Đề tài Kinh nghiệm soạn đềvà phương pháp giải một sốdạng bài tập về số phức

Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 0 Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU I.BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Kể từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung “ Số phức” vào chương trình lớp 12 cho học sinh dạng đại trà. Đây là vấn đề khá mới lạ đối với không ít giáo viên và học sinh bậc THPT (do thời lượng chương trình và tài liệu nghiên cứu không nhiều), mặc dù nội dung này chiếm một tỉ lệ nhất định trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì thế, việc dạy và học nội dung “ Số phức” có hiệu quả thật sự là vấn đề cần nghiên cứu. Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy một ít kinh nghiệm cho nội dung này. Trong năm học 2010 - 2011, tôi đã hệ thống những kinh nghiệm soạn đề và phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức với hy vọng học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận các vấn đề liên quan đến số phức. II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những trải nghiệm sau: * Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên đa phần khi vận dụng còn ảnh hưởng bởi tính chất của tập hợp số thực đã học từ các lớp dưới. Vì vậy thường tỏ ra lúng túng khi đối mặt chúng trong các đề thi. * Trong nhiều trường hợp, có thể vận dụng phương pháp“ Dùng cái phức để giải quyết cái thực” một cách hữu hiệu. * Nghiên cứu dạng toán này còn giúp cho học sinh kết hợp phương pháp đại số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải quyết một số dạng toán nâng cao. * Đặc biệt, nhằm ứng dụng hiệu quả kiến thức tiếp thu qua các lớp tập huấn về công nghệ thông tin và bồi dưỡng thường xuyên, bên cạnh việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay trong việc tính toán số phức, bản thân còn ứng dụng phần mềm Maple để chủ động biên soạn các đề bài toán số phức phù hợp mục tiêu từng dạng bài. Từ những suy nghĩ trên, tôi mạn phép trao đổi cùng các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “KINH NGHIỆM SOẠN ĐỀ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán ở trường THPT. III. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU •Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng - Đại học. •Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm: * Một số dạng bài tập thường gặp về số phức. * Ứng dụng số phức tìm để giải quyết một số bài toán về số thực. * Các bài toán tham khảo qua các kì thi. * Minh họa một số đề bài toán được biên soạn bởi sự hỗ trợ phần mềm Maple. IV. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục tiêu: Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 2 * Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức. * Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm. * Ứng dụng CNTT trong việc đổi mới phương pháp dạy và học ở trường phổ thông. * Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Công Đoàn ngành Giáo dục phát động. V. ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU * SKKN này đã hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. * Qua SKKN nầy, học sinh được nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và các kỹ thuật tính toán đại số.Cụ thể là: + Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính. + Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức. + Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai. + Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai. + Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức. + Dạng 6: Nhị thức Niu-tơn và số phức. * SKKN này còn khai thác ý nghĩa hình học về các phép toán cộng, trừ của số phức và ứng dụng dạng lượng giác của số phức. * SKKN này đưa ra nhiều bài toán mẫu và các bài tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy trước mỗi dạng bài. * Qua SKKN này, học sinh sẽ tích lũy thành kinh nghiệm cho bản thân để có thể sáng tạo giải quyết các bài toán nâng cao và tổng hợp khác. * Đặc biệt, điểm mới cần lưu ý trong SKKN này là bản thân đã khai thác ứng dụng phần mềm Maple trong việc sáng tác các bài toán và kiểm tra kết quả theo mục tiêu bài học. PHẦN NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở: * Các kiến thức cơ bản về số phức. * Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. * Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay. * Một số lệnh cơ bản của Maple. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong suốt 12 năm học từ bậc tiểu học đến bậc THPT, hầu hết thời gian làm toán số của học sinh là yêu cầu giải quyết trên tập số thực. Riêng năm học lớp 12 học sinh được tiếp cận với tập số phức với thời lượng nhất định để nghiên cứu các dạng toán liên quan. Vì thế, nếu không có sự hướng dẫn đầy đủ và cụ thể của giáo viên thì học sinh thường có sự nhầm lẫn trong tính toán và không nắm vững phương pháp giải từng Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 3 dạng bài. Đồng thời, học sinh cũng không cảm nhận hết“ cái đẹp” của số phức cũng như không thấy rõ mối liên quan giữa các kiến thức toán học. Do vậy, việc giải các bài toán liên quan đến số phức đòi hỏi có sự kết hợp khéo léo và vận dụng linh hoạt, sáng tạo giữa các kiến thức toán. Sau đây, tôi xin giới thiệu một số phương pháp thường dùng để giải các dạng toán nói trên. III. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1) TÓM TẮT GIÁO KHOA Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt những nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức. Phần 1: SỐ PHỨC 2 Moãi laø moät bieåu thöùc daïng vôùi , vaø 1. Kí hieäu soá phöùc ñoù laø z vaø vieát . ñöôïc goïi laø ñôn vò aûo, ñöôïc goïi laø phaàn thöïc vaø ñöôïc Ñònh nghóa 1: soá phöc g ù + ∈ = − = + i \ a bi a b i z a bi i a b oïi laø phaàn aûo cuûa soá phöùc . Taäp hôïp caùc soá phöùc ñöôïc kí hieäu laø . = + ^ z a bi Ñònh nghóa 2: , Suy ra 0 0. a a a bi a b i a bi a b b b ′=⎧′ ′+ = + ⇔ + = ⇔ = =⎨ ′=⎩i Ñaây laø cô sôû cuûa vieäc öùng duïng soá phöùc ñeå giaûi quyeát caùc baøi toaùn trong taäp hôïp soá t Chuù yù: höïc. 3 3 2 2 Sau khi hoïc xong coâng thöùc Moivre(Moa- vrô), coù theå tính ñöôïc cos , sin nhö sau: Vôùi 3, xeùt = cos3 sin3 (1). Ta coù = (cos si V n í duï: ) (cos 3cos .sin ) (3cos i .s n ϕ ϕ = ϕ + ϕ ϕ+ ϕ ⇒ = ϕ− ϕ ϕ + ϕ ϕ ∗ i n n n z i z i z i 3 3 3 sin ); (2) cos3 4cos 3cos . Töø (1) vaø (2) ta ñöôïc: sin3 3sin 4sin . − ϕ ⎧ ϕ = ϕ− ϕ⎪⎨ ϕ = ϕ− ϕ⎪⎩ i i ′ ′ ′ ′≥ ∗ ≤ ^ Trong khoâng coù quan heä thöù töï, nghóa laø khoâng coù khaùi nieäm z > z , z < z , z z , z Chuù yù: z . ∗ = + + iÖÙng vôùi moãi soá coù duy nhaát moät ñieåm Bieåu dieãn hình hoïc cuûa soá phö ( ; )/ mp vaø ngöôïc laï ùc: i. Kí hieäu: ( ) hay ( ) . M a bz a bi M a b O M x z y i iCaùc ñieåm treân truïc hoaønh bieåu dieãn caùc soá thöïc; Caùc ñieåm treân truïc tung bieåu dieãn caùc soá aûo. Ox Oy Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 4 Cho coù vectô bieåu dieã cuûa ca n laø ( ; ) coù vectô bieåu d ùc pheùp toaùn coäng, tröø s ieãn laø ( ; ) oá phö :ùc = + ′ ′ ′ ′ ′ ′= + G JGz a bi u a b z a b i u a b ∗ Y Ù nghóa hình hoïc bieåu dieãn cho . Khi ño : bieåu dieãn cho - . ⎧ ′ ′+ +⎪⎨ ′ ′−⎪⎩ G JG G JGu u z zù u u z z ∗ ′ ′ ′= + = + ′ ′ ′ ′ ′= + + Ñònh nghóa pheùp nhaân soá phöùc: Tích cuûa hai soá phöùc va laø soá phöùc - ( ) . z a bi ø z a b i zz aa bb ab a b i * Chu ù yù : \ "Coù theå thöïc hieän caùc pheùp toaùn coäng, tröø, nhaân hai soá phöùc moät caùch hình thöùc töông töï nhö caùc pheùp toaùn coäng, trö,ø nhaân treân taäp soá thöïc " ∗Khaùi nieäm soá phöùc lieân hôïp vaø moâñun soá phöùc. 2 2 Pheùp chia soá phöùc: Soá phöùc lieân hôïp cuûa laø - . Moñun cuûa soá phöùc z laø Pheùp chia cho soá phöùc khaùc kh = . Soá nghòch ñaûo cuûa soá phöùc khaùc Ñònh nghóa: oâng: ∗ = + = + i i i z a bi z a bi â z a b z 1 2 0 laø soá 1 = . −z z z 1 2 Thöông cuûa pheùp chia soá phöùc cho soá phöùc 0 laø tích cuûa vôùi soá phöùc nghòch ñaûo cuûa , töùc laø . . Vaäy Neáu 0 th .: ì − ′ ′≠ = ′ ′ ′≠ ′ ′= z z zz z z z z z zz z z z z z SƠ ĐỒ TRÌNH BÀY KHÁI NIỆM PHÉP CHIA SỐ PHỨC − − ⎫⎪∗ = + ⇒ ⎪ ′ ′⎪ ′∗ = + ⇒ + ⇒ = ≠⎬⎪⎪∗ ≠ ⇒ ⎪⎭ 2 2 1 2 1 2 = - = . = 1Cho 0 = z a bi z a bi z z zz a bi z a b z z z z z z z z z ;( 0) Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 5 ′∗ Chuù yù: Trong thöïc haønh, ñeå tính ta chæ caàn nhaân caû töû vaø maãu soá vôù . i z z z Phần 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI =∗ ∗ ≠ 2 Ñònh nghóa: Coù theå chöùng minh ñö " Caên baäc hai cuûa soá phöùc laø soá phöùc sao cho " Moãi soá phöùc 0 coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ôïc keát quaû ñoái nhau (kh sau a : ùc 0) w z z w z ∗ + Khoâng ñöôïc duøng kí hieäu ñeå chæ caên baäc hai cuûa moät soá phöùc ( khoâng ñöôïc vieát )a bi : Chuù yù ∗ = + = + = ⇔ − + = + ⎧ − = ∗⎨ =⎩ i i 2 2 2 2 2 Chuù yù phöông phaùp tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc : Giaû söû laø caên baäc hai cuûa . Vaäy ta coù: ( ) 2 Giaûi heä phöông trình : ( ) 2 Vaäy vieäc w a bi z x yi w z w x y xyi a bi x y a xy b ∗ tìm caên baäc hai cuûa soá phöùc ñöôïc quy veà vieäc giaûi hpt ( ) baèng phöông phaùp theá trong taäp hôïp soá thöïc. w TÓM TẮT CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC ∗ ∗ Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø 0. Moãi soá phöùc khaùc 0 coù hai caên baäc hai laø hai soá ñoái nhau (khaùc 0). Ñaëc bieät, soá thöïc döông coù hai caên baäc hai laø vaø - ; soá thöïc a a a a − − aâm coù hai caên baäc hai laø vaø - .ai ai ∗ Phöông trình baäc hai: + + = ≠2 0; 0 (1)Az Bz C A Δ = − ∗ Δ ≠ − + δ − − δ= = δ Δ ∗Δ = 2 1 2 Xeùt bieät thöùc 4 . Neáu 0 thì pt (1) coù 2 nghieäm phaân bieät: , 2 2 trong ñoù laø moät caên baäc hai cuûa . 0 thì pt (1) coù nghieäm keùp: B AC B Bz z A A = = −1 2 .2 Bz z A : HS söû duïng MTCT ñeå kieåm tra nghieäm pt baäc baäc hai trong taäp soá phöùc.*Chu ù yù Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 6 Phần 3: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG = ϕ + ϕ >Daïng (cos sin ) vôùi 0 ∗ + = + ∈ ∗ i \ 2 2 PP tìm daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc Ñònh nghóa daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: khaùc 0 Böôùc 1:Tìm = (moñun cu ( ; ) cho tröô ûa so c:ù .z r i r z a bi r a b a b ϕ ϕ∈ ϕ ϕi \ á phöùc). Böôùc 2:Tìm (laø moät acgumen cuûa ); sao cho cos = ; sin = .a bz r r ∗Ñònh lyù nhaân vaø chia soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: = ϕ + ϕ ′ ′ ′ ′ ′= ϕ + ϕ ≥ ≥ ′ ′ ′ ′= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ′ ′ ′ ′= ϕ − ϕ + ϕ − ϕ > Neáu (cos sin ), (cos sin ) ( 0, 0), thì [cos( ) sin( )], [cos( ) sin( )](khi 0) z r i z r i r r zz rr i z r i r z r ∗ϕ + ϕ = ϕ + ϕ ∈ ϕ + ϕ = ϕ =i Ñaëc bieät khi 1: r ∗ + ϕ i `[ (cos sin )] (cos sin ); Coâng th ( öùc Moa-vrô cos sin ) cos si n : n n n r i r n i n n i n i n tích moâñun vaø toång acguNhaân: Ch men. thöông moâñun vaø hi ∗ = ϕ + ϕ > ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ⎛ ⎞− = π + π⎜ ⎟⎝ ⎠ Soá phöùc coù hai caên baäc hai laø Caên baäc hai cuûa soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc: (cos sin ), 0 (cos + sin ) vaø 2 2 (cos + sin ) cos( + ) + sin( ) . 2 2 2 : 2 z r i r r i r i r i Ghi nhôù: *Chu ù yù : eäu ia acg: umen. Coù theå keát hôïp coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Niu- tôn vaø coâng thöùc Moa-vrô ñeå tính toång. 2) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 7 Trên đây là những điểm trọng tâm và những điều cần lưu ý của nội dung kiến thức làm cơ sở nghiên cứu SKKN. Qua đó, ta có thể phân loại các dạng bài tập vận dụng như sau: Dạng 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ PHỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH Yêu cầu cần đạt: - Nắm vững các khái niệm và rèn luyện kỹ năng tính toán. - Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. Một số bài toán minh họa ( ) ( )+ − = + + +2 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc bieát: 1 . 2 8 (1 2 ) (CÑ A,B, D - 20 ) 09 z i i z i i z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = + + + ⎡ ⎤⇔ + − − + = +⎣ ⎦ ⇔ − − − = +⎡ ⎤⎣ ⎦ + −+⇔ = = = −+ i i 2 2 Ta coù: 1 . 2 8 (1 2 ) 1 . 2 (1 2 ) 8 2 . 2 1 2 8 8 . 1 28 2 3 . 2 1 5 Vaäy coù phaàn thöïc baèng 2, phaàn aûo baèng -3. i i z i i z i i i z i i i i z i i iiz i i z ( ) ( ) 21/ Cho soá phöùc thoûa ñieàu kieän: 2 3 4 (1 3 ) Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phö (C Ñ-A,B,D-2010) ùc . 2/ Tìm ph − + + = − +z i z i z i z ( ) ( )2 aàn aûo cuûa soá phöùc bieát: 2 1 2 . 3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá p = + − z z i i (ÑH-A-2010) höùc bieát: 5 5 20 . 3 4 4 3 += +− + z iz i i (KT giöõa HKI 2010-2011-chuyeân BT) ( )= +31- 3Cho soá phöùc thoûa: âñun cuûa soá phöùc i z − .Tìm mo1 (ÑH -A- 0201 ) z z iz i Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông T Trang 8hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trong m = 2Tìm soá phöùc thoûa maõn ø laø soá thuaàn aûo. ( ÑH -D- 2010) z z z2 va ột số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện các phép tính tr ên tập số phức. Chẳng hạn ( ) + − +− = =− − − = − ⎧ − =⎪ −⎨ − =+ ∗ 2 1 3 1) 2-i 4 0. 2) . 1 2 3) (KT giöõa HKI 2010-2011-ch BT sau: Tìm soá phöùc 2 3 4 . thoûa: 12 8 3 4 1 8 ) i iz z i i z z z z i z z z i ∗ Giaûi caùc phöông trình 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪⎪⎩ = + − − − ∗ −2 3 2009 Tính toån (Giöõa HKI 2010-201 1 1 3 + 1 3 + 1 1-ch 3 +... BT) g + 1 3 : S i i i i Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông T Beán Tre Trang 9hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC êu cầu bài toán thường cho Y dưới dạng: t phẳng Oxy (mặt phẳng phức) ước. 1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặ 2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho tr ột số bài toán minh họa M ( ) ( ) +− +− − Xeùt caùc ñieåm , , trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc 4 2 6 soá phöùc ; 1 . 