a. Số các số hạng của công thức là 1 n
b. Tổng các số mũ của a và b trong m ỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức: n n k n
c. Số hạng tổng quát của nhị thức là:
1
k n k k
k n
T C a b
(Đó là số hạng thứ 1 k trong khai triển
n
a b )
d. Các hệ số nhị thức các đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
e.
1 0
2 .
n n n
n n n
C C C
f.
0 1
0 . 1
n
n
C C C
41 trang |
Chia sẻ: lephuong6688 | Lượt xem: 756 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Giáo án môn Toán 11 - Nhị thức newton và ứng dụng, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
1
1
Hè 2009
NGUYỄN VĂN NĂM - LÊ HOÀNG NAM
THPT Lê Hông Phong ( Đồng Nai) – THPT Lê Quý Đôn (Đà Nẵng)
vannamlhp – mylove288
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
2
2
NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
A. LÝ THUYẾT
1. CÔNG THỨC NEWTON:
Cho 2 số thực ,a b và số nguyên dương n thì:
0 1 1
0
0 1 1
0
...
1 ... 1
n
n k n k n n n n n
n n n n
k
n
n k nk n k n n n n n
n n n n
k
a b C a b C a C a b C b
a b C a b C a C a b C b
2. Tính Chất
a. Số các số hạng của công thức là 1n
b. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức: n n k n
c. Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1
k n k k
k nT C a b
(Đó là số hạng thứ 1k trong khai triển na b )
d. Các hệ số nhị thức các đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
e. 1 02 ...n n nn n nC C C
f. 0 10 ... 1 n nn n nC C C
g. Tam giác Pascal:
0 1
1 1 1
2 1 2 1
..................................................
n
n
n
1
1
....................
1..................
1 ......................1
............................................................
m m
k k
m
k
n k C C
n k C
...........
Với 1 1
m m m
k k kC C C
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
1 #0
2
3 3
...........................................................................
a b a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
3
3
3. Một số khai tiển hay sử dụng:
0 1
0
0 1
0
2 1 1 ...
0 1 1 1 ... 1
n
nn k n
n n n n
k
n
n k nk n
n n n n
k
C C C C
C C C C
0 1 1 0
0
1 ...
n
n k n k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
0 0 1 1
0
1 1 ... 1
n
n k nk n k n n
n n n n
k
x C x C x C x C x
0 1 1 0
0
1 1 ... 1
n
n k nk n k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
4. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức NEWTON
1. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có
1
n
i
n
i
C
với i là các số tự
nhiên liên tiếp.
2. Trong biểu thức có
1
1
n
i
n
i
i i C
thì ta dùng đạo hàm i
Trong biểu thức có
1
n
i
n
i
i k C
thì ta nhân hai vế với kx , rồi lấy đạo hàm.
Trong biểu thức có
1
n
k i
n
i
a C
thì ta chọn giá trị của x a thích hợp.
Trong biểu thức có
1
1
1
n
i
n
i
C
i
thì ta lấy tích phân xác định trên ;a b thích
hợp.
Nếu bài toán cho khai triển
1 1
n nn n i i a n i iba b i a b i
n n
i i
x x C x x C x
thì hệ số của mx là inC sao cho phương trình .a n i b i m có nghiệm i
inC đạt MAX khi
1
2
nk hay 1
2
nk với n lẻ,
2
nk với n chẵn.
Việc nhận biết các dấu hiệu này sẽ giúp cho chúng ta giải quyết tốt những dạng toán liên
quan đến nhị thức NEWTON, đặt biệt là trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC
1. Bài toán tìm hệ số trong khai triển NEWTON
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
4
4
Ví dụ 1.1: (D(H Thủy lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
9 10 141 1 ... 1Q x x x x
Ta được đa thức: 140 1 14...Q x a a x a x
Xác định hệ số 9a .
