gì? Chu vi hình thang cân BCNM tính như thế nào? Hãy tính cạnh BM, NC theo a BC = ? vì sao? Vậy: chu vi hình thang cân BCNM tinh theo a là bao nhiêu? Bài 2: Cho ABC có ba góc đều nhọn; AB > AC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Vẽ đường cao AH a) C/m: MP = NH b) Giả sử: MH PN. C/m: MN + PH = AH Để C/m MP = NH ta cần C/m gì? Từ GT suy ra MP có tính chất gì? Ta cần C/m gì? Gọi I = MN AH thì ta có điều gì? Vì sao? Hoàn thành lời giải? Khi MH PN thì MH AB? Vì sao? AMH là tam giác gì? vì sao? ABH là tam giác gì? vì sao? Từ đó suy ra điều gì? Bài 3: Cho ABC. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác trong. kẻ IM AB; IN BC và IK AC. Qua A vẽ đường thẳng a // MN; đường thẳng b // NK. A cắt NK tại E, b cắt NM tại D, ED lần lượt cắt AC, AB tại P, Q. Cmr: PQ // BC Gọi giao điểm của BC và AD là L, của BC và AE là H Để c/m: AM = AK ta c/m gì?, Tương tự hãy c/m: BN = BM, CN = CK MNHA là hình gì? Vì sao Ta suy ra điều gì? KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có điều gì? Ta có thể KL gì về Mqh giữa ND, NE trong ALH DE có tính chất gì? Bài 4: Cho ABC có AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt các tia phân giác của góc B và góc C tại D và E. Từ A vẽ AP BD; AQ CE. PQ lần lượt cắt BE, CD tại M và N Tính MN, PQ theo a, b, c Dự đoán xem MN có tính chất gì? Hãy C/m BCDE là hình thang Dự đoán và c/m dạng của BAD Từ đó ta có điều gì? PQ có tính chất gì? Suy ra tính chất của MN Hãy tính MN và PQ theo a, b, c HS ghi đề bài Viết GT, KL, vẽ hình HS suy nghĩ, tìm lời giải HS dự đoán c/m: MN // BC và Từ GT MN là đường trung bình của ABC MN // BC (1) và MN = BC (2) ABC đều nên (3) Từ (1) và (3) suy ra tứ giác BCNM là hình thang cân Chu vi hình thang cân BCNM là PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) BM = NC = AB = BC = a BC = a, MN = BC = a Vậy : PBCNM = BC +BM + MN + NC = a + a + a + a = a Vẽ hình Tứ giác MPHN là hình thang cân hoặc C/m: MP và NH cùng bằng một đoạn nào đó MP là đường Tb của ABC nên MP // AC và MP = AC Ta cần C/m NH = AC M là trung điểm AB và MI // BH ( do MN là đường trung bình của ABC) nên I là trung điểm AH và AI MN (Do AH BC ) ANH cân tại N NH = NA = AC Vậy: MP = NH HS hoàn thành lời giải câu a Khi MH PN thì MH AB vì NP // AB AMH là tam giác vuông cân tại M vì có và có MI vừa là trung tuyến vừa là đường cao ABH có mà nên ABH vuông cân tại H. Suy ra BH = AH Mà BH = BP + PH = MN + PH Vậy: MN + PH = AH HS ghi đề, Vẽ hình, AMI = AKI (C. huyền – g. nhọn) AM = AK (1) BMI = BNI (C. huyền – g. nhọn) BM = BN (2) CNI = CKI (C. huyền – g. nhọn) CN = CK (3) MNHA là hình thang cân( vì có: MN//AH, ) NH = AM (4) KNLA là hình thang cân NL = AK (5) Từ (1), (4), (5) NL = NH (6) NE, ND là đường trung bình của ALH nên: EA = EH (7) và DA = DL (8) Từ (7) và (8) suy ra: DE là đường trung bình của ALH DE // LH PQ // BC HS vẽ hình Dự đoán: MN là đường trung bình của hình thang BCDE Từ gt BCDE là hình thang vì có DE // BC mà (so le trong – do BC // DE) BAD cân tại A. mà AP BD PB = PD; AB = AD = c Tương tự CAE cân tại A Và AQ CE QC = QE và AC = AE = b PQ là đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo hình thang BCDE nên PQ // AB MN là đường trung bình của hình thang BCDE nên: MN = = PQ = MN–(MQ + NP) = - BC = III. Bài tập về nhà: Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD, = 900); AB = CD = AB kẻ CH AB, Gọi giao điểm của AC và DH là E, giao điểm của BD và CH là F Tứ giác ADCH là hình gì? b) C/m : AC BC c) EF = DC = AB Bài 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy BUỔI 4 – PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu và nâng cao kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử * HS sử dụng thành thạo các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * Vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử vào các bài toán chứng minh, tìm giá trị của biểu thức, của biến B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại kiến thức bài học: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: * Phương pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phương pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với