1 2 ; . 1 3 1) Chöùng minh tam giaùc vuoâng caân. 2) Tìm soá phöùc coù ñieåm bieåu A B C i ii i i i ABC z dieãn sao cho laø hình vuoâng.D ABCD ( ) ( ) = − ⇒ −− − + = + ⇒ + = ⇒− = = =⎧⇒ ⎨ ⊥⎩ JJJG JJJG 1 1 . 1 2 3 (3;1) 2 6 2 (0;2) 3 Töø ñoù: 10; 10 vaø . 0. Vaäy tam giaùc vuoâng caân taïi B. i i i i B i i C i BC BA BC BA BC BA BC BA ABC = 41) Ta coù: 2 2 (2; 2)i i A 2) Töø kq caâu 1) ta coù: ⇔ = = − = −⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨− = − = −⎩ ⎩ = − − JJJG JJJG laø hình vuoâng khi laø hình bình haønh 1 1 2 3 1 Vaäy soá phöùc caàn tìm laø 1 . D D D D ABCD ABCD CD BA x x y y z i + − − + + = Tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc thoûa trong caùc ñieàu kieän sau: 1) 2 = . 2) 4 4 10. z moät z i z z z Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 10 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + ∈ + = − ⇔ + + = + − ⇔ + + = + − ⇔ + + = i \ i i 2 22 2 ) Goïi bieåu dieãn soá phöùc ; , . Ta coù 2 2 1 2 1 4 2 3 0 ( ) Vaäy taäp hôïp ñieåm caàn tìm laø ñöôøng thaúng ( ) M z x yi x y z i z x yi x y i x y x y x y d M d + = − ⇔ − − = −i1) Ta coù 2 ( 2) (1) − − ⇔ Goïi laø ñieåm bieåu dieãn soá phöùc , ñieåm bieåu dieãn soá 2, ñieåm bieåu dieãn soá phöùc ( nghóa (1) laø ( ; ), ( 2;0), (0;1) Khi ñoù z i z z z i M z A B i M x y A B M = + + = i Vaäy taäp hôïp ñieåm caàn tìm laø ñöôøng trung tröïc ( ) cuûa ñoaïn , vôùi ( ) : 4 2 3 0. A MB M d AB d x y 2) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc thoûa: 4 4 1 (Thi thöû Ñ0. H -D- ch BT-2010) M z z z− + + = Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 11 Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaú Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬ C HAI Yêu u bài toán thường chocầ dưới dạng: ố thực âm, căn bậc hai của số phứ 2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phứ Một số bài toán minh họa 1) Tìm căn bậc hai của s c. c. Pt coù hai nghieäm 2 vaø 1KQ: .z i z i= = − + ( ) ng phöùc bieåu dieãn soá phöùc thoûa: 1 . (ÑH-B-2010) M z z i i z− = + Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá phöùc thoûa: 2. 2 M z z i z z i− = − + 2 Taäp hôïp caùc ñieåm caàn tìm laø parabol ( Keát ) : quaû: . 4 xM P y = ( ) ( )2 Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 1 2 1 2 4 0. i z i z− − + − = Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 12 Các quy tắc nh ường hợp xét pt bậc hai ên tập số phức. Chẳng hạn: ẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong tr tr ( ) ( )Ta coù: 2 3 4 3 1 0. 1 5 1Vaäy pt coù hai nghieäm 1 vaø . 2 3 13 13 i i i iz z i i − + − + − = −= = = +− Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp: - Phương trình có ẩn ở mẫu - Phương trình bậc cao. ột số bài toán minh họa M ( )2 ( ) ( ) 2 2 Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 1 63 16 0 5 2 vaø 3 4 3) 3 1 0; 3 2 13 1 2 13 + 2 2 KQ: vaø z i z i z i z i z 1) 3 2 5 5 0z i z i+ − + − = 1 3 vaø 2 KQ: z i z i= − + = − − 2) 8 KQ: z i 3 2 z i z + − = = − = + − + + = + + + − += −= − − 13 1 2 13+ 2 2 + − − + i ( ) Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc: 2 3 3 1 0. i z i− + − + − =) (2 4i z Giaûi phöông trình treân taäp soá phö (CÑ-A,B-2009) ùc: 4 3 7 2 . z i z i z i − − = −− Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 13 Phươ i chú ý đặt điều kiện ho mẫu thức rồi sau đó biến đổi phương trình quy về bậc hai. ng trình trên thuộc dạng có ẩn dưới mẫu, khi giải phả c ( ) ( )22 2 Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc: 4 12 0.z z z z+ + + − = 2 2 2 2 Ñaët , phöông trình trôû thaønh: 6 4 12 0 2 Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi 1 23 2 6 0 1 2 cho coù boán nghieäm t z z t t t t iz z z z z = + = −⎡+ − = ⇔ ⎢ =⎣ ⎡ − −=⎢⎢⎡ =⎢⎢ = −⎣ i i i treân. 