Giải
Hệ số 9x trong các đa thức: 9 10 141 1 ... 1x x x lần lượt là: 9 5 99 10 14, ,...,C C C
Do đó: 9 9 99 9 10 14...a C C C
1 1 1 11 10 10.11 10.11.12 .10.11.12.13 10.11.12.13.14
2 6 24 20
11 55 220 715 2002 3003
Ví dụ 1.2(ĐHBKHN- 2000) Giải bất phương trình: 2 2 32
1 6 10
2 x x x
A A C
x
Giải
Điều kiện: x là số nguyên dương và 3x
Ta có: bất phương trình tương đương với
2 1 2 6 2 1
1 10
2 3!
2 2 1 1 2 1 10
3 12 4
x x x x
x x
x
x x x x x x
x x
Vì x nguyên dương và 3x nên 3.4x
Ví dụ 1.3: Tìm hệ số 16x trong khai triển 102 2x x
Giải
Ta có:
10 10
10
0
102 2 22
k kk
k
x x xC x
10 10
20 2 20
10 10
0 0
2 2k kk k k k k
k k
C x x C x
Ta chọn: 20 16 4k k
Hệ số 16x trong khai triển là: 410 3360C
Ví dụ 1.4: Tìm hệ số 1008x trong khai triển
2009
2
3
1x
x
Giải
Số hạng thứ 1k trong khai triển:
20092 4018 51 2009 20093
1 kkk k k
kT C x C xx
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
5
5
Ta chọn: 4018 5 1008 602k k
Hệ số của 1008x trong khai triển là 6022009C
Ví dụ 1.5:(ĐH KA 2004) Tìm hệ số của 8x trong khai triển đa thức của
821 1x x
Giải
Cách 1: Ta có
8 8
2 2
8 8
0 0 0
1 1
kk ik k k i i
k
k k i
f x C x x C x C x
.
Vậy ta có hệ số của 8x là 81
i k i
kC C thỏa
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k
k
k i
ii k N
k
Hệ số của 8x là: 24 0 3 24 3
0
8 8 231 81C C C C
Cách 2: Ta có:
3 4 83 2 4 2 80
8 8 8 8
2... ..1 .1 1f x C C x x C x x C x x
Nhận thấy: 8x chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ tư: 28
33 1C x x
Số hạng thứ năm: 28
44 1C x x
Với hệ số tương đương: 3 2 4 08 8 3 8 4 238A C C C C
Ví dụ: 1.6:(ĐH SPQN 2000) Xác định hệ số 3x trong khai triển hàm số
1021 2 3P x x x theo lũy thừa của x
Giải
Ta có: 10 1021 2 3 1 2 3P x x x x x
2 3 100 1 2 2 3 3 10 1010 10 10 10 102 3 2 3 2 3 ... 2 3C C x x C x x C x x C x x
Nhận thấy rằng hệ số 3x chỉ xuất hiện trong:
2 210 10 102 3 32 3 3 2 3 3 31044 122 3 2 3 9 2 3x x xC x xx C xC x x C
Hệ số 3x trong khai triển của P x là: 2 310 1012 .8 540 960 1500C C
Ví dụ 1.7: Tìm hệ số của 16x trong khai triển thành đa thức của
162 21 1f x x x
Giải
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
6
6
Xét khai triển:
16
2 2 2
16
1 0
1
n kk
i
i k
f x C C x x
16 16
22 2
16 16
0 0 0 0
1 1 1
k k
k i i k ik k i i k i
k k
k i k i
C x C x C C x
Vậy ta có hệ số của 16x là 1 161
k k i
kC C
thỏa
0 8
0 16 1 7
8 2 6
, 3 5
4 4
i k
i k i k
k i i k
i k N i k
i k
Vì vậy hệ số của 16x trong đa thức là: 8 0 7 1 6 2 5 3 4 416 8 16 7 16 8 16 8 16 8 258570C C C C C C C C C C
Ví dụ 1.8: Tìm hệ số của số hạng 101 99x y trong khai triển 2002 3x y
Giải
Ta có:
200200200 200
200
0
2 3 2 3 2 3k kk
k
x y x y C x y
200
200 200
200
0
1 .2 .3 . .k k k k k k
k
C x y
Ta chon:
200 101
99
99
k
k
k
Vậy hệ số cần tìm là: 99 99 99 99 99 99 99200 2001 .2 .3 .2 .3C C
Ví dụ 1.9: (ĐH HCQG, 2000)
a) Tìm hệ số 8x trong khai triển
121x
x
b) Cho biết tổng tấc cả các hệ số của khai triển nhị thức 2 1 nx bằng 1024 . Hãy tìm
hệ số a *a N của số hạng 12ax trong khai triển đó. ((ĐHSPHN, khối D, 2000) )
Giải
a) Số hạng thứ 1k trong khai triển là: 12 12 212 12 0 12
1 kk k k k
ka C x C xx
k
Ta chọn 12 2 8 2k k
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa 8x và có hệ số là: 212 66C
b) Ta có: 2 2 22 1 12
0
.1 ..