nhau để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức * Phương pháp tách hạng tử : Với đa thức dạng: a x2 + bx + c ta làm như sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn ra 2 thừa số có tổng bằng b. Tách bx = (b1x + b2x) nếu b = b1 + b2 Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần phân tích thành một biểu thức dễ phân tích hơn * Phương pháp Thêm bớt cùng một hạng tử : Thêm hoặc bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc một hằng đẳng thức * Phối hợp nhiều phương pháp: sử dụng đồng thời nhiều phương pháp để phân tích II. Bài tập vận dụng: Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Bài 1: Phân tích thành nhân tử: a) 25x4 – 10x2y + y2 áp dụng phương pháp nào để phân tích đa thức này b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a) x4 + 2x3 – 4x - 4 Ta áp dụng phương pháp nào để phân tích b) x3 +2x2y – x – 2y c) ac2x – adx – bc2x + cdx +bdx – c3x 3. Bài 3: Phân tích thành nhân tử a) x2 – 6x + 8 áp dụng phương pháp nào để phân tích? Phân tích bằng cách tách hạng tử nào? tách như thế nào? Có thể tách như thế nào khác nữa để xuất hiện hằng đẳng thức rồi tiếp tục phân tích Tương tự, GV cùng HS tìm ra các cách phân tích khác trong phương pháp tách hạng tử b) a4 + a2 + 1 Hãy tách a2 thành 2 hạng tử để phân tích c) x3 – 19x – 30 Hãy tách hạng tử -19x để phân tích Bài 4: Phân tích thành nhân tử a) a4 + 64 Dạng a2 + b2 nên ta thêm và bớt hạng tử nào để xuất hiện một hằng đẳng thức b) x5 – x4 - 1 c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta đã có a3 + b3, vậy nên thêm bớt các hạng tử nào để xuất hiện hằng đẳng thức Hãy phân tích đa thức trên thành nhân tử Bài 5: Phân tích thành nhân tử a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phương pháp nào để phân tích b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS làm tương tự như câu a Bài 6: a) Cho a + b + c = 0 c/m rằng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Từ a + b + c = 0 ? b) cho xy0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 C/m: HS: áp dụng PP dùng Hđt 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 2. 5x2.y + y2 = (5x2 – y)2 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) áp dụng phương pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – 4 = (x4 – 4 ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) HS ghi đề Cách 1: Vì 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) nên ta có: x2 – 6x + 8 = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = …? Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 =..? HS về nhà tìm thêm cách khác b) a4 + a2 + 1 = (a4 + 2a2 + 1 ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thêm và bớt 2ab ta có; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – 1 = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghĩ, trả lời c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) Đặt (x2 + x ) = y ta có (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) Đặt y = x2 + 8x + 7 thì x2 + 8x + 15 = y + 8 ta có: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – 1 = (y + 4)2 – 1 = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Từ a + b + c = 0 (a + b + c )2 = 0 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0 (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2). Vì a + b + c = 0 a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Từ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = 0 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = 0 a2y2 - 2abxy + b2x2 = 0 (ay – bx)2 = 0 ay – bx = 0 ay = bx (đpcm) III. Bài tập về nhà: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 c) x2 – 7xy + 10y2 d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bài 2: Chứng minh rằng a) Hiệu các bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8 b) A = (n + 1)4 + n4 + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với Bài 5: HÌNH BÌNH HÀNH – HÌNH CHỮ NHẬT A. MỤC TIÊU: * Củng cố và nâng cao kiến thức về hình bình hành và hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập về Hbh và hcn * HS có hứng thú và nghiêm túc trong học tập B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I. Nhắc lại kiến thức bài học: Kiến thức Hình bình hành Hình chữ nhật 1. Định nghĩa ABCD là Hbh ABCD là Hcn 2. Tính chất ABCD là Hbh , AC BD = O ABCD là Hcn , AC BD = O 3. Dấu hiệu nhận biết ABCD là Hbh + + ABCD có AB // CD Và + ABCD là Hbh có: - - AC = BD ABCD Là hcn II. Bài tập vận dụng: Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1. Bài 1: Cho Hbh ABCD có . Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm của AB a) C/m: AB = 2AD b) Gọi F là trung điểm của CD. C/m ADF đều, AFC cân c) C/m AC AD Giải Gọi E là trung điểm của AB. Ta có ADE là tam giác gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó Hãy C/m ADF cân tại A có một góc 600 Hãy C/m AFC cân tại F Từ AFC cân tại F ta suy ra điều gì? Góc DFA bằng hai lần góc nào củaAFC =? 2. Bài 2: Cho ABC và O là điểm thuộc miền trong của tam giác đó. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giải Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy ta C/m gì? Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường chéo của hai hbh có chung một đường chéo Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m như thế nào? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau? 3. Bài 3: Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BHAC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, CD. Chứng minh BE EF Giải Gọi K là trung điểm của AB ta có điều gì? Vì sao? Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao? EI có tính chất gì? Vì sao? BFE là tam giác gì? Vìa sao? 4. Bài 4: Cho ABC cân tại A. Từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Dựng các hình chữ nhật BDEH và CDFK a) C/m: ba điểm A, H, K thẳng hàng b) C/m: A là trung điểm của HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng IJ khi D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với một đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như thế nào? Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra điều gì? Từ MI // AH và MJ // AK ta suy ra điều gì Có cách C/m nào khác? Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A là trung điểm của HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là trung điểm của DH để AH = AK Kẻ MN BC và đường cao AG thì MN có tính chất gì? M cách BC một khoảng không đổi thì m nằm trên đường nào? HS ghi đề, vẽ hình a)ADE là tam giác cân Ta có , mà ABCD là Hbh nên ADE cân tại A AD = AE mà AB = 2 AE Nên AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD là Hbh) mà DF = CD, AD = AB. Suy ra AD = DF ADF cân trại D có vậy: ADF là tam giác đều Ta có AF = DF (do ADF đều) Mà DF = FC (F là trung điểm của BC) Suy ra AF = FC AFC cân tại F c) AFC cân tại F (Góc ngoài tại đỉnh của tam giác cân) Mà (do ADF đều). Suy ra hay AC AD HS ghi đề, vẽ hình HS suy nghĩ , phát biểu HS ghi nhớ phương pháp c/m E, F là trung điểm của BC, CA EF là đường trung bình của ABC suy ra EF // AB, EF = AB (1) Tương tự LM là đường trung bình của OAB suy ra LM // AB, LM =AB (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì có NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy tại trung điểm của LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM và NLDE có tâm trùng nhau HS ghi đề, vẽ hình Gọi K là trung điểm của AB ta có EK // HB (Vì EK là đường trung bình của AHB) mà BHAC EK AC suy ra CEK vuông tại E Tứ giác BCFK có BK //= CF và có nên là hình chữ nhật nên hai đường chéo BF và CK cắt nhau tại I và BF = CK I là trung điểm của BF , CK EI là trung tuyến thuộc cạnh huyền CK của CEK EI = CK = BF BFE có trung tuyến EI = BF nên là tam giác vuông tại E BE EF HS ghi đề , vẽ hình HS phát biểu C/m AH, AK cùng song song với IJ HS nêu cách c/m Từ I, J là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của IJ ta suy ra MI và MJ lần lượt là đường trung bình của các tam giác AHD và AKD Nên MI // AH và MJ // AK hay AH và AK cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) HS nêu cách C/m khác ABC cân tại A nên (1) I là tâm của hcn BDEH nên suy ra BID cân tại I hay (2) Từ (1) và (2) suy ra AB // DK mà IH = ID nên AH = AK mà A, H, K thẳng hàng nên A là trung điểm của HK c) Kẻ MN BC (N BC); đường cao AG ta có MN = AH (vì MN là đường t