1 23 22 0 iz z z + + = ⎢ − +⇔ =⎢ ⎢+ − =⎣ ⎢ Vaäy phöông trình ñaõ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 Ñieàu kieän: 4 3 7 2 4 3 7 . 2 3 4 4 1 7 3 4 i cuûa . ng trình: 2 13 2 4 z i z i z ( )2 3 4 1 7 0 (1) Goïi ( , ) laø moät caên baäc ha Ta coù heä phöô i z i z i z i z i i i i x yx y xy x ≠ − − = − ⇔ − − = − −− Δ = + − + = − Δ =⎧⎨ = −⎧ − = ⎩⇔⎨ = − = −⎩ i i ( ) 2 3 (1) thoûa ñieàu kieän 1 2 Vaäy pt (1) coù hai nghieäm: 3 vaø 1 2 . z i z i z i z i⇔ − + + + = x yi x yδ = + ∈ i \ 1y z i z i ⎡⎢⎢⎢⎧⎢⎨⎢⎣ = +⎡⇔ ⎢ = +⎣ = + = +i =⎩ Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 H Để giải phương trình bậc bốn trên, ta có thể đặt ẩn phụ quy về phương trình ậc hai. Trong nhiều trường hợp, có thể dùng phương pháp giải phương trình đối ứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực. Bài tập sau đây minh họa cho trường ợp nói trên. SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI b x h GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng T PT Chuyeân Beán Tre Trang 14 Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượ 2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượ 3) Bài toán ứng d Một số bài toán minh họa ng giác và ngược lại. ng giác. ụng công thức Moa-vrơ. 2 4 3Cho pt: 1 0 (1) 2 zz z z− + + + = 2 2 2 pt ñaõ cho töông ñöông: 1 1 1 0 2 1 1)Vì 0 khoâng laø nghieäm phöông trình, neân 1 5 0 (1) 2 z z z z z − + + + = ⎛ ⎞z z z z = ⎛ ⎞⇔ − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 3 5 2 0 z it t t +⎡ =⎢⇔ − + = ⇔ ⎢ 1 2)Ñaët ,(1) trôû thaønh: 1 32 2 t z it = − −⎢ =⎢⎣ ( )2 1 3 1 1 3 4)Vôùi , ta coù 2 2 2 1 3 2 0 1 1 1 2 2 äy pt ñaõ cho coù 4 nghieäm treân. i it z z z i z z i z i − −= − = ⇔ − − − = = −⎡⎢⇔ ⎢ = − −⎣ Va ( )2 1 3 1 1 3 3)Vôùi , ta coù 2 2 2 1 2 0 (2) 1 3 3 1 4 8 6 ,(2) 1 3 3 1 1 4 2 2 i it z z z i z i iz i i i i + 3 z i += − = ⇔ − + − = + + +⎡ = = +⎢Δ = + ⇔ ⎢ + − −⎢ = = − +⎢⎣ Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông T 15hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang Để giải được dạng bài tập trên, ngoài việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác ức, h c giá trị lượng giác của các góc ối liên quan đặc biệt. của số ph ọc sinh còn phải biết vận dụng công thứ (cung) có m ( )( ) Vieát caùc soá phöùc sau döôùi daïng löôïng giaùc: a) 1 3 1 ; b) sin cos .z i i w i= − + = ϕ + ϕ a) Ta coù 1 3 2 cos sin 3 i i⎡ π⎛ ⎞ ⎛− = − + −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( ) ; 3 1 2 cos sin 4 4 Vaäy 1 3 . 1 2 2 cos sin . 12 12 i i i i i π ⎤⎞⎟⎥ π π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ i ⎡ π π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦i b) sin cosz i= ϕ+ ϕ =cos sin . 2 2 i π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ϕ + − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm moät acgumen cuûa soá phöùc sau: 1 sin cos 0 2 z i π⎛ ⎞= − ϕ + ϕ < ϕ <⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 1 cos sin 2 2 2sin .2sin 4 2 Ta coù: 1 sin cos ; 0 2 cos 4 2 4 2 z i i i π⎛ ⎞= − ϕ + ϕ < ϕ <⎜ ⎟⎝ ⎠ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ϕ + − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π ϕ π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π ϕ π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2sin sin cos 4 2 4 2 4 2 i= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2sin ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ π ϕ ⎡ π ϕ π ϕ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ cos sin . (1)4 2 4 2 4 2 Do 0 neân 0 0 2sin 0. 