n
k k k k
n
n
n
k
n
n nC x C C xCx x
Với 1x thì: 0 12 ... 1024n nn n nC C C
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
7
7
10 102 2n n
Do đó hệ số a (của 12x ) là: 610 210C
c)
Ví dụ 1. 10: (D(H Khối A- 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị
thức NEWTON của 74
1 nx
x
biết rằng 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C ( n nguyên
dương và knC là tổ hợp chập k của n phần tử)
Giải
Từ giả thiết suy ra: 0 1 202 1 2 1 2 1... 2 1nn n nC C C
Mặt khác: 2 12 1 2 1 , , 0 2 1
k n k
n nC C k k n
, nên:
0 1 0 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11... ... 22
n n
n n n n n nC C C C C C
Từ khai triển nhị thức của: 2 11 1 :n suy ra
2 1 2 10 1 2 12 1 2 1 2 1... 1 1 2 3
n nn
n n nC C C
1 , 2
2 20
3
2 2 10n n
Ta có số hạng tổng quát của nhị thức
10
107 4 7 11 40
10 104
0 0
1 n nk kk k k
k k
x C x x C x
x
Hệ số của 26x là 10
kC với k thỏa mãn 11 40 26 6k k
Vậy hệ số của 26x là 610 210C
Ví dụ 1.11: (ĐHKT HN- 1998) Tìm hệ số đứng trước 5x trong khai triển biểu thức
sau đây thành đa thức: 4 5 6 72 1 2 1 2 1 2 1f x x x x x
Giải
Ta xét các khai triển sau:
4 5
4 4 5 5
4 5
0 0
6 7
6 6 7 7
6 7
0 0
2 1 2 ; 2 1 2
2 1 2 ; 2 1 2
k kk k
k k
k kk k
k k
x C x x C x
x C x x C x
Nhận xét: Số hạng chứa 5x của 42 1 là 0x
Số hạng chứa 5x của 5 5052 1 là 2x C x
Số hạng chứa 5x của 6 5162 1 là 2x C x
Số hạng chứa 5x của 7 5252 1 là 2x C x
Vậy hệ số cần tìm là: 5 5 50 1 25 6 70 2 2 2 896C x C x C x
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
8
8
Ví dụ 1.12( Khối D- 2003) Với n là số nguyên dương, gọi 3 3na là hệ số của
3 3nx
trong khai triển thành đa thức của 2 1 2n nx x . Tìm n để 3 3 26na n
Giải
Cách 1: Ta có
2 2 1 2 2 2 2 4
1 1 2 2 2
0
0
1 ...
2 2 2 ... 2
n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n n
n
x C x C x C x C
x C x C x C x C
Dễ thấy với 1, 2n n không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Với 3n thì 3 3 2 3 2 2 1n n n n nx x x x x
Vì vậy hệ số của 3 3nx trong khai triển thành đa thức của 2 1 2n nx x là:
2
3 3
52 2 3 4
26 26 73 ( )
2
n
nn n n
n n
n L
a
oai
Vậy 5n là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán ( n nguyên dương).
Cách 2: Xét khai triển:
2 3 32 2
0
2
0
3
0
0
1 12 1 2
2
1 21
k in nn nnn n n k i
n n
k i
n n
k k k i i
n n
k
n
i
C Cx
C x C x
x x x
x x x x
x
Trong khai triển lũy thừa của x là
0
3
3 3 2 3
1
1
i
k
n i k
i
k
Nên của hệ số của 3 3nx là:
2
3 3
52 2 3 4
26 26 73 ( )
2
n
nn n n
n n
n L
a
oai
Vậy 5n là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán ( n nguyên dương).
