Giáo án Toán học 7 - Trường THCS Trần Quốc Toản

CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI “GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIO” A. SỐ HỌC - ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH I. Dạng 1: KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH Yêu cầu: Học sinh phải nắm kỹ các thao tác về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian. Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chính xác các biến nhớ của máy tính, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ. Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tính: a. b. c. d. e.Tìm x biết: f. Tìm y biết: Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tính giá trị của x từ các phương trình sau: a. b. Bài 3: (Thi khu vực, 2001, đề dự bị) a. Tìm 12% của biết: b. Tính 2,5% của c. Tính 7,5% của d. Tìm x, nếu: Thực hiện các phép tính: e. f. g. h. i. k. Bài 4: (Thi khu vực 2003, đề dự bị) Tính: a. b. Bài 5: (Thi khu vực 2001) a. Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần: b. Tính giá trị của biểu thức sau: c. Tính giá trị của biểu thức sau: Nhận xét: @ Dạng bài kiểm tra kỹ năng tính toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham gia vào đội tuyển bắt buộc các thí sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này. Trong các kỳ thi đa số là thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vấn đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện. Để tránh vấn đề này yêu cầu trước khi dùng máy tính để tính cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tính phù hợp để hạn chế số lần nhớ. Ví dụ: Tính T = Dùng máy tính trực tiếp cho kết quả là: 9,999999971 x 1026 Biến đổi: T=, Dùng máy tính tính =999 999 999 Vậy Như vậy thay vì kết qủa nhận được là một số nguyên thì thế trực tiếp vào máy tính ta nhận được kết quả là số dạng a.10n (sai số sau 10 chữ số của a). @ Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, trong các kỳ thi cấp khu vực dạng này chiếm khoảng 20% - 40%. @ Trong dạng bài này thí sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862…; … thí sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó. II. DẠNG 2: ĐA THỨC Dạng 2.1. Tính giá trị của đa thức Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính. Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến) Viết dưới dạng Vậy . Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an. Suy ra: P(x0) = bn. Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1. Giải trên máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M. - Thực hiện dãy lặp: bk-1+ ak Ví dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165 Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: 1 8165 Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: 18165 Kết quả: 1.498465582 Nhận xét: @ Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 và fx-500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong. Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị. Ví dụ: Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678 Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong. @ Trong các kỳ thi dạng toán này luôn có, chiếm 1 đến 5 điểm trong bài thi. Khả năng tính toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tính sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tính vẫn tính nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn). Bài tập Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: a. Tính khi x = 1,35627 b. Tính khi x = 2,18567 Dạng 2.2. Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số (không chứa biến x). Thế ta được P() = r. Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(), lúc này dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1. Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:P= Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x-3. Tìm BCNN(r1,r2)? Dạng 2.3. Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x – a thì m + r = 0 hay m = -r = - P(). Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1. Ví dụ: Xác định tham số 1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000). Tìm a để chia hết cho x+6. - Giải - Số dư Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: 6 47213 Kết quả: a = -222 1.2. (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625. Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? -- Giải – Số dư a2 = - => a = Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Kết quả: a = 27,51363298 Chú ý: Để ý ta thấy rằng P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757. Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) thì a2 = 757 => a = 27,51363298 và a = - 27,51363298 Dạng 2.4. Tìm đa thức thương khi chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 và số dư r. Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3. Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tổng quát. Ví dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5. -- Giải -- Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = 1. Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756. Dạng 2.5. Phân tích đa thức theo bậc của đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng toán 2.4 ta có thể phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n. Ví dụ: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3. -- Giải -- Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau: 1 -3 0 1 -2 x4-3x2+x-2 3 1 0 0 1 1 q1(x)=x3+1, r0 = 1 3 1 3 9 28 q2(x)=x3+3x+1, r1 = 28 3 1 6 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 3 1 9 q4(x)=1=a0, r0 = 9 Vậy x4 – 3x3 + x – 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4. Dạng 2.6. Tìm cận trên khoảng chứa nghiệm dương của đa thức Nếu trong phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri 0 với mọi i = 0, 1, …, n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c. Ví dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x4 – 3x3 + x – 2 là c = 3. (Đa thức có hai nghiệm thực gần đúng là 2,962980452 và -0,9061277259) Nhận xét: @ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ thi) nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tích đa thức ra thừa số, giải gần đúng phương trình đa thức, …. @ Vận dụng linh hoạt các phương pháp giải kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được hoặc sử dụng công thức Cardano quá phức tạp. Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp lí trong các bài làm. Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3. b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích các thừa số bậc nhất. c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2. d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất. Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9) a. Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15. Tính P(6), P(7), P(8), P(9). a. Cho P(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q. Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q(4) = 11. Tính Q(10), Q(11), Q(12), Q(13). Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2. b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. 1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003 2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m? b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11). Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Biết . Tính giá trị đúng và gần đúng của ? Bài 6: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp III của Bộ GD, 1975) 1. Phân tích biểu thức sau ra ba thừa số: a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32. 2. Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức n4 – 6n3 + 272 – 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi số nguyên n. Bài 7: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984) Có chính xác đúng 4 số nguyên dương n để là một số nguyên. Hãy tính số lớn nhất. Bài 8: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1988) Chia P(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + 2x + 1 cho x – 1 được số dư là 5. Chia P(x) cho x – 2 được số dư là -4. Hãy tìm cặp (M,N) biết rằng Q(x) = x81 + ax57 + bx41 + cx19 + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2) Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên, 2004) Cho đa thức P(x) = x10 + x8 – 7,589x4 + 3,58x3 + 65x + m. a. Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648 b. Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55) c. Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). x -2,53 4,72149 P(x) Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lâm Đồng, 2004) 1.Tính với x= -7,1254 2.Cho x=2,1835 và y= -7,0216. Tính 3.Tìm số dư r của phép chia : 4.Cho . Tìm m để P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) a. Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7 b. Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f biết P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107. Tính P(12)? Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004) Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33. Biết P(N) = N + 51. Tính N? Bài 13: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính: a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x). b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4. c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3. Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính: a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x). b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4. c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7. d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7). Bài 15: (Sở GD Thái Nguyên, 2003) a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48. Tính P(2002)? b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)? III. Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ghi nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chính tắc để khi đưa các hệ số vào máy không bị nhầm lẫn. Ví dụ: Dạng chính tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0 Dạng chính tắc phương trình bậc 3 có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = 0 Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng: Dạng chính tắc hệ phương trình bậc 3 có dạng: Dạng 3.1. Giải phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 3.1.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn nhập các hệ số a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,85432x2 – 3,21458x – 2,45971 = 0 -- Giải -- Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả hai nghiệm đều là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm. 3.1.2: Giải theo công thức nghiệm Tính + Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm: + Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: + Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x2 – 1,542x – 3,141 = 0 -- Giải -- Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) (27,197892) (x1 = 1,528193632) (x2 = - 0,873138407) Chú ý: @ Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải. @ Hạn chế không nên tính trước khi tính các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến sai số xuất hiện trong biến nhớ sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn. @ Dạng toán này thường rất ít xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dưới dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, …. Cần nắm vững công thức nghiệm và Định lí Viét để kết hợp với máy tính giải các bài toán biến thể của dạng này. Dạng 3.2. Giải phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a≠0) 3.2.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn nhập các hệ số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương trình x3 – 5x + 1 = 0. -- Giải -- Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó không trìn bày nghiệm này trong bài giải. 3.2.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có thể sử dụng công thức nghiệm Cardano để giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để hạ bậc phương trình bậc 3 thành tích phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trình tích theo các công thức nghiệm đã biết. Chú ý: @ Nếu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tính để giải. Dạng 3.3. Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn 3.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: (Thi vô địch toán Flanders, 1998) Nếu x, y thỏa mãn hệ phương trình thì bằng (chọn một trong 5 đáp số) A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 -- Giải – Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím Ấn tiếp: (5) Vậy đáp số E là đúng. Chú ý: Nếu hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô định thì máy tính sẽ báo lỗi Math ERROR. 3.3.2: Giải theo công thức nghiệm Ta có: với Dạng 3.4. Giải hệ phương trình nhất ba ẩn Giải theo chương trình cài sẵn trên máy Ấn nhập các hệ số a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phím giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tính. Ví dụ: Giải hệ phương trình Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Chú ý: Cộng các phương trình trên vế theo vế ta được x + y + z = 15 suy ra x = y = z = 5. Nhận xét: @ Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tính và các chương trình cài sẵn trên máy tính. Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ít chúng thường xuất hiện dưới dạng các bài toán thực tế (tăng trưởng dân số, lãi suất tiết kiệm, …) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ. Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải các phương trình: 1.1. (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x2 + 4,35816x – 6,98753 = 0 1.2. (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x2 + 6,8321x + 1,0581 = 0 1.3. x3 + x2 – 2x – 1 =0 1.4. 4x3 – 3x + 6 = 0 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 2.1. (Sở GD Đồng Nai, 1998) 2.2. (Sở GD Hà Nội, 1996) 2.3. (Sở GD Cần Thơ, 2002) 2.4. IV. Dạng 4: LIÊN PHÂN SỐ Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó. Bài toán: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên. Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b, phân số có thể viết dưới dạng: Vì b0 là phần dư của a khi chia cho b nên b > b0. Lại tiếp tục biểu diễn phân số Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước và ta được: . Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số. Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn . Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liên phân số. Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số về dạng . Dạng toán này được gọi là tính giá trị của liên phân số. Với sự trợ giúp của máy tính ta có thể tính một cách nhanh chóng dạng biểu diễn của liên phân số đó. Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn lần lượt Ví dụ 1: (Vô địch toán New York, 1985) Biết trong đó a và b là các số dương. Tính a,b? -- Giải -- Ta có: . Vậy a = 7, b = 2. Ví dụ 2: Tính giá trị của -- Giải - Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS) Ấn các phím: Nhận xét: @ Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất hiện rất nhiều trong các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tính toán và thực hành. Trong các kỳ thi gần đây, liên phân số có bị biến thể đi đôi chút ví dụ như: với dạng này thì nó lại thuộc dạng tính toán giá trị biểu thức. Do đó cách tính trên máy tính cũng như đối với liên phân số (tính từ dưới lên, có sử dụng biến nhớ Ans). Bài tập tổng hợp Bài 1: (Thi khu vực lớp 9, 2002) Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003) a. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: b. Tìm các số tự nhiên a và b biết: Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị của x, y từ các phương trình sau: a. b. Bài 4: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 - 7) Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau và tính ? Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 – 7, dự bị) a. Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau và tính ? b. Tính và viết kết quả dưới dạng phân số: Bài 6: (Sở GD Hải Phòng, 2003 - 2004) Cho Hãy viết lại A dưới dạng ? Bài 7: Các số , có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau: . Tính các liên phân số trên và só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn? Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng) Tính và viết kết quả dưới dạng phân số V. Dạng 5: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ ĐẾM 5.1. Tính chất chia hết - Một số chia hết cho 3 (cho 9) nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (cho 9). - Một số chia hết cho 2 (cho 5) nếu chữ số tận cùng của nó chia hết cho 2 (cho 5). Chú ý: Tính chất chia hết chỉ đúng trong hệ cơ số cụ thể. Ví dụ: Xét hệ đếm với cơ số 12, ta có: 1. Một số viết trong hệ đếm cơ số 12 chi hết cho 2 (3, 4, 6) nếu chữ số cuối cùng của nó chia hết cho 2 (3, 4, 6). 2. Số chia hết cho 8 (cho 9) nếu chia hết cho 8 (cho 9). 3. Số chia hết cho 11 nếu chia hết cho 11. Mở rộng: Số chia hết cho q – 1 nếu chia hết cho q. 5.2. Hệ cơ số 2 Bài toán mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi là có thể đoán được một số cho trước (nhỏ hơn 1000) như sau: - Số đó có chia hết cho 2 không?(Nếu có ghi 0, không ghi 1) - Thương của số đó chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, không ghi 1) Nếu cứ tiếp tục như vậy ta được một dãy các số 1 hoặc 0. Dãy này chính là biểu diễn của số cần tìm trong cơ số 2. Vì số nhỏ hơn 1000 có nhiều nhất là 10 chữ số trong biểu diễn cơ số 2 nên 10 câu hỏi là đủ để biết số đã cho. Đổi qua cơ số 10 ta được số cần tìm. Ví dụ: Số cho trước là 999. Vì 999 = 499.2 + 1; 499 = 249.2 + 1; 249 = 124.2 + 1; 124 = 62.2 +1; …; 3 = 1.2 + 1 nên ta sẽ có dãy số: 11111001112 = 99910. 5.3. Ứng dụng hệ cơ số trong giải toán Trong rất nhiều bài toán khó có thể sử dụng hệ đếm để giải. Nói cách khác, thì hệ đếm có thể được sử dụng như một phương pháp giải toán. Ví dụ: Giả sử f:N -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f(2n) = f(n) và f(2n+1) = f(2n) + 1 với mọi n nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của n khi 1 ≤ n ≤1994. -- Giải -- Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = 1; f(112) = f(3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(1112) =3; f(10002) =1; f(10012) =2; …. Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số 1 lớn nhất trong biểu diễn cơ số 2 của các số nhỏ hơn 1994. Vì 1994 < 211 – 1 nên f(n) có nhiều nhất là 10 chữ số. Ta có f(1023) = f(11111112) = 10. Vậy giá trị lớn nhất là 10. Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f(n) bằng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 của n. Chứng minh: 1) n chẵn thì n = 2m = 102.m. Vì m và n = 102.m có cùng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 (trong hệ cơ số 2, khi nhân một số với 2 = 102, ta chỉ thêm số 0 vào cuối số đó). Theo quy nạp (vì m < n), f(m) bằng đúng chữ số 1 của m, mà f(n) = f(2m) = f(m) nên f(n) cũng bằng đúng chữ số 1 của m, tức là n. 2) n lẻ thì n = 2m + 1 = 102.m + 1 khi ấy n có số chữ số 1 nhiều hơn m là 1. Ta có: f(n) = f(2m + 1) = f(m) + 1. Áp dụng quy nạp ta có, f(m) bằng đúng số chữ số 1 của m nên f(n) cũng bằng đúng số chữ số 1 của m cộng 1, tức là bằng đúng số chữ số 1 của n. Nhận xét: @ Dạng toán này là dạng toán khó, thường rất ít xuất hiện trong các kỳ thi “Giải toán bằng máy tính bỏ túi Casio”, nhưng sử dụng phương pháp hệ cơ số giúp chúng ta phân tích được một số bài toán từ đó sử dụng các phương pháp chứng minh toán học và các nguyên lý để giải. Nói cách khác, đây là một phương pháp giải toán. Bài tập tổng hợp Bài 1: Tìm cơ số q (2 ≤ q ≤ 12) biết số a = (3630)q chia hết cho 7. Biểu diễn số a với q tìm được trong cơ số 10. (HD: áp dụng tính chất chia hết) Bài 2: Hai người chơi lần lượt lấy ra số viên sỏi bất kì từ một trong ba đống sỏi. Người nhặt viên sỏi cuối cùng sẽ thắng. Người đi trướ