2 2 4 4 2 2 4 2 Vaäy (1) chính laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc treân. Vì theá i ⎡ ⎤ + + +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ π ϕ π π ϕ π π ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ chính laø moät acgumen cuûa soá phöùc . 4 2 zπ ϕ− Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 16 Thực chất bài tập trên là yêu cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau ây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn. Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z Bước 2: Áp dụng công thức Moa-vrơ để tìm w Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w. ( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.) Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó có th vận dụng công thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính toán. Dạng 6: đ ể NHỊ HỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC T Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 1) Tính tổng. 2) Chứng minh đẳ minh ng thức phụ thuộc số tự nhiên. B ài toán họa ) 2008 2008 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc 1 1 , neáu 1. w z z z z = + + = ( ) ( )2 22 4 1 3 5 Vôùi moïi soá nguyeân döông n, haõy chöùng minh heä thöùc sau: 1 ... ... 2 . nn n n n nC C C C C− + + − + = ( ) ( ) (2 4 1 3 5 0 iu- tôn ta coù: 1 ... ... .nn k kn n n n n n k Xeùt soá phöùc 1 . Theo coâng thöùc khai trieån nhò thöùc N n z i= + z 1 ( ) ( )2 22 4 1 3 51 ... ... .n n n n n n Maët khaùc: = nn i C i C C C C C i = = + = = − + − + − + −∑ )2 2 (ñpcm).n= z C C C C C⇒ = − + − + − + − z z . Suy ra: ( ) (22 4 1 3 51 ... ...n n n nC C C C C− + − + − + −n 0 2 4 2010 2010 2010Tính toång: ...S C C C= − + − 2004 2006 20082010 2010 2010C C C+ − + 2010Khai trieån nhò thöùc Niu-tôn (1 )i+ Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông T Trang 1hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre 7 2Tìm soá phöùc bieát: 0; , vaø K .Q:+ = = = = −0z z z z z i z i ( ) ( )2 2 Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá p (ÑH-D-2009) KQ: höùc thoûa: (3 4 ) 2. Ñöôøng troøn 3 4 4. − − = − + + = M z z i x y 3 ( ÑH-B-2009) KQ: a) Cho soá phöùc thoûa: (2 ) 10 vaø . 25. Haõy tìm . 3 4 vaø 5. 2; 1 3 vaø 1 3. − + = = = + = = − = − = + z b) Gpt: 8 0.+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 2 2 2 1 2 1 2 3 3 Giaûi caùc hpt sau 4 1) 5 2 ; 3 ;1 2 vaø ; 1 2 ;3 3(1 ) 2) 9( 1 ) ; 2 ;1 2 vaø ; 1 2 ; KQ: KQ: 2 z z z z i z z i i z i z w i z w i ( 1 2z treân taäp soá phöùc: i z w i i z w i i + = +⎧⎨ + = −⎩ = − + + + = +⎧⎨ + = − +⎩ = = + + = + + KQ: z i z z z z i z z z z z 1 2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 3 2 Cho ba ñieåm , , töông öùng vôùi caùc soá phöùc , , .M M M z z z z Chöùng minh r laø moät s aèng neáu , , thaúng haøng thì tæ soá oá thöïc. zM M M z − −z 0 2 2 4 3 6 1 3 2 5 Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù caùc heä thöùc: 3 3 3 ... 2 cos 3 23 3 ... sin . 33 n n n n n n n n n nC C C C nC C C π⎧ − + − =⎪⎪⎨ π⎪ − + − =⎪⎩ Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Tr