Ví dụ: 1.13( Khối A- 2002)Cho khai triển nhị thức:
111 1 1 1
0 1 13 3 3 32 2 2 22 . 2 ... . 2 2
n n nn nx x x xx x x x
n n
n n n nx C x C x C x C
( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 3 15n nC C và số hạng thứ tư
bằng 20n . Tính n và x .
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
9
9
Giải
Điều kiện: n N và 3n
Ta có:
3 1 ! !5
3!
5
3 ! 1 !n n
n n
n
C C
n
21 2 5 3 28 0
6
n n n
n n n
7n (Nhận) 4n (loại)
Với 7n ta có:
7 771 17
3 32 2
7
0
2 2
kx xx x
k
k
x C x
Vậy số hạng thứ tư trong khai triển trên là:
341
3 2 232
7 2 35.2 .2
xx
x xC x
Kết hợp với giả thiết ta được: 2 2 235.2 .2 140 2 4 4x x x x
Ví dụ 1.14: Tìm x biết rằng trong khai triển của nhị thức:
1
22 2
n
xx
có tổng 2 số
hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135 , còn tổng 3 hệ số của 3 số hạng cuối bằng 22
Giải
Từ giải thiết ta có:
2 1 2 22 42 1 2 4
2 1
2 2 92 .2 2 135
1
1 2222 2
x xn nx x x
n n
n n n
n n n
C C
n n
nC C C
2 2
2 2 1
4 12 2
1 142 9 2 2 0 2 2
2 2
42 0 6
7 ( )
x
x
t x
t xt t t t x
t
n n n
n Loai
Vậy 11,
2
x
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 1.15: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển:
1711
5
x
Giải
Xét khai triển:
17 17
17
0
1 11
5 5
k
kk
k
x C x
1 0,1, 2,...,175
k
k
ka x k
Ta có ka đặt
1
1
17 17
1
1
17 17
1
1
1 1
5 5
max
1 1
5 5
k k
k k
k k
k k
k k
k k
a a
C C
a
C
a
C
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
10
10
17! 17!5
! 17 ! 1 ! 16 ! 5 5 17
2 3
17! 17! 18 55
! 17 ! 1 ! 18 !
k k k k k k
k
k k
k k k k
Với 2k thì hệ số là:
2
2
17
1 5.44
5
C
Với k thì hệ số là:
3
3
17
1 5.44
5
C
Vậy hệ số lớn nhất là:
3
3
17
1 5.44
5
C
Từ Ví dụ trên ta đi đến bài toán tổng quát sau:
Ví dụ: 1.15.2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức NEWTON của na bx
Phương pháp giải: Xét khai triển na bx có số hạng tổng quát k n k k knC a b x
Ta đặt: , 0k n kk
k
nu k nC a b
ta được dãy số ku . Việc còn lại là đi tìm số hạng lớn
nhất của dãy ta làm như sau:
Giải bất phương trình
1
1k
k
u
u
tìm được
0 00 1
...k k nk u u u
Giải bất phương trình
1
1k
k
u
u
tìm được
1 10 1 0
...k kk u u u
Từ đó ta có số hạng lớn nhất của dãy là 0 1max ,k ku u
Tuy nhiên để đơn giản chúng ta có thể làm như sau:
Giải hệ bất phương trình
1
0
1
k k
k k
u u
k
u u
Suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức NEWTON là 0 0 0k n k knC a b
Ví dụ 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức
1 0 1
2 1
12
2...1 2 a a x aP x x x
Tìm 0 1 2 12max , , ...,a a a a
Giải
Cách 1: Xét khai triển: 12 12
12
12
0
21 2 1 k kk
k
C xx
12 2 0,1, 2,...,12 1k kka C k
Xét bất đẳng thức: 1k ka a
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
11
11
1
1 1
12 12
12!2 12!22 2
! 12 ! 1 ! 11 !
k k
k k k kC C
k k k k
1 2 23 23 23 7 0 7
12 1 3 3
k k k k Z
k k
Áp dụng 1 cho 0,1, 2,...,12k ta được: 0 1 7 8 9 12... ...a a a a a a
8 180 1 2 12 8 12max , , ..., .2 126720a a a a a C
Cách 2: Gọi ka là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: 1k ka a
Từ đây ta có được hệ bất phương trình:
1 1
12 12
1 1
12 12
2 1
2 2 23 2512 1 8
1 2 3 32 2
12 1
k k k k
k k k k
C C k k k k
C C
k k
8 180 1 2 12 8 12max , , ..., .2 126720a a a a a C
Ví dụ 1.17: Tìm hệ số của số hạng chứa 4x trong khai triển và rút gọn tổng sau:
4 5 151 1 ... 1f x x x x
Giải
Vì tổng f x có 12 số hạng nên ta có:
12 16 44 1 1 1 11
1 1
x x x
f x x
x x
Hệ số của số hạng chứa 4x là hệ số của số hạng chứa 5x trong 161 x
Vậy hệ số cần tìm là: 516 4368C
Đối với dạng toán này ta có phương pháp giải sau:
Bài toán tìm hệ số chứa kx trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội 1q là:
2
1 2 1
1... 1.9
1n n
qS u u u u
q
Xét tổng 1 21 1 ... 1m m m nS x bx bx bx như là tổng n số hạng đầu
tiên của cấp số nhân với 11 1
mu bx và công bội 1q bx
Áp dụng công thức 1.9 ta được:
1 11 1 1 1 11
1 1
n m n m
m bx bx bxS x bx
bx bx
Suy ra hệ số của số hạng chứa kx trong S x là tích giữa 1
b
và hệ số của số hạng chứa
1kx trong khai triển 1 11 1 .m n mbx bx
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
12
12
Ví dụ 1.18: Tìm hệ số của số hạng chứa x và rút gọn tổng sau:
2 11 2 1 ... 1 1 1n nS x x x n x n x
Giải
Ta có: 2 11 1 2 1 ... 1 1 1n nS x x x n x n x
Đặt:
2 2 1
2 3 1
1 1 2 1 3 1 ... 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
'
n n
n n
f x x x x n x n x
F x x x x x x
S x f x xf x
F x f x
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S x bằng tổng của số hạng chứa x và không
chứa x của f x bằng tổng của số hạng chứa x và hai lần hệ số của số hạng chứa 2x
của F x
Tổng F x có n số hạng
11 1 1 11
1 1
n nx x x
F x x
x x
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của 2 1nF x C
Suy ra hệ số của số hạng chứa 2x của 3 1nF x C
Vậy hệ số cần tìm là: 2 31 1
1 2 1
2
6n n
n n n
C C
2. Bài toán tìm số hạng trong khai triển NEWTON
Ví dụ 2.1: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 252 3x
Giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển là: 2020 5 20 5 20 2025 252 3 2 3C x C x
Ví dụ 2.2 Tìm số hạng chứa chứa 28x trong khai triển 103x xy
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là: 103 30 21 10 10
k kk k k k
kT C x xy C x y
Số hạng chứa 28x ứng với: 30 2 28 1k k
Vậy số hạng cần tìm là: 1 2910C x y
Ví dụ 2.3
a. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 213x xy
b. Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau
20
4
23
1x x
xy
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
13
13
Giải
a. Khai triển 203x xy có 21 1 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng
thứ 11 và 12
Số hạng thứ 11: 11 1010 3 10 43 1021 21C x xy C x y
Số hạng thứ 12 : 10 1111 3 10 41 1121 21C x xy C x y
b. Khai triển
20
4
23
1x x
xy
có 20 1 21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa là số
hạng thứ 21 1 16
2
:
10 10 65 207 2
10 10 6 34 3
20 20C x xy C x y
( Với x là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ).
Ví dụ 2.4 Tìm số hạng chứa 3x trong khai triển 101 1x x
Giải
Cách 1: Xét khai triển
2 3 100 1 2 2 3 3 10 1010 10 10 10 10
10
1 1 1 1 ...1 1x C C x x C x x C x x C xx x
Nhận thấy: 3x chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ ba: 22 2 2 2 3 410 101 2C x x C x x x
Số hạng thứ tư: 33 3 3 3 4 5 610 101 3 3C x x C x x x x
Vậy số hạng cần tìm là: 2 3 3 3 310 102 210C x C x x
Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển là: 10 1
kk kC x x
Số hạng chứa 3x ứng với: 2 3k
Với 2k ta được: 22 210 1C x x nên số hạng chứa 3x là: 2 3102C x
Với k ta được: 33 310 1C x x nên số hạng chứa 3x là: 3 310C x
Vậy số hạng cần tìm là: 2 3 3 3 310 102 210C x C x x
Ví dụ 2.5:(ĐH Khối D- 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1f x x
x
với 0x
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
7 77
3 3 12
1 7 74
1 , 7
k
k kk k
kT C x C x k N kx
Ứng với số hạng không chứa x ta có: 7 7 0 4
3 12
k k
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
14
14
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển f x là: 47 35C
Ví dụ 2.6:(ĐHQG HN 2000)Tìm hệ số không chứa x trong khai triển:
17
34
3 2
01 x x
x
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
172 3
3 4
1 17
k k
k
kT C x x
Với 0 17,k k Z
3 2 34 17 34
4 3 3 12 3
17 17
k k k
k kC x C x
Đến đây ta phải tìm k sao cho 17 34 0 8
12 3
k k
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 trong khai triển và có giá trị là: 817 24310C
Ví dụ 2.7:(CĐGT – TH&TT- Đề 2- 2004) Số hạng chứa ,a b và có số mũ bằng nhau
trong khai triển:
21
3
3
a b
b a
Giải
Ta có số hạng ổng quát cảu khai triển:
21 211 1 1 1
3 6 6 23
3
. .a b a b a b
b a
21 3 21 63 42121 21
3 6 6 6 32
21 21
0 0
. . .
k k k k kk
k k
k k
C a b a b C a b
Để số mũ của a và b bằng nhau 3 21 63 4 84
6 6
k k k
Vậy hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển là: 2112 293930C
Ví dụ 2.8 :(ĐHSP Khối A, 2000) Trong khai triển
28
3 15 0
n
x x xx
. Hãy tìm
số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng: 1 2 79n n nn n nC C C
Giải
Từ giả thiết ta có:
1 2 179 1 79
2
n n n
n n n
n n
C C C n
2 156 0 12n n n
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển
28
3 15
12
x x x
là:
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
15
15
28 4 28 4812 16 163 5 3 15 15
12 12 12.
k k k kkk k kC x x x C x C x
Số hạng này không phụ thuộc vào 4816 0 5
15
x k k
Vậy số hạng cần tìm là: 512 792C
Ví dụ: 2.9: Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển
2 2
*3
2 2 , , 0,
n
x y x y n N
y x
Biết tổng tấc cả các hệ số trong khai triển này bằng: 4096
Giải
Trước tiên ta đi tìm n thông qua giả thiết đã cho: Có thể trình bày theo hai cách sau
Cách 1: Ta có: 0 11 ... 4096 *
n n
nx xx a a a Trong đó:
k
k na C
Với 120 1 ... 40961 1 2 122n na a a nx
Cách 2: Tổng tấc cả các hệ số trong khai triển là:
0 1 0 12
0
0 12 12 12
0
... 4079 2
1 .1 2 1 1 2 12
n
n
n n n n
k
n
n k nk n
n
k
C C C C
C n
Vậy số hạng thứ 6 trong khai triển
12
2 2
3
2 2
x y
y x
là:
32572 2 3
5 3
12 2 2 792
x y xC
y x y
Ví dụ 2.10:( ĐH SPHN- 2001) Cho khai triển nhị thức:
10
9 10
0 1 9 10
1 2 ...
3 3
x a a x a x a x
.
Hãy tìm số hạng ka lớn nhất.
Giải
Ta có:
10
10
10 1010 10 10
0
1 2 1 1 11 2 2 2
3 3 3 3 3
n
kk k k
k
k
x x C x a C
Ta có ka đạt
1
1 1
1
1
0 10
1 1
10 10
2 2
max
2 2
k k
k k
k k k k
File đính kèm:
- toan11.pdf